教材的結(jié)構(gòu)-功能分析方式探索
——基于數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的視角

☉淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 張昆

教材的結(jié)構(gòu)-功能分析方式探索
——基于數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的視角

☉淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 張昆

數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)是一項(xiàng)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)性整體工程，它的構(gòu)成要素主要體現(xiàn)在互相關(guān)聯(lián)的三個(gè)側(cè)面：理解要傳授的具體數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)所呈現(xiàn)的環(huán)節(jié)及其聯(lián)結(jié)中介的可能組成序列；把握學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的心理環(huán)節(jié)（呈現(xiàn)的是觀念形態(tài)）及其過渡性中介的可能組成序列；通過創(chuàng)造性工作找到關(guān)聯(lián)這兩組序列的契合點(diǎn)，以實(shí)現(xiàn)它們之間的同構(gòu)（同構(gòu)是數(shù)學(xué)概念，指兩個(gè)集合中的元素一一對(duì)應(yīng)），如圖1所示.這就是通常所說的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)基于“教材分析”、“學(xué)情分析”及找到關(guān)聯(lián)這兩項(xiàng)分析結(jié)果的紐帶（簡(jiǎn)稱“關(guān)聯(lián)分析”）.本文重在探討教師“教材分析”的價(jià)值、方式與途徑.

圖1數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)框架圖

一、教材分析涵義的界定

所謂教材分析，望文生義就是對(duì)教學(xué)材料（即所要傳授的數(shù)學(xué)知識(shí)）的理解與認(rèn)識(shí)，指教師將在一段時(shí)間內(nèi)（比如一課時(shí)、一單元時(shí)段或一學(xué)期時(shí)段）將要傳授的教學(xué)內(nèi)容（數(shù)學(xué)知識(shí)）分解開來，認(rèn)識(shí)它的每個(gè)部分或每個(gè)層次要素及其關(guān)聯(lián)過程的實(shí)質(zhì)，在此基礎(chǔ)上通過綜合，獲得對(duì)寫進(jìn)教科書中的知識(shí)結(jié)構(gòu)整體的理解與認(rèn)識(shí)的思辨活動(dòng).由此，我們發(fā)現(xiàn)，教材分析的重要目標(biāo)體現(xiàn)在兩個(gè)互相關(guān)聯(lián)的方面：其一，確定單個(gè)具體的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的特性及發(fā)生這一知識(shí)時(shí)學(xué)習(xí)者憑藉的獨(dú)特認(rèn)知方式；其二，確定知識(shí)點(diǎn)之間的互相聯(lián)結(jié)組成的知識(shí)結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)方式及對(duì)這些關(guān)聯(lián)方式發(fā)生認(rèn)識(shí)的心理活動(dòng)方式.

二、教材分析重在揭示知識(shí)中利于學(xué)習(xí)者發(fā)生認(rèn)識(shí)的傾向性

我們知道，寫進(jìn)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的數(shù)學(xué)知識(shí)都是在數(shù)學(xué)發(fā)展史上曾經(jīng)構(gòu)成對(duì)人類智力的挑戰(zhàn)，但是已經(jīng)被人類的聰明才智徹底征服并解決了的（它不是數(shù)學(xué)家目前正在研究的問題，而是已成定論性的知識(shí)結(jié)果），因此，知識(shí)中就不僅內(nèi)含了人類自己的認(rèn)識(shí)得到的確定成果，并且也或深或淺、或多或少地內(nèi)含著知識(shí)原創(chuàng)者發(fā)生認(rèn)識(shí)時(shí)思維展開的認(rèn)知方式痕跡.但是，這兩者都需要通過教科書的編制及經(jīng)由教師對(duì)教科書的解讀、理解與認(rèn)識(shí)，經(jīng)過教學(xué)設(shè)計(jì)的處理，才能轉(zhuǎn)化成課堂上正面影響學(xué)習(xí)者的資源，以利于發(fā)揮知識(shí)的教育價(jià)值.因此，作為教學(xué)的知識(shí)就具有兩方面相互關(guān)聯(lián)的特征：

