例談分類討論在解題中的運用

☉內(nèi)蒙古赤峰市赤峰二中 孫廣仁

例談分類討論在解題中的運用

☉內(nèi)蒙古赤峰市赤峰二中 孫廣仁

分類討論的思想方法是中學數(shù)學的基本思想方法之一，是歷年高考的重點.函數(shù)試題中含有需討論的參數(shù)，是歷年高考的熱點.然而在分類討論時，討論的標準是什么？怎樣進行分類討論？如何在分類時，做到不重不漏？很多學生知道利用分類討論，但是不知道該如何進行，往往很混亂.基于這些問題，本文以近幾年的高考題為例，談談分類討論在解題中的運用.

一、利用數(shù)形結合進行分類討論

正確、合理運用數(shù)形結合是學好高中數(shù)學的關鍵，因此要培養(yǎng)學生數(shù)形結合的能力，并會根據(jù)數(shù)形結合進行分類討論.

例1關于x的方程（x2-1）2-|x2-1|+k=0，給出下列四個命題：

①存在實數(shù)k，使得方程恰有2個不同的實根；

②存在實數(shù)k，使得方程恰有4個不同的實根；

③存在實數(shù)k，使得方程恰有5個不同的實根；

④存在實數(shù)k，使得方程恰有8個不同的實根.

其中假命題的個數(shù)是（）.

A.0B.1C.2D.3

解：據(jù)題意可令|x2-1|=t（t≥0），①則方程化為t2-t+k=0.②作出函數(shù)y=|x2-1|的圖像，如圖1，結合函數(shù)的圖像可知，

圖1

（1）當t=0或t＞1時，方程①有2個不等的根；

（2）當0＜t＜1時，方程①有4個根；

（3）當t=1時，方程①有3個根.

所以，當t=0時，代入方程②，解得k=0，此時方程②有兩個不等根t=0或t=1，故此時原方程有5個根.

作出函數(shù)的圖像，要使函數(shù)與y=kx-2有兩個不同的交點，則直線y=kx-2必須在陰影部分內(nèi)，如圖2，此時當直線經(jīng)過右上區(qū)域時B（1，2），k滿足1＜k＜4；當經(jīng)過左下區(qū)域時，k滿足0＜k＜1.

綜上實數(shù)k的取值范圍是（0，1）∪（1，4）.

圖2

二、利用數(shù)軸標根進行分類討論

數(shù)軸標根形象直觀，利用數(shù)軸標根來進行分類討論簡單明了，易于理解.

例3已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2，討論f（x）單調(diào)性.

解：因為f′（x）=（x-1）（ex+2a），且對任意x∈R，ex＞0.

所以，（1）當a≥0時，若x∈（-∞，1）時，f′（x）＜0；

若x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0.

（2）當a＜0時，令f′（x）=0，則x=1或x=ln（-2a）.

所以，當x∈（-∞，1）或x∈（ln（-2a），+∞）時，f′（x）＞0；當x∈（1，ln（-2a））時，f（′x）＜0.

所以，當x∈（-∞，ln（-2a））或x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0；當x∈（ln（-2a），1）時，f（′x）＜0.

所以，當x∈（-∞，+∞）時，f（′x）≥0.

本題難點在于a＜0的情況，此時f′（x）=0有兩個根，1和ln（-2a）.需要分類討論，由數(shù)軸標根法可知，根的大小是關鍵，為此，根據(jù)兩根的大小不確定為標準，這就是a以-為臨界進行分類討論的原因.

圖3

圖4

圖5

從以上分析可知，數(shù)軸標根法剛好為我們提供了分類討論的標準，同時也為我們打開了解題思路.根據(jù)這種方法來分類討論，可以做到不重不漏.另外，在運用數(shù)軸標根法解不等式時要注意：不等式的首項系數(shù)要是正數(shù)；“奇穿過，偶彈回”的原則.

三、利用用構造函數(shù)進行分類討論

例4在平面直角坐標系中，橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的點稱為格點，任取6個格點Pi（xi，yi）（i= 1，2，3，4，5，6）滿足：（1）|xi|≤2，|yi|≤2，（i=1，2，3，4，5，6），（2）任何三點不在同一條直線上.試證：在以Pi（i= 1，2，3，4，5，6）為頂點的所有三角形中，必有一個三角形，它的面積不大于2.

證明：用反證法，假設在以Pi（i=1，2，3，4，5，6）為頂點的所有三角形面積都大于2.

可知若某相鄰兩條平行線上有三個點，則它們構成的三角形的面積不大于2.

（1）x軸上無點或恰有一點，則至少有三個點在x軸上方（或下方），則這三點構成的三角形的面積不大于2，矛盾.

圖6

（2）x軸上二點，若y=±1上有點，出現(xiàn)矛盾，則只能是y=±2上各有兩點.

（3）同樣討論y軸，知y軸上有兩點，則x=±1上無點.

則只能如圖6中9點中放6點.

若取到原點，則x軸上（-2，0）和（2，0）中任取一點，在y=±2上任一點構成三角形，即得矛盾.

若不取原點，則必取x軸上（±2，0），y軸上（0，±2），則在余下的四點（±2，±2）中任取一點均可得矛盾.

從而命題得證.

四、利用描述分析進行分類討論

（2）當a=1時，（fx）=1∈［-2，2］.

（3）當a＞1時，1-a＜0，

例6已知a是實數(shù)，函數(shù)f（x）=2ax2+2x-3-a，如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［-1，1］上有零點，求a的取值范圍.

解：若a=0，則f（x）=2x-3，當f（x）=2x-3=0時，解得x= 1.5?［-1，1］，所以a≠0.

當a≠0時，若Δ=0，即拋物線與x軸有唯一的一個公共點，此時：

當拋物線與x軸在［-1，1］上有唯一的一個公共點，此時a滿足下列條件：

f（-1）·f（1）≤0，即（a-1）（a-5）≤0，解得1≤a≤5.

當a=5時，Δ=22-8×5×（-3-5）=324＞0，拋物線與x軸有兩個不同的交點，所以，1≤a＜5符合要求.

當拋物線與x軸在［-1，1］上有2個公共點，此時a滿足下列條件：

例7設函數(shù)fn（x）=xn+bx+c（n∈N+，b，c∈R）.

（2）設n=2，若對任意x1，x2∈［-1，1］，有|f2（x1）-f2（x2）|≤ 4，求b的取值范圍；

解：（1）證明：b=1，c=-1，n≥2時，fn（x）=xn+x-1.

（2）當n=2時，f2（x）=x2+bx+c.

對任意x1，x2∈［-1，1］都有|f2（x1）-f2（x2）|≤4等價于f2（x）在［-1，1］上最大值與最小值之差M≤4，據(jù)此分類討論如下：

綜上所述，b的取值范圍為-2≤b≤2.

所以xn＜xn+1（n≥2），

所以數(shù)列x2，x3，…，xn…是遞增數(shù)列.

由此可見，分類討論是培養(yǎng)學生思維方式的極好素材，用分類討論思想來解題，關鍵是要把握好三關：一是分類的對象要確定，標準要統(tǒng)一，做到不遺漏、不重復，分清主次，不越級討論，即把好“分類關”；二是要保證條理分明，層次清晰，把好“邏輯關”；三是要對照題中的限制條件或隱含信息，合理取舍，把好“檢驗關”.