一道空間直線方程題的新解法

摘 要：本文通過引入兩點(diǎn)式求直線方程的思想，給出了求類似直線方程問題的一般方法，為數(shù)學(xué)專業(yè)初學(xué)者提供借鑒意義。

關(guān)鍵詞：直線 平面 相交 方向向量 法向量

中圖分類號(hào)：G644.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-1578（2017）04-0024-01

1 引言

在空間中當(dāng)兩直線相交時(shí)可以唯一確定一個(gè)平面，兩相交平面又可以唯一確定一條直線，在教材[1]第三章的例子中就采用這種思想得出所求直線方程，但是此種方法很大的缺陷就是計(jì)算量過大，并且滿足條件過多，導(dǎo)致解題思路不夠明朗，對(duì)于剛接觸這門學(xué)科的學(xué)生而言，這并不是一種最好的解題思路，基于此種原因，這篇文章給出了該題的另一種解法，相較教材上的解題方法來說，新的解題方法更簡(jiǎn)單快捷，易于理解。

2 教材[1]第三章有例題

求通過點(diǎn)P（1，1，1）且與兩直線L1，L2都相交的直線L的方程，

新解法：分析兩條直線L1，L2的方程，發(fā)現(xiàn)兩條直線都過同一點(diǎn)M={1，2，3}，且1∶2∶3≠2∶1∶4即L1，L2是空間兩條相交直線，而兩條相交直線能唯一確定一個(gè)平面，如果P點(diǎn)不在這個(gè)平面上，則所求直線只能過M點(diǎn)才能與L1，L2同時(shí)相交，且一旦知道一條直線上的兩點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)式方程即可求出所求直線方程。

解：已知L1過點(diǎn)M1={0，0，0}，方向向量為v1={1，2，3}，L2過點(diǎn)M2={1，2，3}，方向向量為v2={2，1，4}，因L1與L2都過同一點(diǎn)M2{1，2，3}且1∶2∶3≠2∶1∶4，則L1與L2相交，由L1與L2所確定的平面方程的法向量為：

則該平面方程為：5（x-0）+2（y-0）-2（z-0）=0，整理得：

5x+2y-2z=0，將P點(diǎn)帶入平面方程有5≠0，故P點(diǎn)不在平面上，因此所求直線L的方程為：

從上面解法中可得出求類似例題的一般解法：求過空間一點(diǎn)P且與兩已知直線L1，L2都相交的直線的方程時(shí)，可以先考慮這兩條已知直線是否相交，如果相交于點(diǎn)M，則求出所確定的平面方程，并判斷P點(diǎn)在不在該平面上，如果不在，則所求直線必過M點(diǎn)，由直線上兩點(diǎn)可得出所求直線的方程，且該直線唯一；如果P點(diǎn)在平面上，則所求直線有無數(shù)條，可利用點(diǎn)P和點(diǎn)M求出其中一條直線的方程。采用此種解題方法，不僅計(jì)算量小，且思路簡(jiǎn)單清晰。

參考文獻(xiàn)：

[1] 呂林根，許子道.解析幾何[M].第4版. 北京：高等教育出版社，2006.

[2] 歐宜貴，李文雅.空間解析幾何：綜合學(xué)習(xí)與指導(dǎo)[M].北京：中國(guó)科技技術(shù)大學(xué)出版社，2009.01.

[3] 吳光磊，田疇.解析幾何簡(jiǎn)明教程[M].北京：高等教育出版社，2008.

作者簡(jiǎn)介：彭興媛，碩士研究生，講師，研究方向：統(tǒng)計(jì)分析。