其一，寫入課程中的單個(gè)具體的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)具有相互關(guān)聯(lián)的三個(gè)特點(diǎn)：（1）組成這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的核心思想應(yīng)該明確而具體（但是，實(shí)際上受到諸多方面的限制，教科書或教師教學(xué)用書都難以達(dá)到這一點(diǎn)）；（2）知識(shí)原創(chuàng)者對(duì)這一知識(shí)點(diǎn)的核心思想已經(jīng)形成了規(guī)范性表達(dá)（教材通過字斟句酌地描述與刻畫能夠做到這一點(diǎn)）；（3）數(shù)學(xué)知識(shí)的核心思想通過其規(guī)范性表達(dá)形成了啟發(fā)性成分，應(yīng)該被教師所體會(huì)與理解（啟發(fā)性成分也是教科書難以明確表達(dá)出來的，需要教師結(jié)合學(xué)科文化與教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的支持，加深對(duì)教科書中的知識(shí)背后的關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)的知識(shí)——近乎于元認(rèn)知——的認(rèn)知）.這些特點(diǎn)隱含著知識(shí)原創(chuàng)者對(duì)于具體知識(shí)點(diǎn)的特定認(rèn)知方式，在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有非常重要的價(jià)值.

其二，每一個(gè)具體數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)不可能獨(dú)立存在，它既是前在的數(shù)學(xué)知識(shí)的必然產(chǎn)物，即是以學(xué)習(xí)者（事實(shí)上，存儲(chǔ)在某種媒介中的作為外化的客觀數(shù)學(xué)知識(shí)也可以依此類推）前在的數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)而發(fā)生的，又是產(chǎn)生后面新數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，或者說每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)都處在生生不息、源遠(yuǎn)流長(zhǎng)、環(huán)環(huán)緊扣的知識(shí)點(diǎn)（或體現(xiàn)在學(xué)習(xí)者心理活動(dòng)中）序列之間的關(guān)聯(lián)環(huán)節(jié)之中，而不可能孤立地存在，這形成了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的結(jié)構(gòu)性.正是如此的結(jié)構(gòu)性使新數(shù)學(xué)知識(shí)總是孕育于舊有的知識(shí)之中成為可能.于是，個(gè)體發(fā)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)就可以利用這種結(jié)構(gòu)性，通過各種各樣的線索，從學(xué)習(xí)者所面臨的外在信息與已經(jīng)存有的舊數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)合中產(chǎn)生新知識(shí)（將外在信息數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化的過程，擴(kuò)展了數(shù)學(xué)知識(shí)的范圍）.

數(shù)學(xué)知識(shí)的核心思想的獨(dú)立性與知識(shí)點(diǎn)之間的結(jié)構(gòu)性的共存特征，注定了數(shù)學(xué)知識(shí)具有自身傳播的內(nèi)在動(dòng)力.換句話說，對(duì)于渴望掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)者而言，當(dāng)數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)習(xí)者的智力結(jié)合時(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)在學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中便具有了自我繁衍與自我展開的能力（稱之為數(shù)學(xué)知識(shí)的“自展性”，教材分析的過程主要體現(xiàn)就是教師悉心研究數(shù)學(xué)知識(shí)的“自展機(jī)制”的過程）.在學(xué)習(xí)者發(fā)生數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，這些都不斷提示（乃至于規(guī)劃）著主體的認(rèn)識(shí)方式展開的大致軌跡，從而可以因勢(shì)利導(dǎo)地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育目標(biāo).如此分析，我們發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)知識(shí)具有利于學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)的心理傾向性.由此可知，有效的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的產(chǎn)生一定不能背離利用數(shù)學(xué)知識(shí)的這種利于學(xué)習(xí)的傾向性，教師的首要任務(wù)就是因勢(shì)利導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生從已經(jīng)存有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)與新學(xué)習(xí)材料的結(jié)合中產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)知識(shí).

