基于非均勻有理B樣條的壓電陶瓷非線性校正*

常 麗， 李慶斌， 黃格格， 修國(guó)一

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院， 沈陽(yáng) 110870)

基于非均勻有理B樣條的壓電陶瓷非線性校正*

常 麗， 李慶斌， 黃格格， 修國(guó)一

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院， 沈陽(yáng) 110870)

針對(duì)壓電陶瓷的非線性遲滯特性限制兩級(jí)進(jìn)給式大行程精密定位系統(tǒng)定位精度提高的問(wèn)題，利用非均勻有理B樣條(NURBS)快速插補(bǔ)算法對(duì)遲滯特性進(jìn)行補(bǔ)償.在通過(guò)MATLAB軟件實(shí)現(xiàn)NURBS插補(bǔ)算法的過(guò)程中，將NURBS插補(bǔ)算法與線性插值算法進(jìn)行仿真和比較.結(jié)果表明，NURBS插補(bǔ)算法的誤差明顯小于線性插值算法的誤差，驗(yàn)證了利用NURBS插補(bǔ)算法解決壓電陶瓷非線性的正確性、可行性和實(shí)用性，解決了壓電陶瓷非線性遲滯特性曲線模型建立的問(wèn)題，且在精密工作臺(tái)滿足速度要求的前提下可實(shí)現(xiàn)更高的定位精度.

壓電陶瓷；精密定位系統(tǒng)；遲滯特性；NURBS插補(bǔ)；弓高誤差；進(jìn)給速度；誤差補(bǔ)償；定位精度

高精度和高速度的精密工作臺(tái)系統(tǒng)在近代尖端工業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)研究領(lǐng)域內(nèi)占有極為重要的地位，壓電陶瓷是高精度定位系統(tǒng)常用的部件.壓電陶瓷的相應(yīng)位移和驅(qū)動(dòng)電壓之間存在著非對(duì)稱遲滯特性，因此，壓電陶瓷的蠕變和環(huán)境溫度變化會(huì)造成其定位精度的漂移.

目前，在已有的超精密工作臺(tái)中仍然存在著某些缺陷，諸如定位精度受壓電陶瓷非對(duì)稱遲滯特性的影響嚴(yán)重，對(duì)環(huán)境的要求嚴(yán)格等.在精密平臺(tái)的關(guān)鍵技術(shù)中設(shè)備的高性能控制算法是提高其精度和速度的重要部分，尤其是各種插補(bǔ)算法最為關(guān)鍵.通過(guò)對(duì)多種插補(bǔ)算法進(jìn)行研究比較，最后選擇了NURBS插補(bǔ)算法來(lái)解決壓電陶瓷的非對(duì)稱遲滯特性問(wèn)題.

1 壓電陶瓷的非對(duì)稱遲滯特性

非線性遲滯存在于很多工業(yè)控制中，比如音圈電機(jī)和壓電陶瓷等材料都存在著嚴(yán)重的非線性遲滯，對(duì)系統(tǒng)控制提出了較高的要求.壓電陶瓷是一種具有壓電效應(yīng)的材料，是一種能夠?qū)C(jī)械能和電能互相轉(zhuǎn)換的功能材料.壓電效應(yīng)是指某些介質(zhì)在力的作用下產(chǎn)生形變，引起介質(zhì)表面帶電，這是正壓電效應(yīng).反之，在激勵(lì)電場(chǎng)的作用下，所產(chǎn)生的機(jī)械變形叫做逆壓電效應(yīng)[1-3].

大部分兩級(jí)進(jìn)給式工作臺(tái)的精動(dòng)工作端都采用壓電陶瓷作為驅(qū)動(dòng)元件，而精動(dòng)端是整個(gè)系統(tǒng)精度的保證，所以精動(dòng)端在系統(tǒng)設(shè)計(jì)中占有很大的比重.圖1為精動(dòng)端的系統(tǒng)框圖，精密絲杠的螺母作為宏動(dòng)端的進(jìn)給對(duì)象，壓電陶瓷固定在螺母上，精密絲杠帶動(dòng)壓電陶瓷平臺(tái)運(yùn)動(dòng)，只要步進(jìn)電機(jī)的定位精度小于在壓電陶瓷的最大行程，就可以很好地完成宏動(dòng)工作臺(tái)的任務(wù)，將更加精密的定位任務(wù)交由精動(dòng)端來(lái)完成.壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)電源通過(guò)輸入電壓控制壓電陶瓷完成進(jìn)給工作.

