顆粒樣品形變對聲波傳播影響的實驗探究?

周志剛1)2) 宗謹(jǐn)1)3) 王文廣1)2) 厚美瑛1)2)

1)(中國科學(xué)院物理研究所,軟物質(zhì)重點實驗室,北京凝聚態(tài)物理國家重點實驗室,北京 100190)

2)(中國科學(xué)院大學(xué)物理科學(xué)學(xué)院,北京 100049)

3)(西北師范大學(xué)物理電子與工程學(xué)院,蘭州 730070)

1 引 言

顆粒固體在自然界和工業(yè)生產(chǎn)中是很常見的顆粒物質(zhì)的聚集狀態(tài),如沙堆、谷堆,它是由許多離散的固體小顆粒所組成的體系,只有相鄰的顆粒間才存在相互的摩擦和壓力.由于顆粒間接觸點的分布是隨機(jī)方向的,顆粒固體體系內(nèi)所形成的接觸網(wǎng)絡(luò)非常復(fù)雜,并且外界小的擾動,都能導(dǎo)致顆粒固體體系中接觸網(wǎng)絡(luò)和力鏈結(jié)構(gòu)的變化[1?3].顆粒固體體系能表現(xiàn)出類似于通常彈性固體的性質(zhì),如有確定的堆積形態(tài),但又與通常彈性固體很不同;在一定的外力作用下,通常的彈性固體發(fā)生的宏觀形變與組成彈性固體每一部分的形變滿足線性關(guān)系,為仿射形變;但顆粒固體體系的形變往往是由局部顆粒位置的變化所導(dǎo)致的,是一種非仿射形變[4].

由于透過顆粒體系的聲波能反映顆粒體系內(nèi)部結(jié)構(gòu)和力的信息,并且幅度很小的超聲波在透過顆粒物質(zhì)時往往不對其結(jié)構(gòu)產(chǎn)生破壞[5,6],是研究三維顆粒物質(zhì)體系內(nèi)部結(jié)構(gòu)和力的一種手段.如直剪實驗中,探測顆粒介質(zhì)中剪切波聲速的變化,可以判斷樣品中是否形成了剪切帶[7?9].有效介質(zhì)理論(EMT)通常被用來描述聲波在顆粒介質(zhì)中的規(guī)律,其預(yù)言了顆粒樣品的模量,在許多實驗中,發(fā)現(xiàn)體變模量(K)隨壓力的關(guān)系是滿足EMT的,然而剪切模量(μ)無論是大小還是變化趨勢都偏離EMT的預(yù)測[10,11].Makse等[4]指出顆粒固體體系在外界壓力的作用下,體系的接觸網(wǎng)絡(luò)和平均配位數(shù)都將變化,仿射近似對顆粒固體體系不嚴(yán)格成立.他們對EMT進(jìn)行配位數(shù)的修正后,剪切模量的理論值和實驗測量值定性地符合.

在顆粒物質(zhì)的單軸實驗中,當(dāng)樣品受到軸向壓力時,體系中的顆粒不僅會沿軸向運動,還可能偏離于軸向發(fā)生滑動,填補(bǔ)周圍的空隙,顆粒的這種非仿射運動在宏觀上對應(yīng)于顆粒固體體系的軸向形變;這個過程雖然不像文獻(xiàn)[8,9]中剪切帶的形成那樣顆粒的接觸網(wǎng)絡(luò)發(fā)生劇烈的變化,但相比于加載前,顆粒間的接觸情況是變化的,顆粒的平均配位數(shù)會有所增加[4].而聲波在顆粒體系中是通過顆粒間的接觸傳播的,所以這個過程應(yīng)該會對聲波在顆粒介質(zhì)中的傳播產(chǎn)生影響.本文主要是通過實驗探討外界壓力引起的顆粒體系內(nèi)部接觸結(jié)構(gòu)的變化(宏觀對應(yīng)于樣品發(fā)生的形變)對聲波傳播的影響.具體而言就是在樣品軸向上施加一系列逐漸增大的力,樣品宏觀上對應(yīng)產(chǎn)生一系列逐漸增大的形變,討論這種形變所對應(yīng)的顆粒間接觸結(jié)構(gòu)的變化對顆粒體系中聲波傳播的影響.我們發(fā)現(xiàn)在這個過程中,聲波波形的非相干部分不斷變化,聲速在樣品發(fā)生形變的起始階段明顯偏離EMT的預(yù)測.