因此，一般來說，數(shù)學(xué)教科書的編制、教師的教材分析都應(yīng)該從有利于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自在傾向性出發(fā)（確實(shí)，一輪又一輪的數(shù)學(xué)課程改革，特別是我國(guó)數(shù)學(xué)教育的面向國(guó)際視野，產(chǎn)生的結(jié)果是教科書的編制經(jīng)由許多學(xué)科專家與教育專家的思考與實(shí)踐，它力圖采用符合于學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的心理結(jié)構(gòu)機(jī)制的方式表征數(shù)學(xué)知識(shí)，但現(xiàn)實(shí)中總是存在著不盡如人意的瑕疵），這樣才能更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)知識(shí)的教育價(jià)值：萌生數(shù)學(xué)思想，生成與再生數(shù)學(xué)觀念，形成數(shù)學(xué)能力（特別是學(xué)習(xí)者自學(xué)數(shù)學(xué)的能力），并有利于從數(shù)學(xué)思想、觀念、能力的發(fā)揮中析出具體的解決問題的數(shù)學(xué)方法.

三、數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)-功能分析

教材分析可能具有多種方式，其中，結(jié)構(gòu)-功能分析方式是其中的基礎(chǔ)的也是重要的分析方式.所謂數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)-功能分析，就是要采用系統(tǒng)方法論觀點(diǎn)去理解與認(rèn)識(shí)寫入課程標(biāo)準(zhǔn)中某個(gè)（或者是某章）既成的數(shù)學(xué)知識(shí)，認(rèn)識(shí)這個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)中的各要素之間的搭配或安排，體會(huì)它們的環(huán)節(jié)及其聯(lián)結(jié)中介所構(gòu)成的要素系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的合理性，由它所生發(fā)的功能的充分性，探索易于發(fā)揮知識(shí)結(jié)構(gòu)機(jī)能的特征.一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)總是經(jīng)由人類的思維活動(dòng)將相關(guān)要素組構(gòu)成了一個(gè)實(shí)體，這個(gè)實(shí)體以一種完整的面貌呈現(xiàn)在人們的面前，因此，它的深層次結(jié)構(gòu)的真正內(nèi)涵就不可能一覽無遺地呈現(xiàn)出來，成為“顯而易見”的直白狀態(tài)的形式，它的功能更是未曾轉(zhuǎn)化為實(shí)際效果、尚屬“潛在狀態(tài)”.教材分析就是理解與認(rèn)識(shí)由要素構(gòu)成的結(jié)構(gòu)及其可能發(fā)出的功能之間內(nèi)在關(guān)聯(lián)的紐帶.

由于呈現(xiàn)在教科書上的知識(shí)結(jié)構(gòu)及其功能基本上是處于“潛在狀態(tài)”的文字表達(dá)的形式中，教師在利用數(shù)學(xué)知識(shí)資源促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，必須對(duì)進(jìn)入數(shù)學(xué)課程的知識(shí)作多方位探究：它的外在表象形式、深層本質(zhì)結(jié)構(gòu)，兩者之間可否建立真正（非人為）的聯(lián)系.大多數(shù)情況下，表象形式不能直接表征知識(shí)的本質(zhì)結(jié)構(gòu)，它喜歡以扭曲的方式（本質(zhì)結(jié)構(gòu)藏頭漏尾地借助于表象形式）顯露出來，這就是學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的疑難所在.但是，表象終究是引領(lǐng)學(xué)習(xí)者入門的向?qū)?，因此，重要的是，教師必須找到從?shù)學(xué)化信息的表象形式到數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)過程所需要的紐帶、契合學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的認(rèn)知方式，使這兩者形成心理意義上的關(guān)聯(lián).

