借你一雙慧眼辨錯(cuò)

借你一雙慧眼辨錯(cuò)

李勝軍

冪的運(yùn)算有：（1）同底數(shù)冪的乘法；（2）冪的乘方；（3）積的乘方；（4）同底數(shù)冪的除法.這些運(yùn)算的數(shù)學(xué)式子及法則“相似度”較高，同學(xué)們極易出錯(cuò).另外，整式加法運(yùn)算中的項(xiàng)如果是冪的形式，也容易與冪的運(yùn)算發(fā)生混淆.現(xiàn)將冪的運(yùn)算中一些常見的錯(cuò)誤加以剖析，希望同學(xué)們能擁有一雙“慧眼”.

一、忽視指數(shù)1

例1計(jì)算：x5?x4?x.

錯(cuò)解：x5?x4?x=x5+4=x9.

剖析：錯(cuò)解認(rèn)為算式x5?x4?x中的因式x的指數(shù)是0而出錯(cuò).

正解：x5?x4?x=x5+4+1=x10.

說(shuō)明：字母的指數(shù)為1時(shí)可省略不寫，但在進(jìn)行冪的運(yùn)算時(shí)，必須還原出指數(shù)1參與計(jì)算.

二、運(yùn)算法則“張冠李戴”

例2計(jì)算：y2?y4.

錯(cuò)解：y2?y4=y2×4=y8.

剖析：算式y(tǒng)2?y4表示同底數(shù)冪的乘法，運(yùn)算法則是“底數(shù)不變，指數(shù)相加”，錯(cuò)解誤認(rèn)為是“指數(shù)相乘”而出錯(cuò).

正解：y2?y4=y2+4=y6.

說(shuō)明：進(jìn)行冪的運(yùn)算，先要弄清楚算式表示的運(yùn)算，然后再根據(jù)相應(yīng)的法則進(jìn)行計(jì)算.本題錯(cuò)解將同底數(shù)冪的乘法法則與冪的乘方法則混淆了.

例3計(jì)算：m9÷m3.

錯(cuò)解：m9÷m3=m9÷3=m3.

剖析：算式m9÷m3表示同底數(shù)冪的除法，運(yùn)算法則是“底數(shù)不變，指數(shù)相減”.錯(cuò)解誤認(rèn)為是“指數(shù)相除”而出錯(cuò).

正解：m9÷m3=m9-3=m6.

說(shuō)明：冪的運(yùn)算要比相應(yīng)法則中指數(shù)運(yùn)算高一級(jí).例如：同底數(shù)冪的乘法法則中“指數(shù)相加”（冪乘法→指數(shù)加法）；同底數(shù)冪的除法法則中“指數(shù)相減”（冪除法→指數(shù)減法），冪的乘方法則中“指數(shù)相乘”（冪乘方→指數(shù)乘法）.

例4計(jì)算：（a3）4.

錯(cuò)解：（a3）4=a3+4=a7.

剖析：算式（a3）4表示冪的乘方，運(yùn)算法則是“底數(shù)不變，指數(shù)相乘”，錯(cuò)解錯(cuò)在誤用了同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行計(jì)算.

正解：（a3）4=a3×4=a12.

說(shuō)明：同底數(shù)冪的乘法與冪的乘方極易混淆，同學(xué)們要注意區(qū)分.

三、同底數(shù)冪的乘法與整式加法混淆

例5計(jì)算：a3?a3.

錯(cuò)解：a3?a3=2a3.

剖析：錯(cuò)解將同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算與整式加法運(yùn)算混淆了，錯(cuò)用了整式加法的運(yùn)算法則（合并同類項(xiàng)）.

正解：a3?a3=a3+3=a6.

說(shuō)明：如果不清楚算式表示的運(yùn)算，有時(shí)也會(huì)將底數(shù)相同的整式加法運(yùn)算誤用同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行計(jì)算.例如：將x4+x4計(jì)算為x8就是錯(cuò)的.事實(shí)上，這里的x4+x4應(yīng)進(jìn)行合并同類項(xiàng)，即x4+x4=2x4.

四、積的乘方出現(xiàn)遺漏

例6計(jì)算：（-3xy4）3.

錯(cuò)解：（-3xy4）3=-3x3（y4）3=-3x3y12.

剖析：算式（-3xy4）3表示積的乘方，運(yùn)算法則是“把積中的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘”，錯(cuò)解只將積中字母部分進(jìn)行了乘方，漏掉了積中系數(shù)的乘方.