圖1 精動(dòng)端系統(tǒng)框圖Fig.1 System block diagram of fine dynamic side

壓電陶瓷具有體積小、推力大、響應(yīng)快和穩(wěn)定性能好等優(yōu)點(diǎn)，但是在具有這些優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，壓電陶瓷也有著非線性、遲滯和蠕變等缺點(diǎn)，其遲滯特性曲線如圖2所示.在壓電陶瓷建模方面，一般采用帶有非線性算子的模型來(lái)逼近壓電陶瓷的實(shí)際輸入輸出曲線.常用的模型有Preisach模型、Bouc-Wen模型、KP模型和PI模型等，而這幾種模型存在求逆復(fù)雜、建模的運(yùn)算量大和對(duì)系統(tǒng)的控制要求高等問(wèn)題[4-5].

圖2 壓電陶瓷的遲滯特性曲線Fig.2 Hysteresis characteristic curve of piezoelectric ceramic

本文采用數(shù)控系統(tǒng)中常用的NURBS插補(bǔ)算法，研究了利用該算法解決壓電陶瓷的非對(duì)稱遲滯特性問(wèn)題.

2 NURBS插補(bǔ)與傳統(tǒng)插補(bǔ)算法對(duì)比

國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)對(duì)插補(bǔ)算法進(jìn)行了大量的研究，插補(bǔ)算法也經(jīng)歷了很多的演變過(guò)程，從最初的直線插補(bǔ)、圓弧插補(bǔ)、拋物線插補(bǔ)、樣條線插補(bǔ)直到現(xiàn)在的NURBS插補(bǔ)算法.傳統(tǒng)插補(bǔ)算法存在以下缺陷：

l) 傳統(tǒng)插補(bǔ)算法在擬合精度與生成數(shù)據(jù)之間存在著矛盾，逼近精度高則生成的數(shù)據(jù)量大，而減少數(shù)據(jù)量則會(huì)降低加工精度；

2) 在加工的工藝方面，將曲線離散成短直線，不僅破壞了零件輪廓曲線的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)性，影響了零件表面的光滑性，還會(huì)引起這些離散點(diǎn)處的數(shù)控加工進(jìn)給速度不穩(wěn)定，對(duì)加工過(guò)程和制造質(zhì)量產(chǎn)生不良影響；

3) 在制造效率方面，采用大量的微小線段逼近零件的輪廓曲線，導(dǎo)致零件的加工速度難以達(dá)到編程要求的進(jìn)給速度，線段越短，這種影響越明顯，因而降低了零件的生產(chǎn)效率，限制了數(shù)控加工效益的充分發(fā)揮.

非均勻有理B樣條(NURBS)曲線表達(dá)的通用性及應(yīng)用的廣泛性，使得NURBS曲線插補(bǔ)成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者近年來(lái)研究的熱點(diǎn)[6-7]，NURBS被提出來(lái)的重要理由是為了找到一種與描述自由型曲線曲面的B樣條方法相統(tǒng)一、又能精確表示二次曲線曲面的數(shù)學(xué)方法[8].NURBS插補(bǔ)的優(yōu)點(diǎn)是：由于需要的數(shù)據(jù)程序段較小，因而數(shù)據(jù)處理的速度大大加快；NURBS曲線控制參數(shù)較少，控制曲線連續(xù)且光滑，用于復(fù)雜曲線曲面加工時(shí)精度較高.本文利用NURBS算法的優(yōu)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)壓電陶瓷插補(bǔ)，可以有效抑制壓電陶瓷的非對(duì)稱遲滯特性.

3 NURBS插補(bǔ)的實(shí)現(xiàn)過(guò)程

3.1 NURBS曲線的定義

NURBS曲線是非均勻有理B樣條曲線的英文縮寫.根據(jù)基函數(shù)的不同表現(xiàn)形式，NURBS曲線有3種等價(jià)的表達(dá)式：有理分式表達(dá)式、有理基函數(shù)表達(dá)式和齊次坐標(biāo)表達(dá)式[9-10].

有理分式表達(dá)式就是一條k次NURBS曲線，可以表示為一個(gè)分段有理多項(xiàng)式矢函數(shù)，即

(1)

式中：ωi為權(quán)或權(quán)因子，i=0，1，…，n，分別與控制頂點(diǎn)di相聯(lián)系，首末權(quán)因子ω0和ωn大于0，其余ωi≥0，且順序K個(gè)權(quán)因子不同時(shí)為零，以防止分母為零，保留凸包性質(zhì)以及保證曲線不退化為一點(diǎn)；di為控制頂點(diǎn)，i=0，1，…，n，順序連接成控制多邊形；Ni，k(u)是由節(jié)點(diǎn)矢量U=[u0，u1，…，ui+k+1]按照德布爾考克斯遞推公式?jīng)Q定的k次規(guī)范B樣條基函數(shù)，其表達(dá)式為

(2)