在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，知識(shí)信息的表象形式的脈絡(luò)輪廓、中層結(jié)構(gòu)與深層結(jié)構(gòu)都可以作為教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的憑據(jù).于是，問題就出現(xiàn)了，只有依據(jù)把握深層知識(shí)結(jié)構(gòu)的教學(xué)設(shè)計(jì)，才是最有價(jià)值的、真正有意義的，即通過實(shí)施如此的教學(xué)設(shè)計(jì)，學(xué)生在獲得形成數(shù)學(xué)知識(shí)的核心思想，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為規(guī)范性表達(dá)的過程中，獲得知識(shí)內(nèi)含的啟發(fā)性成分，這一整套過程標(biāo)志著學(xué)生真正地發(fā)生了數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí).而依據(jù)中層結(jié)構(gòu)的把握肯定難以形成數(shù)學(xué)知識(shí)的核心思想，因此，這種教學(xué)勢(shì)必會(huì)有缺陷，學(xué)生在大多數(shù)時(shí)候難以理解結(jié)構(gòu)的意義，也就不能確定其功能的發(fā)揮.依據(jù)表象信息形式的脈絡(luò)輪廓所形成的教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)施，可能將數(shù)學(xué)知識(shí)采用記憶或強(qiáng)化訓(xùn)練的方式強(qiáng)加于學(xué)生.

但是，由于結(jié)構(gòu)總是與其呈現(xiàn)的內(nèi)容（組成結(jié)構(gòu)的元素）相聯(lián)系，功能也總是與所達(dá)成的目的相聯(lián)系，于是，這種以結(jié)構(gòu)-功能關(guān)聯(lián)的分析過程，又勢(shì)必會(huì)在一定程度上牽涉將外在數(shù)學(xué)化信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)知識(shí)的過程時(shí)人類發(fā)生認(rèn)識(shí)的心理活動(dòng)過程，即在外在信息數(shù)學(xué)化的過程中契合于組織信息的主體的活動(dòng)目的（人的主觀賦予的，如審美、動(dòng)機(jī)、情感的需要與實(shí)現(xiàn)等）的心理過程機(jī)制，其實(shí)對(duì)促進(jìn)學(xué)生發(fā)展而論，這些牽涉?zhèn)€體發(fā)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的心理成分應(yīng)該是在教材分析時(shí)追求的重要目標(biāo)之一，因?yàn)?，這是作為結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)促人發(fā)展的真正重要的地方.因此，教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)的教材分析（主要體現(xiàn)于其知識(shí)結(jié)構(gòu)-功能分析）應(yīng)包括以下一些具體內(nèi)容：

（1）理解與認(rèn)識(shí)所要傳授的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的構(gòu)成要素（由于知識(shí)結(jié)構(gòu)具有層次性，這種構(gòu)成要素總是存在的），這些要素構(gòu)成了知識(shí)結(jié)構(gòu)的硬件.

（2）理解與認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)化信息組構(gòu)成數(shù)學(xué)知識(shí)的心理活動(dòng)過程（包括體悟數(shù)學(xué)的核心思想、它的啟發(fā)性成分與規(guī)范性成分的萌生及聯(lián)結(jié)過程），這些要素構(gòu)成了知識(shí)結(jié)構(gòu)的軟件.

（3）理解與認(rèn)識(shí)構(gòu)成知識(shí)結(jié)構(gòu)的硬件與軟件及與其他要素之間存在的聯(lián)結(jié)方式及紐帶（發(fā)現(xiàn)這種紐帶絕非易事?。?，各種要素在知識(shí)結(jié)構(gòu)中處在怎樣的地位上，這些主客觀要素或者不同位置的要素是如何聯(lián)結(jié)的.

（4）理解與認(rèn)識(shí)這個(gè)作為結(jié)構(gòu)體系的知識(shí)如何體現(xiàn)它與發(fā)生認(rèn)識(shí)的主體的心理活動(dòng)環(huán)節(jié)及其過渡性中介之間互相適應(yīng)的條件與限制.

（5）理解與認(rèn)識(shí)具體的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系可能產(chǎn)生的教育價(jià)值，如數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際應(yīng)用、增進(jìn)智慧、形成有價(jià)值的非智力心理品格與道德品格等方面的作用.

