思維與本質(zhì)：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法與內(nèi)容的核心

陳龍

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，因其受眾的特殊以及囿于學(xué)考的艱難權(quán)衡，所以呈現(xiàn)出與生活常態(tài)數(shù)學(xué)、學(xué)院學(xué)術(shù)數(shù)學(xué)等諸多數(shù)學(xué)領(lǐng)域不同的面目與姿態(tài)。由此論說的基點來審議當(dāng)下中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，筆者發(fā)現(xiàn)，在教學(xué)方法的選擇以及教學(xué)內(nèi)容的確定上，存在著一定的困弊，需要深度辨識、厘清與規(guī)避。

1 思維過程指導(dǎo)的缺失：數(shù)學(xué)教學(xué)方法的內(nèi)傷

思維，是高揚在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域中的一面大旗。這面旗幟似乎成為了中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科、甚而整個中學(xué)理工學(xué)科“包治百病”的萬能詞匯。當(dāng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績較差，有數(shù)學(xué)老師在旁指點：“要注意數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練?。　睌?shù)學(xué)老師在專業(yè)研究中也喜歡大談特談“思維重要性”。下面，我們來審議江蘇省數(shù)學(xué)特級教師張乃達(dá)關(guān)于“三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理”的教學(xué)升格案例：

1.1 原始教學(xué)設(shè)計

如右圖：AD 是∠BAC的平分線，AE = AC。

求證：

思考：從上面的例子中可以發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角平分線有什么樣的性質(zhì)？寫出證明。

1.2 升格教學(xué)設(shè)計

（1）證明線段成比例有哪些方法、定理？

（2）怎樣創(chuàng)造條件在本題（如右圖）中使用平行線截得比例線段定理？

（3）延長AB到E，使AE=AC，問題轉(zhuǎn)化為證明什么？

這樣的提示，可以控制提示的水平，也可以適應(yīng)不同水平學(xué)生學(xué)習(xí)的需要，不會束縛學(xué)生思維。例如，學(xué)生在上面的提示下，會想到如圖所示的新證法：

（取AE=AC，引EF∥AD，證ED=DC）

如果出于教學(xué)的需要，打破了上面提示的順序，則可以通過“反思”這個環(huán)節(jié)，來揭示被超越的思維過程，如在上述教學(xué)設(shè)計中，加上教學(xué)程序“4”。

（4）如果沒有問題（1），你能直接給出三角形角平分線性質(zhì)定理的證明嗎？輔助線AE、EC是根據(jù)什么想出來的？

顯然，由原始與升格的對比觀照而言，我們不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)下中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，思維指導(dǎo)缺失的主要表現(xiàn)在“忽視概念定律結(jié)論的形成推導(dǎo)”“忽視數(shù)學(xué)具體方法的思考運用過程”以及“數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)的過程”等方面。而上述升格教學(xué)案例的呈現(xiàn)已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了“要注意數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練??！”一語的蒼白，以及單談“思維重要性”片語的孤立。張老師的升格教學(xué)環(huán)節(jié)中，最重要的是將“粗獷粗線條的啟發(fā)式教學(xué)方法”明晰明細(xì)為了“聚焦思維過程的啟發(fā)式教學(xué)方法”。啟發(fā)式教學(xué)方法絕不是單純羅列幾個問題，而是需要將數(shù)學(xué)思維過程的聚焦與關(guān)懷熔鑄其中。可以說，“問題編排”僅僅是啟發(fā)式教學(xué)方法之“形”，而“思維過程”才是啟發(fā)式教學(xué)方法之“神”?！吧瘛睘椤靶巍北?，“形”為“神”體。二者相輔相成，方能形神俱佳。

2 學(xué)科本質(zhì)特征的旁落：數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的困厄

任何一個學(xué)科都有其學(xué)科的特質(zhì)，這是一個關(guān)乎學(xué)科“姓氏”的大是大非的問題，不容我們?nèi)魏涡∮U。筆者曾看到過一個關(guān)于“反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)”的課堂案例。其中的教學(xué)片段為：

（1）觀察反比例函數(shù)的圖像（略），你能猜想出反比例函數(shù)有什么性質(zhì)嗎？填寫下表。

（2）閱讀課本“思考”，小組交流各自的猜想是否正確？

中學(xué)數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的一門學(xué)科。高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性、結(jié)論的相對確定性、較完整的系統(tǒng)性以及應(yīng)用的廣泛性是其本質(zhì)的特點，而思維能力則是數(shù)學(xué)學(xué)科能力的核心。針對這樣的學(xué)科特質(zhì)，我們的教學(xué)方法要突出過程，教學(xué)內(nèi)容也要相應(yīng)地做出呼應(yīng)。如前面敘及的案例。教師將反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)分成了k>0和k<0兩類情況。這樣的分類已然將學(xué)生體驗分類的過程斥于教學(xué)視野之外，相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容也隨之缺失。這就會造成學(xué)生僅識表象，而不究內(nèi)里：為什么當(dāng)k>0時，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限；當(dāng) k<0時，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過第二、四象限？

因而，針對上述的困厄，有教師進(jìn)行了完善升格：

（1）觀察六個反比例函數(shù)的圖像（略）。你能將它們分成兩類嗎？ 你是怎樣分類的？

（2）說出每種情況下函數(shù)的增減性。

如此提升后的教學(xué)環(huán)節(jié)，實際上是對數(shù)學(xué)學(xué)科特質(zhì)的把握與尊重。由此而來的教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)，更是一種智慧與思想的綻放。

前不久，筆者參加了一個公開課評課活動，有一位教研員認(rèn)為：“多媒體可以激發(fā)學(xué)生興趣，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，進(jìn)而提高教學(xué)效果。”此言確有一定的價值。但亦需我們警醒：數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的優(yōu)化的根本路徑在于對數(shù)學(xué)本質(zhì)的深刻領(lǐng)悟與挖掘，切莫為了僅僅讓課堂變得“華麗多彩”而“聲光俱現(xiàn)”。

教學(xué)方法與教學(xué)內(nèi)容，是任何一門學(xué)科教學(xué)的兩翼。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)唯有“重視思維過程指導(dǎo)”“時時秉持學(xué)科特質(zhì)”，才能在學(xué)科教學(xué)方面不斷取得貨真價實的效益，在學(xué)科教育專業(yè)方面保有自己應(yīng)有的地位與尊嚴(yán)。