2 實 驗

實驗中所用的顆粒為干燥玻璃珠,粒徑分布約為0.28≤d≤0.44 mm;玻璃珠通過漏斗注入直徑為51.0 mm的圓柱形金屬容器中,樣品高度H=63.5 mm,體積分?jǐn)?shù)?約為61%;在圓柱容器的頂部和底部分別放置著發(fā)射和接受超聲波的超聲壓頭,其中心頻率為80 kHz,直徑為50.5 mm,超聲壓頭與圓柱形容器內(nèi)壁大小符合,無顆粒漏出.圖1為實驗裝置示意圖,左上角為超聲壓頭示意,黑色突出部分為產(chǎn)生剪切波的彎曲單元.由于壓電晶體和顆粒樣品不是直接接觸的,聲波在通過壓頭表面的金屬保護(hù)層時會發(fā)生散射和損耗,最后實際進(jìn)入顆粒樣品中聲波的中心頻率往往小于80 kHz.按照實驗中測得的聲波的速度(約400 m/s)和頻率(約30 kHz),可估測此壓頭產(chǎn)生的聲波在樣品中的有效波長λeff=υeff/f≈13 mm,遠(yuǎn)大于實驗中所用顆粒的直徑,聲波是能較好地透過顆粒樣品的.實驗中樣品軸向上的形變量由線性差動變壓器(linear variable differential transformer)測量,實驗的環(huán)境溫度和濕度分別為23°C和30%.

圖1 (網(wǎng)刊彩色)實驗裝置示意圖Fig.1.(color online)Experimental sketch.

為了使顆粒樣品產(chǎn)生不同的形變,在實驗中具體采用的加載過程如圖2:軸向壓力由20 kPa增加到50 kPa,停留2 min,回到20 kPa,然后增加到100 kPa,停留2 min,再回到20 kPa;如此進(jìn)行下去,直到軸向加載達(dá)到900 kPa后,再回到20 kPa.為了后面說明的方便,將一系列壓縮顆粒樣品產(chǎn)生不同形變的壓力記為壓縮壓力(Pcomp),將返回的同一壓力20 kPa進(jìn)行測量時的壓力,記為觀察壓力(Pobse).樣品由Pcomp返回Pobse時,部分形變不可恢復(fù),我們則是要測量在Pobse下,這些由Pcomp產(chǎn)生的形變對顆粒體系中聲波傳播的影響.

圖2 (網(wǎng)刊彩色)加載過程Fig.2.(color online)Loading procedures.

3 實驗結(jié)果與討論

首先我們來看加載過程中樣品形變量的變化.如圖3,軸向力作用于裝在剛性邊壁容器中的顆粒體系,顆粒樣品只允許在軸向上被壓縮,徑向不發(fā)生形變;樣品在Pcomp下的形變ε,包括彈性部分εe(主要是顆粒間的彈性形變的宏觀總和)和塑性部分εpl(主要是顆粒發(fā)生滑動導(dǎo)致的);隨著施加到樣品上Pcomp的增加,軸向發(fā)生的形變幾乎是線性增大(斜率其實是在漸漸減小的),返回到Pobse時,樣品的軸向形變有所恢復(fù),最后不可恢復(fù)的形變也是隨Pcomp的增大而增大.實驗中加載的軸向外力最大為900 kPa,遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于玻璃的剪切模量,可不考慮這個過程中的顆粒破碎的問題.整個實驗過程中,樣品在Pcomp下的最大形變?yōu)?.286 mm,此時樣品的體積分?jǐn)?shù)增加2.03%;返回到Pobse時,樣品軸向最大形變量為0.905 mm,樣品體積分?jǐn)?shù)變化1.43%.