總之，作為教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)-功能分析方式的展開，也離不開“學(xué)情分析”與“關(guān)聯(lián)分析”的相關(guān)過程的聯(lián)合作用，因?yàn)?，教學(xué)就是通過伴隨引導(dǎo)學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)知識(shí)，試圖促成學(xué)生萌生優(yōu)秀的心理品格，知識(shí)只是某種意義上的載體，真正起作用的是將知識(shí)中所隱含的“使人之為人”的先賢們的心理品格植入一代新人的意識(shí)結(jié)構(gòu)之中.因此，“教材分析”總是具有目的性的，其中最重要的目的就是力圖借此獲得透過學(xué)生的認(rèn)知方式發(fā)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的教學(xué)流程，這就勢(shì)必要牽涉學(xué)生的心理活動(dòng)過程（由“學(xué)情分析”提供）、知識(shí)環(huán)節(jié)及其聯(lián)結(jié)中介與學(xué)生的發(fā)生認(rèn)識(shí)的心理環(huán)節(jié)及其過渡性中介的契合（由“關(guān)聯(lián)分析”提供）.

學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的自展機(jī)制要求教師在教材分析時(shí)設(shè)法針對(duì)具體的知識(shí)內(nèi)容，首先揭示其核心思想，它其實(shí)隱藏在教科書表達(dá)的字里行間，需要透過教材分析過程來理解與認(rèn)識(shí).然而，在現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，大多數(shù)情況下，教師的“教材分析”出現(xiàn)了走馬觀花地看到知識(shí)的表層的現(xiàn)象性的脈絡(luò)輪廓，而觸及不了這種字里行間表達(dá)中所隱含的知識(shí)結(jié)構(gòu)的本質(zhì).“教材分析”的結(jié)構(gòu)-功能方式，對(duì)我們的教學(xué)設(shè)計(jì)提供了一條有價(jià)值的實(shí)踐途徑.

四、例示基于“教材分析”的結(jié)構(gòu)-功能方式的有效教學(xué)設(shè)計(jì)

從前面的討論中我們發(fā)現(xiàn)，“教材分析”的有效環(huán)節(jié)就在于：其一，從教科書的關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的表述中離析出數(shù)學(xué)知識(shí)的核心思想；其二，找到能夠支持這一核心思想外化為可以表達(dá)的數(shù)學(xué)知識(shí)的情境承載物（需要設(shè)計(jì)）；其三，引導(dǎo)學(xué)習(xí)者將數(shù)學(xué)知識(shí)核心思想通過學(xué)生自己的思維活動(dòng)再次轉(zhuǎn)化為規(guī)范性的數(shù)學(xué)表達(dá)；其四，學(xué)習(xí)者借助于核心思想不依賴于教師而進(jìn)行自行表達(dá)的過程，吸收數(shù)學(xué)知識(shí)中隱含的發(fā)生知識(shí)的原創(chuàng)者認(rèn)知方式的啟發(fā)性成分的營(yíng)養(yǎng).我們以“探索直線平行的條件”的關(guān)鍵性疑難“三線十二角”問題為例，展示結(jié)構(gòu)-功能方式的教材分析的有效環(huán)節(jié)的途徑.

教師第一步從直線平行所要的條件（“同位角相等”“內(nèi)錯(cuò)角相等”“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”三個(gè)條件各自形成的判定）的教科書上規(guī)范性表達(dá)中，析出決定這三個(gè)結(jié)論的具有共性基礎(chǔ)的要素，這就是“探索直線平行的條件”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的核心思想.我們業(yè)已知道，在教學(xué)設(shè)計(jì)中，這是非常重要的一步，它是決定著通過數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)發(fā)揮知識(shí)教育價(jià)值成敗的至關(guān)重要的因素.

