高中導(dǎo)數(shù)理論的學(xué)習(xí)初探

高婭杰

世界上的實物是瞬息萬變的，因此，不斷認(rèn)識事物的變化規(guī)律是我們面臨的重大問題。高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅關(guān)注著事物內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系還特別重視變量之間的函數(shù)關(guān)系，研究函數(shù)的變化趨勢不僅是現(xiàn)實的需要，更具有十分重要的理論意義。在高中課堂中提出導(dǎo)數(shù)的概念，使我們更進一步理解了變量之間的關(guān)系，不可否認(rèn)，導(dǎo)數(shù)在高考中占據(jù)著舉足輕重的地位，導(dǎo)數(shù)思想和方法也成為解決變量問題的基本工具，同時為進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他學(xué)科奠定了基礎(chǔ)，因此需要我們認(rèn)真學(xué)習(xí)，進一步研究。

導(dǎo)數(shù)在課本中是這樣定義的：設(shè)函數(shù)y=f（x）在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處有增量Δx，（x0+Δx）也在該鄰域內(nèi)時，相應(yīng)地函數(shù)取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）；如果Δy與Δx之比當(dāng)Δx→0時極限存在，則稱函數(shù)y=f（x）在點x0處可導(dǎo)，并稱這個極限為函數(shù)y=f（x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)記為f'（x0），也記作y'│x=x0或dy/dx│x=x0，即。如果函數(shù)y=f（x）在開區(qū)間內(nèi)每一點都可導(dǎo)，就稱函數(shù)f（x）在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。這時函數(shù)y=f（x）對于區(qū)間內(nèi)的每一個確定的x值，都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)，這就構(gòu)成一個新的函數(shù)，稱這個函數(shù)為原來函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)，記作y'、f'（x）、dy/dx或df（x）/dx，簡稱導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)是微積分的一個重要的支柱。牛頓及萊布尼茨對此做出了卓越的貢獻。不難看出，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)曲線在點P0（x0，f（x0））處的切線的斜率（導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該函數(shù)曲線在這一點上的切線斜率）。

導(dǎo)數(shù)理論的應(yīng)用在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中是我們經(jīng)常混淆的地方，因此我總結(jié)了以下兩個重點和難點：

1.通過導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性

這一部分主要是利用導(dǎo)數(shù)的定義和題目所給條件判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以運用數(shù)形結(jié)合的方法化抽象為具體，幫助我們更好的理解函數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系。在高中課本中是這樣定義導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系的：如果在（a，b）內(nèi)，f'（x）>0，則f（x）在這個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增的，（a，b）則為f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間。如果在（a，b）內(nèi)，f'（x）<0，則f（x）在這個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞減的，（a，b）則為f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間。我們必須牢記，當(dāng)遇到判斷含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性這類題目時，不但要考慮參數(shù)的取值范圍還要根據(jù)函數(shù)的定義域來判斷f；'（x）的符號，否則可能會帶來誤判。通過做題經(jīng)驗，我建議大家形成這樣的思想：“先求定義域，再求單調(diào)區(qū)間”。可以按照以下步驟來求解這部分題目：（1）確定函數(shù)f（x）的定義域；（2）求出導(dǎo)函數(shù)f'（x）；（3）通過f'（x）>0（或f'（x）<0）求出相應(yīng)的x的范圍，再根據(jù)當(dāng)f'（x）>0是f（x）在相應(yīng)的區(qū)間范圍內(nèi)是單調(diào)遞增的，當(dāng)f（x）<0時，f（x）在相應(yīng)的區(qū)間范圍內(nèi)是單調(diào)遞減的。當(dāng)確定了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性意見的關(guān)系后，我們就可以利用這種關(guān)系來求函數(shù)中含有某些參數(shù)的問題。這類題型一般會給出函數(shù)在哪個區(qū)間上是單調(diào)遞增的在哪個區(qū)間上單調(diào)遞減的，讓我們求參數(shù)的范圍。這時，求解參數(shù)的范圍實際上還是相當(dāng)于求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。需注意的是，題目中給出的單調(diào)區(qū)間一定是我們最后求出的單調(diào)區(qū)間的一個子集，我們便可以利用這個條件，通過集合的有關(guān)知識或者轉(zhuǎn)化為恒成立問題來求解。當(dāng)然還可以利用導(dǎo)數(shù)來證明不等式f（x）>g（x）這類問題，需要我們先構(gòu)造一個函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），然后求出F（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)F'（x）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的單調(diào)性證明題目要求的不等式。在求解上述類型題目時都要時刻牢記數(shù)形結(jié)合的運用，通過圖形化抽象為具象。