當(dāng)Pcomp作用于樣品時,在顆粒層面上,樣品中的顆粒并不是都沿軸向上發(fā)生微小移動,顆粒會向其周圍的空隙移動,使樣品變得更加密實,顆粒的這種重排過程和樣品軸向形變不滿足仿射關(guān)系,是非仿射運動,這個過程中顆粒的平均配位數(shù)有所增加,體系內(nèi)的接觸結(jié)構(gòu)也將發(fā)生變化[3,12].返回Pobse時,殘留下的應(yīng)變對應(yīng)為非仿射應(yīng)變.下面我們先介紹通過形變量不斷增加的顆粒體系后聲波波形的變化特點.

圖3 (網(wǎng)刊彩色)不同壓力下顆粒樣品軸向形變量Fig.3.(color online)Axial deformation of the granular simple under different stresses.

3.1 波形變化

圖4 給出了樣品經(jīng)過Pcomp=20,300,600,900 kPa壓縮后返回Pobse時通過樣品的聲波波形圖,在這些壓力作用下樣品軸向分別發(fā)生了0,0.338,0.63,0.905 mm的形變,通過這些在顆粒接觸結(jié)構(gòu)上發(fā)生不同程度變化的顆粒樣品后的聲波,存在相似的較為穩(wěn)定的首波(一個到幾個波長左右)[13,14],這是通過樣品后最快到達(dá)接收壓頭的波,稱為相干波;緊跟相干波后長度有幾百微秒的是非相干波.如圖4,通過不同壓縮量樣品的非相干波是有差別的,并且這種差別隨著樣品形變量的增加而變化,這和非相干波對樣品中顆粒間的接觸結(jié)構(gòu)敏感相關(guān),因此非相干波也可被看作是顆粒樣品結(jié)構(gòu)變化的指紋[15,16].

為了定量討論非相干波波形隨樣品形變量增加時發(fā)生的變化,我們引入描述兩列波相似程度的系數(shù),其中,為波列的時間長度.當(dāng)相似度系數(shù)越接近1時,兩列波的相似度越高[5].我們計算了在Pobse下(共19列波)第1個波分別和第i個波波形的相似度系數(shù)(i為1到19的自然數(shù)),記為R(1,i);也計算了相鄰兩次波形的相似度系數(shù),記為R(i,i+1).如圖5所示,R(1,i)隨著樣品形變量的增加而不斷減小,這個過程中顆粒樣品內(nèi)部結(jié)構(gòu)相對于初始狀態(tài)變化越來越大,導(dǎo)致通過樣品的聲波波形變化也越大.R(i,i+1)在樣品發(fā)生形變的初始階段較小,當(dāng)軸向形變超過0.2 mm后,相似度系數(shù)都在0.8以上,這表明在樣品壓縮的初始階段相鄰兩次壓縮下樣品的結(jié)構(gòu)變化導(dǎo)致聲波波形的變化比之后要劇烈,但壓縮量為0.2 mm之后通過樣品的聲波的波形也是在不斷發(fā)生變化,只是相連兩次壓縮導(dǎo)致顆粒體系結(jié)構(gòu)的變化沒有開始時的大.為了說明這一點,我們又分別計算了R(3,i)和R(7,i)作為比較,從曲線的變化可以看出,第3個波(對應(yīng)于樣品在Pcomp=100 kPa壓縮后返回Pobse測量的波)和之后的波的差別越來越大,同樣第7個波和后面的差別也越來越大,只是相對于R(3,i)的結(jié)果這種差別要小些.這些結(jié)果表明隨著顆粒樣品軸向壓縮量的增加,顆粒間接觸結(jié)構(gòu)發(fā)生變化時,通過樣品的聲波波形也將發(fā)生變化,非相干波波形的變化反映了顆粒體系內(nèi)部結(jié)構(gòu)的變化.

圖4 (網(wǎng)刊彩色)通過不同形變量的顆粒樣品中的聲波波形圖Fig.4.(color online)Sound waveforms in granular sample of different deformations.