事實(shí)上，教師如果仔細(xì)揣摩教科書的規(guī)范性表達(dá)的文字語言，通過結(jié)構(gòu)-功能分析方式，就會(huì)比較自覺地發(fā)現(xiàn)，在這三個(gè)判定兩直線平行的方法之中都有相同的一句話“兩條直線被第三條直線所截”，這意味著什么？如果教師具有更加寬闊的視野，在嚴(yán)格的平面幾何教程或者專著（例如《幾何原本》）的論述中，對(duì)這句話中的“兩條直線”命名為“被截線”，而將其中的“第三條直線”命名為“截線”發(fā)問（這樣的命名難道是無意識(shí)的、隨便的，沒有什么價(jià)值嗎？這是透過結(jié)構(gòu)-功能分析方式，析取組成這一知識(shí)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的要素，然后，探查這些要素的功能），從這些思考中，教師發(fā)現(xiàn)，平行線的三種判定方法就在于在這三條直線的關(guān)系中，區(qū)分出哪兩條直線是“被截線”與哪一條直線是“截線”的數(shù)學(xué)知識(shí)核心思想，至于何為“同位角”“內(nèi)錯(cuò)角”還是“同旁內(nèi)角”，都是為了判定兩條“被截線”是否平行而對(duì)幾對(duì)角的命名而已，那是十分簡(jiǎn)單的事了.

于是，這個(gè)問題便變成了在“三線十二角”中，確定有不同頂點(diǎn)的兩個(gè)角之間的固定關(guān)系，就在于何為“被截線”與何為“截線”的問題了，接著教師需要理解與認(rèn)識(shí)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)中的兩大要素“被截線”與“截線”各自所擔(dān)負(fù)的功能，及其這種功能是如何體現(xiàn)的.那么，在教師的教學(xué)設(shè)計(jì)中，如何幫助學(xué)習(xí)者區(qū)分“被截線”與“截線”兩者的功能呢？這其實(shí)可以歸結(jié)為下面例1的問題.

例1如圖2，∠1與∠2、∠1與∠3、∠2與∠3分別是怎樣的一對(duì)角（“同位角”、“內(nèi)錯(cuò)角”或“同旁內(nèi)角”）？

決定這道題本質(zhì)的數(shù)學(xué)知識(shí)核心思想就是對(duì)“被截線”與“截線”概念的理解，從而著力發(fā)揮這兩個(gè)要素的功能.它的迂腐的規(guī)范性表達(dá)就是“兩條被截線被一

條截線所截”，沒有凸顯出“被截線”與“截線”兩大要素在這個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)中的功能.探究區(qū)分“被截線”與“截線”各自功能的標(biāo)志的過程就將隱含的數(shù)學(xué)知識(shí)核心思想顯性化，從中可以獲得知識(shí)發(fā)生的啟發(fā)性成分，這種啟發(fā)性成分決定應(yīng)用如此的數(shù)學(xué)知識(shí)的廣度、深度，也是學(xué)生理解平行線三項(xiàng)判定時(shí)內(nèi)在心理過程的基礎(chǔ)，而不必采用那種“事倍功半”的、通過窮盡各色各樣的特殊變式圖形的辦法解決新問題.

圖2

這樣問題就歸結(jié)為找到一種簡(jiǎn)約（而不簡(jiǎn)單）的方法來區(qū)別“三線”之中的一條“截線”與兩條“被截線”功能的標(biāo)志了.下面是筆者的一節(jié)公開課課堂教學(xué)關(guān)鍵環(huán)節(jié)的實(shí)錄：科書的字里行間的規(guī)范性表達(dá)中析出知識(shí)的核心思想，再經(jīng)由核心思想轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)者自己的規(guī)范性表達(dá)，從中生成了啟發(fā)性成分，使學(xué)生深層次地理解知識(shí)，在理解的基礎(chǔ)上運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，由此可以生成深度數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn).深度數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)事實(shí)上不同于簡(jiǎn)單地接受外在他人的經(jīng)驗(yàn)，而是形成了學(xué)生對(duì)自我的開放：感知的擴(kuò)展、意識(shí)的覺醒、智慧的生成.學(xué)生借助于這種自我開放，超越已經(jīng)形成的過去，并用新的方法，依據(jù)新的觀念，來接觸世界、認(rèn)識(shí)自己、營(yíng)造未來.教科書的編寫的缺陷在于就知識(shí)而論知識(shí)，它只是關(guān)注了數(shù)學(xué)知識(shí)外顯的表象，而沒有發(fā)掘決定知識(shí)的深層次結(jié)構(gòu)的本質(zhì)——核心思想，從而找到體現(xiàn)核心思想結(jié)構(gòu)中的要素，從這些要素功能的發(fā)揮中區(qū)分“被截線”與“截線”的標(biāo)志，如此就不能鼓勵(lì)學(xué)習(xí)者吸取從核心思想轉(zhuǎn)化為規(guī)范性表達(dá)過程中的啟發(fā)性成分的營(yíng)養(yǎng).

