例談數(shù)學解題研究的幾個視角

☉江蘇蘇州市蘇州工業(yè)園區(qū)第十中學 袁麗華

例談數(shù)學解題研究的幾個視角

☉江蘇蘇州市蘇州工業(yè)園區(qū)第十中學 袁麗華

對于數(shù)學教師而言，很多時間一直在做著數(shù)學研究：你要上好一節(jié)課，就要研究教材.一名數(shù)學教師研究的方向眾多，概括起來有：一是課本題目，二是各種試卷中的題目，有修為的可以研究雜志上的題目，更加具有能力的可以自己提出數(shù)學問題.下面就從解決數(shù)學問題的一些常規(guī)方向出發(fā)，具體談一談.

視角一：課本研究

課本習題研究是我們的基本功，課本典型例題的解讀是校本研究的一種手段.筆者結合自己的一些想法，來分析一下這個問題.

案例1：（蘇教版七年級數(shù)學下P35習題）如圖1，小明從點A出發(fā)，沿直線前進10米后向左轉30°，再沿直線前進10米，又向左轉30°……照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點時，一共走了多少米？

解答：對于這個題目，由多邊形外角和公式，可以得到小明走過的路線為正十二邊形的周長，因此小明共走了120m.

為了得到正多邊形，向左轉的角度最大值為120°，是360的約數(shù)，我們提出如下問題：向左轉的角度大于120°，如144°、150°——情況怎么樣呢？開始我沒有意識到這是一個精彩的問題，當進行不斷的探索和發(fā)現(xiàn)以后，會有很多意外的收獲.會有哪些收獲呢？可以對課本問題進行一系列的改編.

變式1：小明從點A出發(fā)，沿直線前進10米后向左轉144°，再沿直線前進10米，又向左轉144°……照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點時，一共走了多少米？

變式2：小明從點A出發(fā)，沿直線前進10米后向右轉72°，又前進10米后向左轉144°；再沿直線前進10米后向右轉72°，又前進10米后向左轉144°……照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點時，一共走了多少米？

圖1

通過對問題的不斷改編，可以對問題進行深入研究，從而有可能得到更為豐富的結論.

視角二：試卷研究

各種試卷往往承載老師研究的智慧，關注并研究這些試題往往會得到意想不到的收獲，尤其從試卷的命制過程中，我們往往會得到一些新的靈感和啟發(fā)，從而促進日常教學.

案例2：（2016年重慶）如圖2，以AB為直徑、點O為圓心的半圓經過點C，若AC=，則圖中陰影部分的面積是（）.

圖2

剖析：這是一個被許多中考模擬試卷采用的題目，其解答幾乎千篇一律，解這個題目的關鍵是分析出點C隨點A運動所形成的圖形是什么.如果從問題本質和根源出發(fā)，我們需要回到課本中去探究，本題考查扇形面積的計算：圓面積公式和扇形.求陰影面積常用的方法：①公式法；②和差法；③割補法.求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形的面積轉化為規(guī)則圖形的面積.先利用圓周角定理得到∠ACB=90°，則可判斷△ACB為等腰直角三角形，接著判斷△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，于是得到S△AOC=S△BOC，然后根據(jù)扇形的面積公式計算圖中陰影部分的面積.

視角三：錯題角度

錯題是學生在解答過程中錯誤率較高的問題，對于這樣一類問題，我們需要格外關注，因為只有抓住了這樣的問題，才能幫助學生真正提高成績，從而收獲信心，提升數(shù)學的興趣和能力，下面來看這樣一個經典的錯題.

案例3：閱讀下列材料：我們約定，在平面直角坐標系中，經過某點且平行于坐標軸或平行于兩坐標軸夾角平分線的直線，叫作點的“特征線”.例如，點M（1，3）的特征線有：x=1，y=3，y=x+2，y=-x+4.

問題與探究：如圖3，在平面直角坐標系中有正方形OABC，點B在第一象限，A、C分別在x軸和y軸上，拋物線經過B、C兩點，頂點D在正方形內部.

圖3

（1）直接寫出點D（m，n）所有的特征線；

（2）若點D有一條特征線是y=x+1，求此拋物線的解析式；

（3）點P是AB邊上除點A外的任意一點，連接OP，將△OAP沿著OP折疊，點A落在點A′的位置，當點A′在平行于坐標軸的D點的特征線上時，滿足（2）中條件的拋物線向下平移多少距離，其頂點落在OP上？

解：（1）由點D（m，n），得點D（m，n）的特征線是x=m，y=n，y=x+n-m，y=-x+m+n.

（2）點D有一條特征線是y=x+1，則n-m=1，則n=m+1..由四邊形OABC是正方形，且D點為正方形的對稱軸，D（m，n），得B（2m，2m），則解得m=2，則點D（2，3）.

（3）如圖4，當點A′在平行于y軸的D點的特征線上時，根據(jù)題意可得D（2，3），則OA′=OA= 4，OM=2，則∠A′OM=60°，則∠A′OP=∠AOP=30°，則MN=則拋物線需要向下平移的距離

圖4

如圖5，當點A′在平行于x軸的D點的特征線上時，由頂點落在OP上，得A′與D重合，則A′（2，3）.

圖5

剖析：對于錯誤原因，我們往往需要進行細致分析，找到問題的癥結所在，從而突破問題帶給學生的障礙，最終得出正確的結論.從卷面上來看，這是一個10分的問題，實際得分情況是不能令人滿意的，學生除了第一問，實際得分僅僅在2分以內，錯誤率超過了80%，從此題的情況而言，有閱讀障礙的數(shù)學閱讀類難題對于學生思維的影響是巨大的，學生非常容易被實際的問題形態(tài)嚇到，從而無法找到真正解決這一問題的思路和方法.對于最值問題，在初中階段本身是難點，找到突破口尤為重要，教師針對這樣的問題，需要從自身角度出發(fā)，幫助學生進行細致入微的分析，實現(xiàn)對問題的解讀和突破.

視角四：動筆寫作

動筆寫作，其實是一種最好的歸納問題的思路和方法.動筆的理由很簡單，有讀書的體會，有教學的心得，有來自學生的智慧之花，也有對于學生典型錯誤的剖析，如此種種，某一時刻的感想，或許寫不成一篇論文，但是，你把它通過你的筆端寫下了，積溪流成大河.其實，多動筆，對于教師來說是有百利而無一害的，通過動筆的過程，教師在形成自身思考過程的前提下，能夠幫助自己形成和完善觀點，找到解決問題的方法，從而更加系統(tǒng)性地認識問題.因此，學習的方法上要有自己的看法，敢于挑戰(zhàn)名題，改造或者引申名題，也可以給出自己的新的證明方法，這都是教師自身的一種挑戰(zhàn)和創(chuàng)新.

綜合以上的一些情況，問題研究的方向是多維和多元的，教師只要自身時時留意，處處用心，就能夠發(fā)現(xiàn)更多的視角和方向，體會更多的樂趣和感悟.