一道課本例題的研究與拓展

☉江蘇省常熟市尚湖高級中學 馬晉華

一道課本例題的研究與拓展

☉江蘇省常熟市尚湖高級中學 馬晉華

前蘇聯(lián)數(shù)學家奧加涅相說過：“很多例習題潛在著進一步擴展其數(shù)學功能、發(fā)展功能和教育功能的可行性.”教材中的習題凝聚了許多專家、學者的心血和經(jīng)驗.在教學過程中，應該充分利用教材上的經(jīng)典例習題，采用多層次處理、多角度分析、深挖隱藏于習題背后的豐富內(nèi)容，發(fā)揮其潛在的教學價值，無論從方法上還是內(nèi)容上都起著“固體拓新”之用，可收到“秀枝一株，嫁接成林”之效，同時可培養(yǎng)學生提出問題和解決問題的能力，并使學生探究能力和創(chuàng)新能力得到發(fā)展.下面就一道課本習題談其教學價值，整理成文，不揣冒昧，奉獻出來，供讀者參考.

一、題目再現(xiàn)

題目：如圖1，過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸.

在以往的教學中筆者都是直接講解此例，但是發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)學生難以掌握，不知其所以然.我對此進行了反思，并改變了教學方式，先將此例具體化為特殊的拋物線y2=4x進行研究，然后推向一般即得例題結論，再進一步進行變式探究收到了良好的效果.

圖1

二、改編、變式與拓展

改編例題：過拋物線y2=4x焦點F的直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D，求證：直線BD∥x軸.

在證明此例之前，先給出引例：

過拋物線y2=2px焦點F的直線交拋物線于A（x1，y）1，B（x2，y2）兩點，求證：y1y2=-p2.下面先給出引例的證明.

證明：顯然直線AB斜率不為0，故令AB方程為x= my+，代入y2=2px并整理得y2-2pmy-p2=0.

因為Δ=4p2m2+4p2＞0，所以y1y2=-p2.

再給出漢編例題的證明.

證明：如圖1，因為A，O，D三點共線，

所以kOA=kOD（直線OA與OD斜率相等）.

再讓學生把結論推向一般式y(tǒng)2=2px，學生很快解決了問題.我緊接著對例題進行變式，并讓學生證明，然后把結論推向一般.

變式1過拋物線y2=4x焦點F的直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，過B點作x軸平行線交準線于點D.求證：A，O，D三點共線.

所以kOA=kOD.所以A，O，D三點共線.

變式2過拋物線y2=4x焦點F的直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，過B點作x軸平行線與AO延長線交于一點D.求證：D點在一條定直線上.

證明：如圖1，令D（xD，y2）.

因為A，O，D三點共線，所以kOA=kOD，

又由引例知，y1y2=-4.

所以xD=-1，即D點在定直線x=-1上.

拓展1過點M（2，0）的直線交拋物線y2=4x于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，過點B作x軸平行線與AO延長線交于點D.求證：D點在一條定直線上.

圖2

證明：如圖2，顯然直線AB斜率不為0，故令AB方程為x=my+ 2，A（x1，y1），B（x2，y2），D（xD，y2）.

代入y2=4x并整理得y2-4my-8=0.

因為Δ=16m2+32＞0，

所以y1y2=-8.

因為A，O，D三點共線，所以kOA=kOD，

所以xD=-2，即D點在一條定直線x=-2上.

拓展2過點M（a，0）（a＞0）的直線交拋物線y2=4x于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，過點B作x軸平行線與AO延長線交于點D.求證：D點在一條定直線上.

同理可證定直線為x=-a.

變式3如圖1，已知D為拋物線y2=4x準線上一點，拋物線焦點為F，過D作x軸平行線與拋物線交于一點B（x2，y2），直線BF與DO延長線交于一點A（x1，y1），求證：點A在拋物線上.

證明：令A（x1，y1），D（-1，y2）.

當直線AB斜率存在時，

故點A在拋物線上.

所以點A在拋物線上.

變式4如圖1，已知D為拋物線度y2=4x準線上一點，拋物線焦點為F，連接DO并延長與拋物線交于一點A（x1，y）1，過點D作x軸平行線與直線AF交于一點B（x2，y2）.求證：點B在拋物線上（.證明略）

變式5如圖1，已知D為拋物線y2=4x準線上一點，拋物線焦點為F，連接DO并延長與拋物線交于一點A（x1，y）1，過點D作x軸平行線與拋物線交于一點B（x2， y2）.求證：A，F(xiàn)，B三點共線.（證明略）

三、幾點思考

1.學生的主觀能動性得到發(fā)揮

讓學生自己去研究問題，獲得對知識的再發(fā)現(xiàn)，這本身就是獲取知識的心路歷程，要讓學生知曉探究知識的過程是艱辛的，但是獲取知識的結果是一件令人興奮的事，同時也體現(xiàn)了對學生的教不一定非要在課堂講授，也可以是課外，教學和研究是相輔相成的，雙方是充滿互動的.教師在教學中可以在這方面多研究，多下工夫，這對學生的成長歷程都是有幫助的.正如日本數(shù)學教育家米山國藏所說：“學生在學校所學的數(shù)學知識，畢業(yè)后若沒什么機會去用，一兩年后就會忘掉.然而，不管他從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數(shù)學的精神，數(shù)學的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等，卻隨時隨地發(fā)生作用，使他們受益終生.”通過這次研究性學習，使我深深意識到除了做好日常教學外，可以多開展這樣的研究性學習，使學生學中樂、樂中學，真正做到教學相長.

2.利于學生解題經(jīng)驗的總結與反思

縱觀幾十年的高考試題，許多高考試題也來源于課本教材.教材中的例題習題具有典型性、示范性，同時也滲透著一些數(shù)學思想方法或提供某些結論.因此，以本為本，重視對教材中的例題習題的深入探究，發(fā)現(xiàn)新的東西，是提高高考復習效率的最佳捷徑.

3.引導學生重視回歸課本

挖掘課本習題的教學價值，可引起師生對高三復習回歸課本的重視，更有利于將學生從“題海”中“拯救”出來，對于激發(fā)學生的學習興趣，養(yǎng)成用新視角審視課本習題的習慣，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)大有裨益.教師在高三的教學過程中不要舍本逐末，拿著一本資料教到底，而應就地取材，注重應用新課程理念，對教材經(jīng)典的例題和習題進行“再創(chuàng)造”，推陳出新，有效地幫助學生提高復習效率.人們常說“一種習慣會孕育一種思維方式”，如果教師能長期在引導、啟發(fā)學生思考和提出問題上形成一種習慣和模式，學生就會養(yǎng)成遇事自己開動腦筋，自己尋找解決問題的途徑和方法，不依賴他人的好習慣，那么課堂就會成為研究問題的課堂.數(shù)學家克萊因曾說過：“數(shù)學是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨特的創(chuàng)作，音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學能給予以上一切.”

正如美國著名數(shù)學教育家波利亞所說：“一個專心的認真?zhèn)湔n的老師能夠拿出一個有意義的但又不太復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域”.教師要研究教學，將課本上數(shù)學知識的學術形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，讓“冰冷的美麗”引起學生“火熱的思考”.