由于使樣品結(jié)構(gòu)變化的Pcomp并不足夠大,并且由于糧倉效應(yīng)還會導(dǎo)致部分軸向力通過顆粒傳遞到容器邊壁而被分擔(dān)[17,18],從而對容器底部的顆粒發(fā)生結(jié)構(gòu)重排的影響很弱,所以在Pobse下,顆粒樣品軸向形變最大只有0.905 mm,怎樣讓顆粒體系結(jié)構(gòu)發(fā)生更廣泛和均勻的變化,這將在后面的實驗中改進(jìn)方案.采用振動的方式,使整個樣品全局性地發(fā)生結(jié)構(gòu)重排列.

圖5 (網(wǎng)刊彩色)不同軸向形變量下聲波波形的相似度系數(shù)Fig.5.(color online)Resemblance Parameters of sound waveform for different axial deformations.

3.2 聲波頻率和能量的變化

由于顆粒介質(zhì)體系是由散體的顆粒組成,顆粒的配位數(shù)的隨機(jī)性導(dǎo)致顆粒體系內(nèi)部的接觸結(jié)構(gòu)很復(fù)雜,相互間的接觸力隨顆粒形變的關(guān)系也并非簡單的線性,這些將使聲波在顆粒體系中的傳播表現(xiàn)得很復(fù)雜.從顆粒層面看,當(dāng)聲波在顆粒間傳播時,在顆粒的接觸處將發(fā)生散射和耗散,并且不同的頻率成分間的散射是相互獨立的[19].

圖6給出了接收聲波信號的頻率譜.首先相對于原始聲波頻率譜,聲波在通過顆粒樣品后,不同頻率成分都發(fā)生了衰減,20—30 kHz間的頻率成分幾乎消失,但含量并不為0,波形圖中的較穩(wěn)定的相干波部分對應(yīng)的頻率成分就出現(xiàn)在這樣的地方,并且相干波是由多種頻率成分所組成的[14].頻率分布于30—60 kHz的成分衰減程度也很大;聲波頻率的衰減來自于顆粒體系的接觸結(jié)構(gòu)上的各向異性和復(fù)雜性,使得其像高頻濾波器一樣,會很大程度地衰減高頻波.具體來說聲波在顆粒接觸處的散射強(qiáng)度正比于f2,高頻波在傳播過程中將較快地衰減[15],只有f?υeff/d的頻率成分的聲波容易通過.

圖6 (網(wǎng)刊彩色)聲波頻率譜,其中,虛線為初始聲波的頻率譜,不同顏色的實線為發(fā)生不同應(yīng)變的樣品中的頻率譜Fig.6.(color online)Frequency spectra of sound wave:the dash line is the frequency spectrum of initial sound wave,and the different color solid lines correspond to the frequency spectra in different specimen strains.

從圖6可以看出,隨著樣品軸向被壓縮,通過顆粒樣品的聲波頻率譜中最高峰的位置都分布在14—15 kHz間,最高峰的大小和最高峰附近的次高峰都隨樣品形變量的不同而變化.在初始波的頻率譜中也有一個峰值位于這個頻率區(qū)間,這個頻率區(qū)間的聲波相對容易通過壓力為Pobse下的顆粒介質(zhì)體系.進(jìn)行快速傅里葉變換會發(fā)現(xiàn),這個頻率區(qū)間在聲波波形圖中并不是對應(yīng)較為穩(wěn)定的相干波.

由于通過不同形變量樣品的聲波頻率最高峰分布的位置較為穩(wěn)定,都在14—15 kHz間,此頻率段的聲波占整個聲波中很大部分,并且隨著樣品形變量的增加而變化,它反映了聲波受樣品散射和耗散的重要信息.我們給出了最高峰隨樣品形變量的變化,如圖7所示.從圖7可見發(fā)現(xiàn)最高峰并不是隨著樣品變密集而單調(diào)地變化,并且和通過樣品的聲波能量隨樣品形變量變化的圖在形狀上非常相似,這里聲波能量按照|計算.這種相似性可以從頻率譜和波形的關(guān)系理解,由于頻率最高峰反映該頻率范圍的成分在頻率譜中的占比,在波形圖中該頻率范圍的波很多,并且這些波的幅值并不小,所以實驗結(jié)果中頻率最高峰對應(yīng)的聲波能量其實可反映整個聲波的能量.這也表明了聲波在通過顆粒的接觸點發(fā)生散射的同時,聲波能量在接觸處也將耗散;由于聲波在均勻的空氣中是不發(fā)生散射的,所以這個結(jié)果也間接表明了樣品中的空氣對聲波能量的耗散相對于在接觸點上的耗散可以忽略[13,15],否則聲波的能量變化曲線中若計入空氣耗散的部分,其形狀就和頻率最高峰的變化曲線不同.總之,顆粒物質(zhì)體系對于通過其中的高頻聲波有很強(qiáng)的過濾作用,很多高頻部分的頻率成分被散射而向低頻移動或是幾乎消失,顆粒間的空隙空氣對聲波能量的耗散遠(yuǎn)小于在顆粒的接觸點處耗散.

