巧用正方體解決立體幾何計(jì)算題

李中花

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)教學(xué)；正方體；立體幾何；計(jì)算題

【中圖分類號(hào)】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 C

【文章編號(hào)】 1004—0463（2017）06—0124—01

立體幾何知識(shí)是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，但面對(duì)許多復(fù)雜的幾何計(jì)算問(wèn)題，常讓人束手無(wú)策，找不到解題的突破口.正方體作為最基本的空間模型，包含了豐富的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.若能巧妙地借助正方體解題，必然會(huì)得到“山重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村”的效果.下面，筆者舉例說(shuō)明.

一、有關(guān)三視圖的一些問(wèn)題

例如 ，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的所有棱中最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為多少？

解法一：將三視圖還原為三棱錐D-ABC（如圖1），

側(cè)面DBC⊥底面ABC

易知 側(cè)面DBC∩底面ABC=BC

AB⊥BC?AB⊥面DBC

?AB⊥BD

由側(cè)視圖可得，BD=2，BC=4，又AB=4，

則AC=4，AD=6，那么最長(zhǎng)棱為AD=6.

解法二：根據(jù)三視圖借助一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體（如圖2），則三視圖對(duì)應(yīng)的多面體為三棱錐，易得最長(zhǎng)棱為AD=6.

評(píng)析：在第一種解法中，只根據(jù)三視圖本能地畫出幾何體，顯然其中的線面關(guān)系不好確定，并且運(yùn)算量相對(duì)較大.而第二種解法中，借助正方體可以有效實(shí)現(xiàn)三視圖的還原，降低計(jì)算難度，提高解題效率.

變式：一個(gè)多面體的三視圖如下圖所示，則該多面體的體積是（ ）.

A. B. C.6 D.7

解：由三視圖中三個(gè)圖都是正方形可知該幾何體是棱長(zhǎng)為2的正方體（如圖3），截去兩個(gè)小三棱錐后余下的部分，其體積V=8-2×××1×1×1=.故選A.

二、有關(guān)異面直線的一些問(wèn)題

例如，直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于多少？

解法一：延長(zhǎng)CA到D，使AD=AC，連結(jié)A1D，BD，則四邊形A1C1AD是平行四邊形，所以∠DA1B就是異面直線BA1與AC1所成的角.圖中BA垂直平分DC，得BD=BC.又直三棱柱中AB=AC=AA1，可得BC=BA1=AC1=A1D，則△A1DB是等邊三角形，∠DA1B=60°，即異面直線BA1與AC1所成的角是60°.

解法二：把該直三棱柱補(bǔ)成一個(gè)正方體，如圖5所示，借助正方體的性質(zhì)，知AC1∥BD1，則就是異面直線BA1與AC1所成的角，A1B，DA1，BD三條線段都是正方體三個(gè)面的對(duì)角線，所以構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，因此異面直線BA1與AC1所成的角等于60°.

評(píng)析：對(duì)異面直線所成的角的問(wèn)題，經(jīng)常通過(guò)平移直線化異面為共面來(lái)解決.在解法一中構(gòu)造了一個(gè)平行四邊形完成了平移直線的任務(wù)，但此法相對(duì)較難，不容易找到解題的突破口.在解法二中，借助正方體中直線的平行關(guān)系成功的將異面直線平移到了某一個(gè)三角形中，從而通過(guò)解三角形來(lái)求角.

變式：在三棱錐A-BCD中，側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共斜邊，且AD=，BD=CD=1，側(cè)面ABC是正三角形，求異面直線AD與BC所成的角.

解：由已知可以得出，AC=AB=BC=，∠BDC=90°，根據(jù)正方體的棱長(zhǎng)、面對(duì)角線長(zhǎng)、體對(duì)角線長(zhǎng)的關(guān)系，可以聯(lián)想到該三棱錐是棱長(zhǎng)為1的正方體的一部分（如圖6所示），則AE⊥面CDBE，直線AD在面CDBE內(nèi)的射影為ED，又ED⊥CB，根據(jù)三垂線定理得AD⊥CB，即它們所成的角是90°.

編輯：謝穎麗