過圓錐曲線上任一點切線的又一尺規(guī)作法

在研讀完文⑴、⑵、⑶后感受頗多、受益匪淺.自己在教學過程中也發(fā)現(xiàn)了利用圓錐曲線的光學性質(zhì)可快速作過圓錐曲線上任意一點的切線，現(xiàn)與大家一起探討.

一、圓錐曲線的幾個性質(zhì)

1.橢圓上任一點的兩條焦半徑的夾角被該點處的法線所平分.

證明：如圖（1）設(shè)橢圓方程為 ，且 為橢圓上任一點， 是左右焦點，則 ， ，過點 的法線方程為 .令 ，得 ，故法線與 軸交點 的坐標為 .所以 、 .

過點 的法線 平分點 的兩條焦半徑的夾角.

同理可證：

2.雙曲線上任一點的兩條焦半徑的夾角被該點處的切線所平分.

3.拋物線上任一點的一條焦半徑與過此點的直徑的夾角被該點處的法線所平分.

證明：如圖（2）設(shè)拋物線標準方程為 ， 為焦點， 為拋物線上任一點，過點 的切線 的方程為 則切線與 軸交點 的坐標為 .

則 ， ，即 ，故 ，

又 軸，

而 ， 命題得證.

有上述三個性質(zhì)易得圓錐曲線的一個統(tǒng)一光學性質(zhì)：

4.若一入射光線所在直線經(jīng)過圓錐曲線的一個焦點，則反射光線所在直線必經(jīng)過另一焦點（拋物線的另一焦點可看作在無窮遠處）.（如圖3、圖4、圖5）

二、圓錐曲線幾個性質(zhì)的運用

有上面的性質(zhì)不難利用尺規(guī)作出過圓錐曲線上任一點的切線，下面給出尺規(guī)作圖步驟：

步驟1：連接圓錐曲線上的點 與兩焦點 （拋物線的 與對稱軸平行）；

步驟2：作 的角平分線 ；

步驟3：若圓錐曲線為雙曲線，則直線 即為過雙曲線上一點 的切線；

若圓錐曲線為橢圓或拋物線，過點 作 的垂線 ，則直線 為過橢圓上一點 的切線.

說明：若該點 在頂點處時切線即為軸的垂線，此切線不難作出.

過圓錐曲線上任一點作圓錐曲線的切線的方法很多，不過這種方法較為簡單快捷，也可作為作圓錐曲線切線的一種較統(tǒng)一的方法.

參考文獻：

[1] 季福根. 橢圓切線的尺規(guī)作法[J]. 數(shù)學通報，2003（11）.

[2] 黃偉亮. 雙曲線、拋物線切線的尺規(guī)作法[J]. 數(shù)學通報，2004（12）.

[3] 吳 進. 一個有趣的發(fā)現(xiàn)及其推廣[J]. 數(shù)學通報，2005（1）.