高等代數(shù)教學(xué)方法的探討

何宏

【摘 要】 高等代數(shù)在高等數(shù)學(xué)教育中是一門尤為重要的科目，其中主要包括了高等代數(shù)的基本概念以及基本理論，高等數(shù)學(xué)教育中進(jìn)行高等代數(shù)主要是為了培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力以及邏輯推理能力。目前，大部分學(xué)生在進(jìn)行高等代數(shù)學(xué)習(xí)過程中，由于學(xué)生保持中學(xué)時(shí)期思維方式，導(dǎo)致對(duì)高等代數(shù)的理解掌握比較困難，因此需要進(jìn)行教學(xué)方式的創(chuàng)新，以便學(xué)生能夠有效學(xué)習(xí)高等代數(shù)。

【關(guān)鍵詞】 高等代數(shù)；教學(xué)方法；學(xué)習(xí)過程；抽象思維

【中圖分類號(hào)】 G64.23 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 2095-3089（2016）31-0-01

高等數(shù)學(xué)專業(yè)教育中進(jìn)行高等代數(shù)教學(xué)，主要培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力以及邏輯推理能力。由于學(xué)生高等代數(shù)學(xué)習(xí)還保持著中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，導(dǎo)致學(xué)生在面對(duì)高等代數(shù)學(xué)習(xí)顯得力不從心，因此教師進(jìn)行高等代數(shù)教學(xué)過程中，需要對(duì)學(xué)生采取一定的措施，改變學(xué)生固有的思維方式，以便滿足學(xué)生學(xué)習(xí)高等代數(shù)要求[1]。這就需要教師進(jìn)行高等代數(shù)教學(xué)方法的研究，從而使得學(xué)生能夠有效進(jìn)行高等代數(shù)學(xué)習(xí)，為培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力以及邏輯思維能力提供有效的保障。本文將對(duì)高等代數(shù)教學(xué)方法進(jìn)行有效探討，以此提高學(xué)生高等代數(shù)學(xué)習(xí)能力。

1.針對(duì)基本概念設(shè)計(jì)適當(dāng)問題

高等代數(shù)具有概念多以及抽象等特點(diǎn)，目前所用的高等代數(shù)教材，一般都是在進(jìn)行高等代數(shù)概念講解，之后附上一系列性質(zhì)、定理的證明[2]。但是對(duì)高等代數(shù)概念的理解講解較少，從而導(dǎo)致學(xué)生在理解掌握高等代數(shù)有一定的難度，因此需要教師教學(xué)針對(duì)這一問題，進(jìn)行一系列教學(xué)方式的改變，在進(jìn)行高等代數(shù)概念講解過程中，有必要進(jìn)行設(shè)計(jì)概念相關(guān)的例題進(jìn)行針對(duì)性講解，題目設(shè)計(jì)要保證簡單明了，同時(shí)能緊扣高等代數(shù)基本概念。在此基礎(chǔ)上才能使得學(xué)生對(duì)高等代數(shù)概念能夠進(jìn)行有效的理解掌握，從而為以后的高等代數(shù)學(xué)習(xí)奠定夯實(shí)的基礎(chǔ)。

例如，教師進(jìn)行講解定理2.3.1時(shí)：F[x]的任意兩個(gè)多項(xiàng)式f（x）與g（x）二者之間存在最大公因式，在一個(gè)零次因式之外，f（x）與g（x）還存在一個(gè)最大公因式，換一種說法，就是d（x）是f（x）與g（x）的最大公因式，因此F的任何一個(gè)不為零數(shù)域的數(shù)，并且有且只有一個(gè)乘積符合f（x）與g（x）的最大公因式。

證：先進(jìn)行證明定理的前半部分，如果f（x）等于g（x）且都等于0，因此根據(jù)題目定義得知，f（x）以及g（x）的最大公因式就是0；

如果f（x）與g（x）相等且都不等于0，舉個(gè)例子說：g（x）不等于0，應(yīng)用帶余除法進(jìn)行以下步驟，用g（x）去除f（x），得到結(jié)果式子為Q1（x）以及余式R1（x）；

如果R1（x）不等于0，然后通過再以R1（x）去除g（x），得到結(jié)果式子Q2（x）及余式R2（x）；

如果R2（x）不等于0，再通過R2（x）除R1（x），一直不為0，就一直循環(huán)除法，由于余式的次數(shù)每一次都得到了降低，因此進(jìn)行了有限次循環(huán)除法之后，就必定會(huì)得出這樣一個(gè)余式Rk（x），它整除前一個(gè)余式R1k（x），通過統(tǒng)計(jì)循環(huán)運(yùn)算，我們得到一串等式：

f（x）=g（x）q1（x）+r1（x），

g（x）=r1（x）q2（x）+r2（x），R1（x）=R2（x）q3（x）+R3（x）……（1）

R3k（x）=R2k（x）q1，k（x）+R1（x），R2k（x）=R1k（x）qk（x）+Rk（x），R1k（x）=Rk（x）q，1k（x）=R2（x），在此基礎(chǔ)上就可以進(jìn)行說明Rk（x）就是f（x）與g（x）的一個(gè)最大公因式。

