☉江蘇如皋市東陳鎮(zhèn)雪岸初級(jí)中學(xué) 陶成龍
一圖一世界,一法通一片
☉江蘇如皋市東陳鎮(zhèn)雪岸初級(jí)中學(xué) 陶成龍
眾所周知,中考數(shù)學(xué)壓軸題難度偏大,承載著區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)水平與選拔人才的功能.這一類(lèi)題重點(diǎn)考查學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法解決數(shù)學(xué)綜合問(wèn)題的能力.筆者有幸參與了2015年南通市中考數(shù)學(xué)網(wǎng)上閱卷工作,當(dāng)時(shí)評(píng)閱的正是壓軸題第28題,發(fā)現(xiàn)此題的命題思路似曾相識(shí).筆者查閱研究了近5年南通市中考數(shù)學(xué)試卷中的壓軸題,發(fā)現(xiàn)此題與2012年南通中考第28題、2014年南通中考第28題和2015年南通中考第10題似乎在演“連續(xù)劇”,的確有點(diǎn)兒“純屬巧合”.現(xiàn)撰文回顧,供大家參考.
題目:(2015年南通中考第28題)已知拋物線y=x2-2mx+m2+m-1(m是常數(shù))的頂點(diǎn)為P,直線l:y=x-1.
(1)略;
(2)當(dāng)m=-3時(shí),拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,與直線l的另一個(gè)交點(diǎn)為Q,M是x軸下方拋物線上的一點(diǎn),∠ACM=∠PAQ(如圖1),求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)略.
圖1
圖2
參考答案:(2)如圖2,當(dāng)m=-3時(shí),拋物線的解析式為y=x2+6x+5,可以求出A(-5,0)、C(0,5)、P(-3,-4)、Q(-2,-3),作ME⊥y軸于E,PF⊥x軸于F,QG⊥x軸于G,證明Rt△CME∽R(shí)t△PAF,利用相似得x2+6x+5),則解得x1=0(舍去),x2=-4,于是得到點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-4,-3).
點(diǎn)評(píng):本題參考答案添加了3條輔助線,而添加輔助線對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)比較困難,更何況添加了3條之多,解法有點(diǎn)兒唐突、生硬,其次發(fā)現(xiàn)并證明Rt△CME與Rt△PAF相似并不容易.在閱卷的過(guò)程中,考生的答題情況與我預(yù)估的情況差不多,采用這種方法解題的少之又少,當(dāng)時(shí)我一邊閱卷一邊在想,解決這個(gè)題目有沒(méi)有更好的方法?有沒(méi)有一種解法是學(xué)生能夠自然而然想到的?學(xué)生根據(jù)A(-5,0)、P(-3,-4)、Q(-2,-3)能夠發(fā)現(xiàn)△AQP為直角三角形,而且PQ∶AQ=1∶3,所以不妨在x軸上截取OE(如圖3),使得OE=3OC=15,這樣就使得∠CEO=∠PAQ,從而易證△CAE∽△DAC,根據(jù)AC2=AD·AE可以求得AD=2.5,從而可以求出直線CD的解析式y(tǒng)=2x-5,根據(jù)直線CD與拋物線的交點(diǎn)為點(diǎn)M,通過(guò)聯(lián)立方程可以求出點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-4,-3).現(xiàn)筆者簡(jiǎn)要介紹一下這個(gè)方法的來(lái)源,以及擷取3道南通中考?jí)狠S題談?wù)劥私夥ǖ膽?yīng)用.
圖3
1.認(rèn)識(shí)基本圖形.
新課程理念強(qiáng)調(diào):數(shù)學(xué)教學(xué)要從學(xué)生已有的知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā),讓學(xué)生親身經(jīng)歷將數(shù)學(xué)問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程.對(duì)于射影定理的基本圖形及結(jié)論師生再熟悉不過(guò)了(如圖4),如果將其題設(shè)∠BAC=∠ADC=90°再進(jìn)一步一般化,改成∠DAC=∠ABC,那么就得到幾何中最常見(jiàn)的基本圖形(如圖5),也就是說(shuō)射影定理的基本圖形其實(shí)是這一基本圖形的特殊情況(暫且稱(chēng)作“母子相似圖”).這個(gè)幾何基本圖形直觀形象、結(jié)論簡(jiǎn)潔明了,對(duì)于解決相關(guān)壓軸題具有其他方法不可替代的優(yōu)越性,可以起到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的獨(dú)特效果.
圖4
圖5
2.辨析基本圖形.
