例談估算法在解題中的應(yīng)用

程光宇+柏銀花

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“加強(qiáng)估算，鼓勵(lì)算法多樣化.”估算在人們的日常生活、生產(chǎn)勞動(dòng)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中有著較為廣泛的應(yīng)用，估算能力是計(jì)算能力不可缺少的組成部分.所謂估算，實(shí)質(zhì)上是一種快速的近似計(jì)算，它的基本特點(diǎn)是對(duì)數(shù)值做適當(dāng)?shù)臄U(kuò)大或縮小，從而對(duì)運(yùn)算結(jié)果確定一個(gè)范圍，或做出一個(gè)估計(jì).

一、解方程或判定根的個(gè)數(shù)

例1方程x3+lgx=18的根x≈.（結(jié)果精確到0.1）

分析這是一道典型的近似計(jì)算題，利用數(shù)形結(jié)合可能不夠精確，令f（x）=x3+lgx-18，易知x>0時(shí)，f（x）為增函數(shù)，由于f（2.5）<0，-f（2.7）>0，所以，方程f（x）=0的根x∈（2.5，2.7），故x≈2.6.

例2求方程lgx-sinx=0根的個(gè)數(shù).

分析此題利用數(shù)形結(jié)合的方法，但需要注意的是繪制出lgx，sinx圖像的變化情況.因?yàn)閨sinx|≤1，所以lgx與sinx的圖像只有在[-1，1]之間的部分才可能有交點(diǎn).則lgx<1lgx

二、三角函數(shù)中的估算

例32sin40°+12sin40°-1x=2+3，則x等于（）.

A.tan5°B.tan15°C.tan25°D.tan75°

分析x=（2+3）2sin40°-12sin40°+1.

∵sin40°∈（sin30°，sin45°）=12，22，

故把sin40°≈0.6代入上式有x≈0.34.

又tan15°=2-3≈0.27，tan30°=33≈0.58，故選C.

例4若tanx=2aba2-b2，其中a>b>0，且0°

A.baB.a2-b22aC.2aba2+b2D.a2+b22a

分析取a=0時(shí)tanx=0，x=0°，故sinx=0，由此可知，當(dāng)a從無(wú)窮大趨于零時(shí)，答案應(yīng)趨于零，故A、B、D錯(cuò)，選C.

針對(duì)計(jì)算型的選擇題，可巧妙地應(yīng)用估算法，從而快速選出答案，避免煩瑣的計(jì)算.

三、立體幾何中的估算

例5在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，EF∥AB，EF=32，EF與平面的距離為2，則該多面體的體積為（）.

A.92B.5C.6D.152

分析對(duì)于求體積的問(wèn)題，我們目前只會(huì)計(jì)算特殊立體圖形的體積，本問(wèn)題中多面體既不是我們熟悉的棱柱又不是我們熟悉的棱錐，如何化解矛盾呢？

不妨從特殊情況入手，將EF長(zhǎng)度看作0，那么圖中多面體變成我們所熟悉的四棱錐，因此，體積V=13×32×2=6，顯然原問(wèn)題中多面體體積應(yīng)大于6，故選D.

四、解析幾何中的估算

例6過(guò)拋物線y=ax2（a>0）的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，若線段PF，QF長(zhǎng)分別為p，q，則1p+1q等于（）.

A.2aB.12aC.4aD.14a

分析本題是有關(guān)不變性的問(wèn)題，常規(guī)解法是探求p，q，a的關(guān)系.過(guò)程煩瑣，且計(jì)算較復(fù)雜，若能充分認(rèn)識(shí)到變與不變的辯證關(guān)系，利用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，借助于極限思想，即取PQ極限位置，可使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單易行.將直線PQ繞點(diǎn)F順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到y(tǒng)軸重合，此時(shí)Q，O重合，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到無(wú)窮遠(yuǎn)處，所以不能稱(chēng)它是拋物線的弦，但它是弦的一種極限情形，因?yàn)镼F=q=OF=14a，而PF=p→+∞，所以1p+1q→4a，故選C.

五、不等式中的估算法

不等式中常用的放縮法即是一種估算的結(jié)論，通過(guò)估算對(duì)原式進(jìn)行放縮以達(dá)到解題的目的.

例7求證1+12+13+14+…+1n<2n（n∈N+）.

分析利用分?jǐn)?shù)性質(zhì)，可以適當(dāng)增項(xiàng)、減項(xiàng)，運(yùn)用放縮法證明，但需要注意放縮要適度，否則不能同向傳遞.

證明∵1n=22n<2n+n-1=2（n-n-1），

∴12<2（2-1），

13<2（3-2），

…

1n-1<2（n-1-n-2），

1n<2（n-n-1）；

以上各式相加，

得1+12+13+14+…+1n<2n，所以不等式成立.

教師在教學(xué)中不僅要注重估算方法的理解、學(xué)生間不同估法的交流，更要把估算置于解決問(wèn)題的大背景下，讓學(xué)生分析問(wèn)題，選擇合適的策略解決問(wèn)題.在問(wèn)題解決過(guò)程中，自覺(jué)地把計(jì)算和實(shí)際問(wèn)題情境聯(lián)系起來(lái).理解為什么要估算，什么時(shí)候要用到估算，將估算作為解題的一個(gè)組成部分.