圖7 (網(wǎng)刊彩色)聲波的頻率最高峰和能量隨樣品形變量的變化Fig.7.(color online)The changes of the maximum frequency peak and sound energy with the sample deformation.

3.3 聲波速度

前面討論過相干波波形在樣品漸漸形變過程是比較穩(wěn)定的,只有非相干波在不斷地變化,相干波的這種特點被用來確定聲波通過顆粒介質(zhì)的速度.測量出相干波的到達(dá)時間ttof和樣品的高度,則聲速υ=H/ttof.在土力工程中也通常用共振等方法確定聲波速度.實驗中我們?nèi)∠喔刹úǚ遄鳛槁暡ǖ竭_(dá)點,在很多文獻(xiàn)中取波峰的3%或更小[8,9].這里之所以取波峰一方面是因為聲波都是在較小的觀察壓力(20 kPa)下測量得到的,波形中的雜波較多,而相干波的波峰明顯容易辨識;另一方面我們在實驗前已標(biāo)定過兩超聲壓頭直接相連時相干波波峰的時間,在計算樣品中的聲速時,只要減去標(biāo)定的時間,即可以很大程度地減小選取波峰為聲波到達(dá)點所帶來的偏差.

圖8所示為聲速隨樣品形變量的變化;隨著樣品被壓縮,聲波速度最開始很快地增加,之后增加變得很緩慢,幾乎趨于穩(wěn)定.實驗中聲速的計算值已考慮了樣品高度變化對聲速的修正.樣品最開始發(fā)生形變時的聲速比之后的聲速小了近60 m/s,這種偏差應(yīng)不僅僅是樣品的高度修正能彌補(bǔ)的(實驗中樣品高度變化帶來的最大修正只有),我們認(rèn)為這種差別只可能是樣品初始形變階段顆粒接觸結(jié)構(gòu)的變化帶來的.

圖8 (網(wǎng)刊彩色)聲速隨樣品形變量的變化Fig.8.(color online)The variation of sound velocity versus the sample deformation.

樣品軸向形變的不斷增加對應(yīng)顆粒體系變得越來越密集,顆粒的平均配位數(shù)將增加.EMT通常被用來描述顆粒介質(zhì)體系中聲速和壓力的關(guān)系,但其嚴(yán)格成立的條件是組成顆粒體系的顆粒相同,并且顆粒的配位數(shù)相同;顆粒的運動和樣品的形變滿足仿射關(guān)系.由于沒有考慮顆粒樣品在壓力下平均配位數(shù)將發(fā)生變化(對應(yīng)于顆粒體系接觸結(jié)構(gòu)的變化)的實際情況,EMT在描述樣品剪切模量和聲速隨壓力的變化時出現(xiàn)了偏差.Maske等[4,20]在EMT中考慮了配位數(shù)的變化后,發(fā)現(xiàn)理論計算的剪切模量和實驗定性地符合.在我們的實驗中由于Pobse=20 kPa是恒定不變的,聲速的變化主要是由于顆粒的非仿射運動引起的顆粒接觸結(jié)構(gòu)的變化導(dǎo)致的,圖8的計算中也考慮了配位數(shù)的修正[21],,按照EMT[4,20,22]:

本實驗中制備的樣品是相對較為松散的,在不斷壓縮變密實的過程中,顆粒的運動將導(dǎo)致顆粒體系接觸結(jié)構(gòu)發(fā)生變化.最近有二維光彈實驗[23]表明顆粒體系的接觸結(jié)構(gòu)不同時,顆粒間的作用力隨顆粒間的形變量的關(guān)系是不同的,不總是按Hertz接觸理論的3/2次關(guān)系,這很可能是導(dǎo)致聲速隨壓力的指數(shù)偏離EMT的預(yù)測.本實驗中三維玻璃顆粒體系受軸向壓力導(dǎo)致顆粒體系內(nèi)部接觸結(jié)構(gòu)的變化雖然不能像二維光彈實驗?zāi)菢涌梢灾苯佑^察,但也觀察到在樣品應(yīng)變初始階段的聲速偏離EMT的預(yù)測,這也許與之前很多實驗結(jié)果[4,13,23?25]報道的聲速隨壓力的指數(shù)偏離1/6密切相關(guān).

4 結(jié) 論

本文通過實驗探討了顆粒樣品軸向形變不斷增加時對聲波傳播的影響,結(jié)果表明聲波在通過顆粒介質(zhì)時頻率很快地衰減,頻率譜中的最高峰的變化趨勢和通過樣品中聲波的能量變化趨勢相似.隨著樣品軸向形變的不斷增加,通過顆粒樣品的非相干波部分波形的關(guān)聯(lián)系數(shù)是變化的,這反映了顆粒體系內(nèi)部接觸結(jié)構(gòu)的變化;在這種變化的起始階段聲速較大地偏離EMT的預(yù)測;隨著樣品被壓密,聲速漸漸趨于穩(wěn)定并且在實驗誤差范圍內(nèi)符合EMT的預(yù)測,這對長期爭論的聲速隨壓力變化指數(shù)偏離EMT預(yù)測的原因有所啟示.

[1]Liu C H,Nagel S R,Schecter D A,Coppersmith S N,Majumdar S,Narayan O,Witten T A 1995Science269 513

[2]Jacco H S,Thijs J H V,van Martin H,van Wim S 2004Phys.Rev.Lett.92 054302

[3]Bi D P,Zhang J,Chakraborty B,Behringer R P 2011Nature480 355

[4]Makse H A,Gland N,Johnson D L,Schwartz L M 1999Phys.Rev.Lett.83 5070

[5]Tournat V,Gusev V E 2009Phys.Rev.E80 011306

[6]Jia X,Brunet Th,Laurent J 2011Phys.Rev.E84 020301

[7]Caroli C,Velicky B 2003Phys.Rev.E67 061301

[8]Khidas Y,Jia X P 2012Phys.Rev.E85 051302

[9]Zhang Q,Li Y C,Hou M Y,Jiang Y M,Liu M 2012Phys.Rev.E85 031306

[10]Domentico S N 1977Geophysics42 1339

[11]Yin H 1993Ph.D.Dissertation(Stanford:Stanford University)

[12]Majmudar T S,Sperl M,Luding S,Behringer R P 2007Phys.Rev.Lett.98 058001

[13]Jia X,Caroli C,Velicky B 1999Phys.Rev.Lett.82 1863

[14]Owens E T,Daniels K E 2011Eur.Phys.Lett.94 54005

[15]Liu C H,Nagel S R 1992Phys.Rev.Lett.68 2301

[16]Yacine K,Jia X P 2010Phys.Rev.E81 021303

[17]Wambaugh J F,Hartley R R,Behringer R P 2010Eur.Phys.J.E32 135

[18]Corwin E I,Jaeger H M,Nagel S R 2005Nature435 1075

[19]Nicolas V,Giammarinaro B,Derode A,Barrière C 2013Phys.Rev.E88 023201

[20]Makse H A,Gland N,Johnson D L,Schwartz L M,Schwartz L 2004Phys.Rev.E.70 061302

[21]Vitelli V 2010Soft Matter6 3007

[22]Walton K 1987J.Mech.Phys.Solids35 213

[23]Lherminier S,Planet R,Simon G,Vanel L,Ramos O 2014Phys.Rev.Lett.113 098001

[24]Gilles B,Coste C 2003Phys.Rev.Lett.90 174302

[25]Goddard J D 1990Proc.R.Soc.Lond.Ser.A430 105