正解：（-3xy4）3=（-3）3x3（y4）3=-27x3y12.

說(shuō)明：積的乘方運(yùn)算中，如果底數(shù)含有的因式較多，一定要注意將每個(gè)因式進(jìn)行乘方，防止遺漏.

五、積的乘方系數(shù)出錯(cuò)

例7計(jì)算：（3a2b）2.

錯(cuò)解：（3a2b）2=32（a2）2b2=6a4b2.

剖析：錯(cuò)解中將系數(shù)與指數(shù)相乘而出錯(cuò).

正解：（3a2b）2=32（a2）2b2=9a4b2.

說(shuō)明：冪的指數(shù)與底數(shù)之間不存在任何運(yùn)算關(guān)系，冪的指數(shù)表示乘方運(yùn)算中底數(shù)的個(gè)數(shù).例如：32中指數(shù)2表示乘方運(yùn)算中底數(shù)3有兩個(gè)，即32=3×3.

六、運(yùn)算順序出錯(cuò)

例8計(jì)算：210÷24÷24.

錯(cuò)解：210÷24÷24=210÷1=210.

剖析：算式210÷24÷24應(yīng)按從左到右的順序依次進(jìn)行計(jì)算，錯(cuò)解運(yùn)算順序出錯(cuò).

正解：210÷24÷24=210-4÷24=26÷24=26-4=22=4.

說(shuō)明：同級(jí)運(yùn)算，要按照從左到右的順序依次進(jìn)行計(jì)算.

七、符號(hào)出錯(cuò)

例9化簡(jiǎn)（-a2）3的結(jié)果是（）.

A.-a5B.a5C.-a6D.a6

錯(cuò)解：選D.

剖析：（-a2）3=［（-1）?a2］3=（-1）3?（a2）3

=-a6.錯(cuò)解中誤認(rèn)為-a2=（-a）2=a2導(dǎo)致出錯(cuò).事實(shí)上-a2=（-1）?a2.

正解：選C.

說(shuō)明：防范冪的運(yùn)算中符號(hào)出錯(cuò)的關(guān)鍵是正確判斷底數(shù)中是否含有負(fù)號(hào)“-”.

八、分不清底數(shù)

例10計(jì)算：-x3?（-x4）?（-x）5.

錯(cuò)解：-x3?（-x4）?（-x）5=（-x）3+4+5=（-x）12=x12.

剖析：錯(cuò)解沒有分清算式中各個(gè)因式的底數(shù)，誤把三個(gè)因式的底數(shù)都認(rèn)為是-x而出錯(cuò).實(shí)際上，因式-x3表示x3的相反數(shù)，它的底數(shù)是x；因式-x4表示x4的相反數(shù)，它的底數(shù)是x；因式（-x）5表示-x的5次方，它的底數(shù)是-x.

正解：-x3?（-x4）?（-x）5=-x3?（-x4）?（-x5）=-x3?x4?x5=-x3+4+5=-x12.

說(shuō)明：對(duì)于形如-xm、（-x）n（m、n都為整數(shù)）的冪的運(yùn)算，常將底數(shù)統(tǒng)一為x再計(jì)算.計(jì)算時(shí)先確定結(jié)果的符號(hào)，然后再進(jìn)行同底數(shù)冪的運(yùn)算.

九、錯(cuò)用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪

剖析：錯(cuò)解誤用了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)，沒有將底數(shù)取倒數(shù).

說(shuō)明：運(yùn)用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則時(shí)，可按“底倒指反”進(jìn)行，即底數(shù)取原底數(shù)的倒數(shù)，指數(shù)為原指數(shù)的相反數(shù).

十、綜合計(jì)算出錯(cuò)

例12計(jì)算：-x2?（-x2）2-（-2x2）3.

剖析：錯(cuò)解在計(jì)算（-2x2）3時(shí)，字母部分的乘方是正確的，錯(cuò)在系數(shù)的乘方，誤認(rèn)為（-2）3=-6.

說(shuō)明：本題綜合了同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方、整式的加減等多種運(yùn)算，計(jì)算時(shí)要分清每一種運(yùn)算，運(yùn)用相應(yīng)的法則進(jìn)行計(jì)算.

江蘇省鹽城市北蔣實(shí)驗(yàn)學(xué)校）