例1(2015年南通中考第10題)如圖6,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn),弦AD平分∠BAC,交BC于點(diǎn)E,AB=6,AD=5,則AE的長(zhǎng)為().
A.2.5 B.2.8
C.3 D.3.2
圖6
分析:由勾股定理先求出BD的長(zhǎng),由弦AD平分∠BAC,得到∠CBD=∠DAB,再利用“母子相似圖”這一基本圖形得到△ABD∽△BED,根據(jù)DB2=DE·DA可解得DE的長(zhǎng)為2.2,則AE=AD-DE=5-2.2=2.8,故選B.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查三角形相似的判定和性質(zhì)及圓周角定理,解答此題的關(guān)鍵是學(xué)生能從紛繁復(fù)雜的幾何圖形中分辨識(shí)別出這一基本圖形,從而利用其結(jié)論即△ABD∽△BED求出正確答案.波利亞曾說(shuō)過(guò):“解題的成功,要靠正確地轉(zhuǎn)化.”有的時(shí)候,壓軸題不會(huì)具有明顯的這一基本圖形的結(jié)構(gòu)特征,需要學(xué)生基于對(duì)這一基本圖形的深刻認(rèn)識(shí)與理解,通過(guò)添加恰當(dāng)?shù)妮o助線,創(chuàng)造性地構(gòu)造這一基本圖形來(lái)解決問(wèn)題.
3.構(gòu)造基本圖形.
例2(2012年南通中考第28題)如圖7,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,-4)的拋物線+bx+c與x軸相交于點(diǎn)B(-2,0)和C, O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)略;
(2)略;
(3)設(shè)點(diǎn)M在y軸上,∠OMB+∠OAB=∠ACB,求AM的長(zhǎng).
圖7
圖8
分析:如圖8,取OA的中點(diǎn)D,連接BD,則OB=OD=2,∠OBD=∠ODB=45°.因?yàn)椤螪BA+∠OAB=45°,所以在y軸上找一點(diǎn)M1,使得∠OM1B=∠DBA.從而△DAB∽△BAM1,即AB2=AD·AM1,從而求得AM1=10.根據(jù)對(duì)稱(chēng)性,AM2=2,故AM的長(zhǎng)為2或10.
例3(2014年南通中考第28題)如圖9,拋物線y= -x2+2x+3與x軸相交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C,頂點(diǎn)為D,拋物線的對(duì)稱(chēng)軸DF與BC相交于點(diǎn)E,與x軸相交于點(diǎn)F.
(1)略;
(2)略;
(3)設(shè)P為x軸上一點(diǎn),∠DAO+∠DPO=∠α,當(dāng)tan∠α= 4時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
圖9
圖10
分析:C(0,3)、A(-1,0)、B(3,0)、D(1,4),則tan∠DOF=4,得出∠DOF=∠α.然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求得∠DPO=∠ADO,進(jìn)而求得△ADP∽△AOD,得出AD2=AO·AP,從而求得OP的長(zhǎng),進(jìn)而求得P點(diǎn)的坐標(biāo).再根據(jù)對(duì)稱(chēng)性,求得滿足題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(19,0)和(-17,0).
點(diǎn)評(píng):這兩道壓軸題均是在分析角與邊的內(nèi)在關(guān)系的基礎(chǔ)上,通過(guò)添加一定的輔助線構(gòu)造出完整的基本圖形,進(jìn)而應(yīng)用這個(gè)基本圖形的性質(zhì)及相關(guān)結(jié)論解決問(wèn)題.可見(jiàn)教師在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中幫助學(xué)生提煉一些典型的數(shù)學(xué)模型,有助于學(xué)生在解決難題時(shí)形成思路,探得方法,從而有效地提高解題速度和得分率.
中考?jí)狠S題演繹著萬(wàn)千世界,命題者往往將一些基本圖形進(jìn)行改編與重組,但其背后運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法卻是相通的.作為教師,在中考復(fù)習(xí)時(shí),要幫助學(xué)生從中考題海戰(zhàn)術(shù)中走出來(lái),培養(yǎng)學(xué)生以一圖識(shí)萬(wàn)圖的能力,這樣才能使學(xué)生達(dá)到學(xué)一法,會(huì)一類(lèi),通一片的境界.
1.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)[S].北京:北京師范大學(xué)出版社,2012.
2.[美]波利亞,著.怎樣解題[M].閻育蘇,譯.北京:科學(xué)出版社,1982.
3.曹志迅.“一線三等角”:客從何處來(lái)?——以“相似三角形”習(xí)題課為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2016(4).