通過（1）的最后一個(gè)等式說明rk（x）整除R1k（x）；因此得，rk（x）整除倒數(shù)第二個(gè)等式右端的兩項(xiàng)，因而也就整除R2k（x）；同理，由倒數(shù)第三個(gè)等式看出rk（x）也整除R3k（x）。如此逐步往上推，最后得出Rk（x）能整除g（x）與f（x）；這就是說，Rk（x）是f（x）與g（x）的一個(gè)最大公因式；其次，假設(shè)h（x）是f（x）與g（x）的其中任意一個(gè)公因式，由此通過（1）的第一個(gè)等式知道，h（x）也一定能整除R1（x），同種方法下，由第二個(gè)等式，h（x）也能整除R2（x）

經(jīng)過循環(huán)計(jì)算往下推，可以得到h（x）能整除Rk（x）。Rk（x）的確是f（x）與g（x）的一個(gè)最大公因式。在此過程中，證明了任意兩個(gè)多項(xiàng)式都存在一個(gè)最大公因式，同時(shí)在進(jìn)行教學(xué)過程了解到一種新的最大公因式求法，這種方法叫做輾轉(zhuǎn)相除法[3]。

2.補(bǔ)充典型例題，鼓勵(lì)一題多解

對(duì)于一些高等代數(shù)基本概念的理解掌握以及實(shí)際解題應(yīng)用，一般情況下學(xué)生通過大量做題鞏固對(duì)知識(shí)的理解掌握。因此教師可以在書本上原有例題基礎(chǔ)上，進(jìn)行補(bǔ)充綜合性較強(qiáng)例題進(jìn)行講解，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生使用多種方法進(jìn)行解答。此外，教師在進(jìn)行經(jīng)典題型講解過程中，要注重詳細(xì)講解解題思路，同時(shí)將個(gè)人的題目分析過程講解給學(xué)生。在解題之后，對(duì)例題進(jìn)行綜合性分析，主要包括例題涉及的概念、公式以及解題步驟[4]。如此能夠有效使得學(xué)生加強(qiáng)對(duì)例題的理解掌握，同時(shí)對(duì)高等代數(shù)概念能夠進(jìn)行有效復(fù)習(xí)鞏固。

例如：教師進(jìn)行n（n>2）個(gè)多項(xiàng)式互素的情形講解，如果多項(xiàng)式h（x）能夠進(jìn)行整除多項(xiàng)式f1（x），f2（x），……fn（x）中的任意一個(gè)，由此就可以說明h（x）是這n個(gè)多項(xiàng)式的一個(gè)公因式。

如果是f1（x），f2（x），……，fn（x）的公因式d（x）都能夠被n個(gè)多項(xiàng)式的任意一個(gè)公因式進(jìn)行整除，由此d（x）叫f1（x），f2（x），……，fn（x）中的一個(gè)最大公因式。

根據(jù)以上就可以簡單推導(dǎo)出，如果d0（x）是多項(xiàng)式假設(shè)是f1（x），f2（x），……，fn-1（x）的一個(gè)最大公因式，因此d0（x）與fn（x）多項(xiàng)式的最大公因式也是多項(xiàng)式，如果是f1（x），f2（x），……，fn-1（x），fn（x）的最大公因式。

根據(jù)相關(guān)證明可得，兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式一定是存在的，因此n個(gè)多項(xiàng)式也一定是存在最大公因式的，同時(shí)在進(jìn)行求多項(xiàng)式最大公因式過程中，可以通過累次應(yīng)用輾轉(zhuǎn)相除法進(jìn)行求出多項(xiàng)式的最大公因式。與兩個(gè)多項(xiàng)式的求法一致，n個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式也只有常數(shù)因子的差別。n個(gè)不全為零的多項(xiàng)式的最大公因式指的是最高次項(xiàng)數(shù)是1的那一個(gè)。那么n個(gè)多項(xiàng)式f1（x），f2（x），……，fn（x）是最大公因式就是唯一確定的。我們用符號(hào)（f1（x），f2（x），……，fn（x））表示這樣確定的最大公因式。

最后，若是多項(xiàng)式f1（x），f2（x），……，fn（x）除零次多項(xiàng)式外，沒有其它公因式，就說這一組多項(xiàng)式互素。教師在進(jìn)行證明過程中需要注意，n（n>2）個(gè)多項(xiàng)f1（x），f2（x），……，fn（x）互素時(shí)，它們并不一定兩兩互素。例如，多項(xiàng)式f1（x）=x2-3x+2，f2（x）=x2-5x+6，f3（x）=x2-4x+3是互素的，但（f1（x），f2（x））=x-2。

3.結(jié)語

綜上所述，高等代數(shù)作為高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)一門基礎(chǔ)性課程，高等代數(shù)的教學(xué)目的主要培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力以及推理能力，然而高等代數(shù)課程概念十分抽象，同時(shí)學(xué)生又保持中學(xué)時(shí)段的思維模式，導(dǎo)致高等代數(shù)教學(xué)變得困難。因此在教師教學(xué)過程中需要針對(duì)基本概念設(shè)計(jì)適當(dāng)問題及補(bǔ)充典型例題，鼓勵(lì)一題多解等教學(xué)方法探討，以此為高等代數(shù)教學(xué)質(zhì)量奠定夯實(shí)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

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