六維Heisenberg李超代數(shù)的Yang-Baxter方程

郎爽,劉文德

(哈爾濱師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,黑龍江 哈爾濱 150025)

六維Heisenberg李超代數(shù)的Yang-Baxter方程

郎爽,劉文德

(哈爾濱師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,黑龍江 哈爾濱 150025)

利用六維Heisenberg李超代數(shù)的分類,在特征0的代數(shù)閉域F上通過(guò)計(jì)算刻畫了六維Heisenberg李超代數(shù)Yang-Baxter方程所有的解.

Heisenberg李超代數(shù);Rota-Baxter算子;Yang-Baxter方程

1 引言

Rota-Baxter代數(shù)由一個(gè)結(jié)合代數(shù)和一個(gè)線性算子組成,Rota-Baxter代數(shù)在物理,數(shù)論,組合等方面的應(yīng)用越發(fā)廣泛[1].Rota-Baxter算子是G.Baxter在研究波動(dòng)理論時(shí)引入的,這個(gè)線性算子滿足微積分中的分部積分公式中的等式[2].這個(gè)算子可推廣到非結(jié)合代數(shù)中.近年來(lái),許多人刻畫了低維代數(shù)上的Rota-Baxter算子,例如文獻(xiàn)[3-4]分別刻畫了低維Pre-Lie代數(shù)上的Rota-Baxter算子,文獻(xiàn)[5]刻畫了有限維Hamilton結(jié)合代數(shù)和三、四維Heisenberg李超代數(shù)上的所有Rota-Baxter算子,文獻(xiàn)[6]刻畫出了三維冪零李超代數(shù)的Yang-Baxter算子,文獻(xiàn)[7]刻畫了五維Heisenberg李超代數(shù)上的Rota-Baxter算子.

本文根據(jù)6維Heisenberg李超代數(shù)在特征0的代數(shù)閉域F上的分類[8],通過(guò)計(jì)算刻畫出了6維Heisenberg李超代數(shù)的所有Yang-Baxter方程的解.約定N表示正整數(shù)集.As×t為F上任意s×t階矩陣,其中s,t∈N.

2 基本概念

定義 2.1設(shè)L為域F上的李超代數(shù)[9],λ∈F.若R:L→L是齊次線性算子,并且滿足

則稱R是李超代數(shù)上權(quán)為λ的Rota-Baxter算子.當(dāng)R次數(shù)是偶數(shù)時(shí),稱為偶算子,當(dāng)R次數(shù)是奇數(shù)時(shí),稱為奇算子.特別地,λ=0時(shí),(1)式稱為經(jīng)典Yang-Baxter方程.

定義2.2[10]設(shè)H是域F上的有限維李超代數(shù),若H滿足 [H,H]=Z(H),dimZ(H)=1,則稱H為Heisenberg李超代數(shù).

Heisenberg李超代數(shù)g按中心元素z的奇偶性,其中z是Z(H)中的非零元,可分為如下兩類:

(1)若|z|=0,則g具有齊次基u1,···,um,v1,···,vm,z,w1,···,wn,其中

其余李積為0,此時(shí)用gm,n表示.

(2)若|z|=1,則g具有齊次基u1,···,un,z,w1,···,wn其中

其余李積為0,此時(shí)用gn表示.

因此,六維Heisenberg李超代數(shù)同構(gòu)于以下三種代數(shù)之一[8]:

(1)|z|=0,g2,3具有齊次基u1,v1,z,w1,w2,w3,乘法表為

其余李積為0;

(2)|z|=0,g4,1具有齊次基u1,u2,v1,v2,z,w1,乘法表為

其余李積為0;

(3)|z|=0,g0,5具有齊次基z,w1,w2,w3,w4,w5,乘法表為[wj,wj]=z,j=1,···,5,其余李積為0.

現(xiàn)將g上的Rota-Baxter算子R分別寫成在上述基下的矩陣,形式為(rij),本文將計(jì)算權(quán)0的Rota-Baxter算子在各組基下的矩陣.

3 主要結(jié)果

定理 3.1Heisenberg李超代數(shù)g2,3的偶Yang-Baxter方程的解為

A有兩種情況,分別為:

a,b,c,k∈F,d=2k?c,?=c或d.

證明由于R為偶的線性算子,可設(shè)

當(dāng)λ=0的情形,由于R為線性的,故只需考慮基元素滿足(1)式,從而有r13,r23是任意的以及下面等式成立:

再分兩種情況討論:r11+r22=0和r11+r220,經(jīng)計(jì)算可得.

定理 3.2Heisenberg李超代數(shù)g2,3的奇Yang-Baxter方程的解為

a,b,c,d∈F.

證明由于R為奇的線性算子,可設(shè)

當(dāng)λ=0的情形,根據(jù)R滿足(1)式

經(jīng)計(jì)算可得.

定理 3.3Heisenberg李超代數(shù)g4,1偶Yang-Baxter方程的解為

其中

矩陣A中元素與D有關(guān).

奇Yang-Baxter方程的解為

其中A任意.

定理 3.4Heisenberg李超代數(shù)g4,1偶Yang-Baxter方程的解為

A中元素關(guān)系為以下兩種之一:

(1)當(dāng)

時(shí),

其中

(2)當(dāng)

時(shí),

其中

證明由于R為偶的線性算子,可設(shè)

λ=0的情形,根據(jù)R滿足(1)式可得

R為奇的線性算子時(shí),可設(shè)

λ=0可得

經(jīng)計(jì)算可得定理3.4的結(jié)果.

表1 g0,5偶的Yang-Baxter方程的解

定理3.5Heisenberg李超代數(shù)g0,5偶的Rota-Baxter方程的解為Ri(i=1,···,5),則如下表：

證明由于R為偶的線性算子,可設(shè)

根據(jù)R滿足(1)式,分兩種情況討論:

(1)r66=0;(2)r660.

在情況(1)中,分五種情況討論:

(a)r11=0,(b)r22=0,(c)r33=0,(d)r44=0,(e)r55=0.

經(jīng)計(jì)算可得定理3.5的結(jié)果.

定理 3.6Heisenberg李超代數(shù)g0,5奇的Yang-Baxter方程的解為

其中A任意.

證明同定理3.3.

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Rota-Baxter operators on Heisenberg Lie superalgebras of dimension six

Lang Shuang,Liu Wende
(Department of Mathematics,Harbin Normal University,Harbin 150025,China)

According to the classification method of Heisenberg Lie superalgebras,we characterize all solutions of the Yang-Baxter equations of the six dimensional Heisenberg Lie superalgebras g2,3,g4,1and g0,5over algebraically closed fields of characteristic 0.

Heisenberg Lie superalgebra,Rota-Baxter operator,Yang-Baxter equation

O152.5

A

1008-5513(2017)02-0177-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.02.009

2016-12-30.

國(guó)家自然科學(xué)基金(11471090).

郎爽(1995-),碩士生,研究方向：李代數(shù)與李超代數(shù).

劉文德(1965-),博士,教授,研究方向：李代數(shù)與李超代數(shù).

2010 MSC:17B05