師：（前在知識(shí)：通過問題情境設(shè)計(jì)，學(xué)生建立起了“被截線”與“截線”概念）如何解決這個(gè)問題？

生1：圖2中，弄清楚組成這兩個(gè)角的三條直線中哪一條是“截線”，哪兩條直線是“被截線”……

師：一個(gè)很好的想法.如何將圖2中這三對(duì)角各自的“截線”與“被截線”區(qū)分開來？

生2：取最簡(jiǎn)單的圖形，如圖3，對(duì)∠4和∠5而言，直線c是“截線”，直線a、b是“被截線”，顯然，∠4與∠5是一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角……

生3：直線a是∠4的邊，但不是∠5的邊；直線b是∠5的邊，但不是∠4的邊；直線c既是∠4的邊，又是∠5的邊.直線c是“截線”，直線a、b是“被截線”（兩要素在組成相關(guān)對(duì)應(yīng)角中的功能不同，利用它提示了這一知識(shí)點(diǎn)的核心思想）.

生4：我們可以獲得如下規(guī)律（分類的一種標(biāo)準(zhǔn)）：在“三線十二角”中，要討論的有不同頂點(diǎn)的兩個(gè)角其公共邊是“截線”，單獨(dú)作為兩角中某一個(gè)角的邊的兩條直線就是“被截線”.

師：大家運(yùn)用這一規(guī)律解決問題.

這個(gè)例子，經(jīng)過“教材分析”的結(jié)構(gòu)-功能方式，從教

圖3

五、簡(jiǎn)要的結(jié)語

數(shù)學(xué)教學(xué)不是就數(shù)學(xué)知識(shí)而論數(shù)學(xué)知識(shí)，而是通過教學(xué)設(shè)計(jì)促使學(xué)生萌生數(shù)學(xué)思想的過程，在將學(xué)生萌生的數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化為規(guī)范性的表達(dá)、形成數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中，體悟數(shù)學(xué)知識(shí)核心思想的啟發(fā)性成分，從而生成深度數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)資源的教育價(jià)值.就數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)而言，教師從教科書中的表達(dá)中析出數(shù)學(xué)知識(shí)的核心思想起著關(guān)鍵性的作用，因而是最為重要的第一環(huán)節(jié)，而教材分析是析出數(shù)學(xué)知識(shí)核心思想的基礎(chǔ)，因此，我們可以說，提高數(shù)學(xué)教師教材分析水平在提高數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的有效性中起著至關(guān)重要的作用，而結(jié)構(gòu)-功能方式的分析具有首當(dāng)其沖的地位，對(duì)此，我們要思之再思，慎之又慎.

1.鄭毓信.數(shù)學(xué)教育哲學(xué)［M］.成都：四川教育出版社，2001.

2.張昆，李伯春.關(guān)于數(shù)學(xué)課程目標(biāo)體系設(shè)置的思考［J］.新課程教學(xué)，2013（3）.

3.張昆.整合數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的取向——基于知識(shí)發(fā)生的邏輯取向與心理取向研究［J］.中國(guó)教育學(xué)刊，2011（6）.