2.通過導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的極值

這部分要求我們學(xué)會根據(jù)已知導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值和最值，由于極值點和最值點的易混淆使這部分內(nèi)容成為我們頭痛的地方，必須清楚認(rèn)識極值和最值的區(qū)別。根據(jù)極值的定義我們可以知道取到極值的點稱為極值點，極值點指的是自變量的值；極值指的是函數(shù)值，即當(dāng)x為極值點時f（x）的值。另外，極值是一個局部概念，而函數(shù)的極值點必定會出現(xiàn)在這個區(qū)間內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點。在某些情況下函數(shù)的極值是不唯一的，要根據(jù)具體條件具體分析。在求極值時，我們一般先令f（x）=0，求出x的極值x ，再判斷x 兩邊f(xié)（x）的符號的變化，從而判斷出x 是否為極值點，再根據(jù)圖像和性質(zhì)得出是極大值還是極小值點，從而進一步求出所對應(yīng)的極值。當(dāng)然還需要注意一點，雖然極值點出的導(dǎo)數(shù)一定是0，但導(dǎo)數(shù)為零的點不一定都是極值點，需要具體問題具體分析。不難發(fā)現(xiàn)，極值表現(xiàn)的是函數(shù)在某一點時的局部的性質(zhì)，而最值則表示函數(shù)在整個定義域里的性質(zhì)；極值只可以在區(qū)間內(nèi)取到，而最值則可以在斷點處取到。因此，在求解導(dǎo)數(shù)f（x）在[a，b]上的最值時，可以將步驟規(guī)范如下：（1）求出f（x）在（a，b）內(nèi)的極值；（2）將f（x）的各極值與區(qū)間端點值f（a）、f（b）比較，其中最大的則為最大值最小的則為最小值。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)絕不是死記定理、公式，不是空洞的解題訓(xùn)練，僅注重其形式化的表面，是無法把握數(shù)學(xué)的實質(zhì)的。數(shù)學(xué)的存在和發(fā)展是基于某種實際需要的，了解這種需要，即數(shù)學(xué)各部分的作用，有助于對數(shù)學(xué)這個有機整體的認(rèn)識，不假思索的接受，難以導(dǎo)致對數(shù)學(xué)的真正了解，因此親身接觸活生生的數(shù)學(xué)就顯得尤為重要。這就需要學(xué)習(xí)中對每個問題都能親自思考、透徹理解。我通常習(xí)慣于在遇到新概念時，自己先分析、推導(dǎo)一下它的性質(zhì)；碰到定理、公式時自己先試著證明一下，這樣再學(xué)習(xí)書本上的內(nèi)容時，與自己所思考的有種比較，對知識的體會就更多些，理解也能更深一點。眾所周知，數(shù)學(xué)需要嚴(yán)密的邏輯推理，但邏輯上的推理卻不足以代表數(shù)學(xué)的全部。如本世紀(jì)的大數(shù)學(xué)家柯朗所說："過分著重演繹公式的數(shù)學(xué)特性可能失之偏頗，創(chuàng)造性發(fā)明以及起指導(dǎo)和推動作用的直覺的要素才是數(shù)學(xué)理論的核心。"數(shù)學(xué)很重要的幾個因素就是邏輯與直覺、分析與創(chuàng)造、一般性與個別性，正是他們的綜合交錯作用才構(gòu)成數(shù)學(xué)的豐富內(nèi)涵。要學(xué)好數(shù)學(xué)，只有將自己置身于其中，親自去體會，才能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的魅力。