其中，Ni，k(u)的雙下標(biāo)中第二下標(biāo)k表示次數(shù)，第一下標(biāo)i表示序號(hào).式(2)表明，欲確定第i個(gè)k次B樣條基函數(shù)Ni，k(u)，需要用到ui，ui+1，…，ui+k+1共K+2個(gè)節(jié)點(diǎn)，稱該區(qū)間[ui，ui+k+1]為Ni，k(u)的支承區(qū)間.Ni，k(u)的第一下標(biāo)等于其支承區(qū)間左端節(jié)點(diǎn)的下標(biāo)，即表示該B樣條在參數(shù)u軸上的位置.曲線方程中相應(yīng)n+1個(gè)控制頂點(diǎn)di要用到n+1個(gè)k次B樣條基函數(shù)Ni，k(u)，每個(gè)基函數(shù)都是k次B樣條，它們的支承區(qū)間所含節(jié)點(diǎn)矢量的并集就是定義這一組B樣條基函數(shù)的節(jié)點(diǎn)矢量U=[u0，u1，…，ui+k+1].

k次規(guī)范B樣條基函數(shù)具有如下性質(zhì)：

1) 遞推性：由上文所述的Ni，k(u)定義式可知；

3) 局部支承性質(zhì)：k次NURBS曲線上參數(shù)為u∈[ui，ui+1]的一點(diǎn)p(u)至多與k+1個(gè)控制頂點(diǎn)di及相聯(lián)系的權(quán)因子有關(guān)，并且k次NURBS曲線的控制頂點(diǎn)與權(quán)因子僅僅影響相應(yīng)支承區(qū)間上的部分曲線形狀，不影響曲線其他部分；

4) 可微性：在節(jié)點(diǎn)區(qū)間內(nèi)部它是無(wú)限次可微的，在節(jié)點(diǎn)處它是k-r次可微的.

k次NURBS曲線的有理基函數(shù)表達(dá)式為

(3)

第三種表示形式就是齊次坐標(biāo)表達(dá)式，所謂齊次坐標(biāo)就是將一個(gè)原本是n維的向量用一個(gè)n+1維向量來(lái)表示，如向量(x1，x2，…，xn)的齊次坐標(biāo)表示為(hx1，hx2，…，hxn，h)，其中h是一個(gè)實(shí)數(shù).顯然，一個(gè)向量的齊次表示是不唯一的，齊次坐標(biāo)中的h取不同的值均表示的是同一個(gè)點(diǎn)，比如齊次坐標(biāo)[6，2，2]和[3，1，1]表示的都是二維點(diǎn)[3，1].對(duì)于一條三維NURBS曲線，齊次坐標(biāo)表示法可分為以下步驟：

1) 根據(jù)控制頂點(diǎn)di以及相應(yīng)的權(quán)因子ωi來(lái)確定帶權(quán)控制點(diǎn)Di；

2) 用帶權(quán)控制點(diǎn)Di(i=0，1，…，n)定義一條三維的k次非有理B樣條曲線；

3) 將它投影到ω=1超平面上，所得透視像即為xy平面上一條k次NURBS曲線.

3.2 NURBS快速插補(bǔ)的實(shí)現(xiàn)

NURBS曲線插補(bǔ)的目的是在數(shù)控機(jī)床的加工過(guò)程中控制加工刀具的運(yùn)動(dòng)量最小.插補(bǔ)前，要先根據(jù)已知控制頂點(diǎn)、權(quán)因子及節(jié)點(diǎn)矢量來(lái)確定NURBS曲線表達(dá)式，為方便計(jì)算還要推出NURBS曲線的矩陣表達(dá)形式，這一過(guò)程稱為插補(bǔ)預(yù)處理.

NURBS實(shí)時(shí)插補(bǔ)過(guò)程主要分為兩個(gè)步驟：

1) 參數(shù)密化過(guò)程，利用迭代算法遞推出插補(bǔ)參數(shù)值，實(shí)現(xiàn)從三維軌跡空間到一維參數(shù)空間的一一對(duì)應(yīng)，完成了參數(shù)的密化.

2) 軌跡計(jì)算過(guò)程，將密化后的參變量回代到NURBS曲線方程中，得到新的參變量繼續(xù)插補(bǔ).為了提高加工效率，在動(dòng)態(tài)插補(bǔ)過(guò)程中還要考慮進(jìn)給速度.不同的速度控制方案對(duì)插補(bǔ)速度和弓高誤差等都有影響.

4 NURBS曲線的MATLAB實(shí)現(xiàn)

4.1 實(shí)現(xiàn)流程

在NURBS曲線插補(bǔ)過(guò)程中，設(shè)置插補(bǔ)實(shí)時(shí)滿足條件參數(shù)遞推和NURBS曲線求導(dǎo)(一階、兩階)，判斷在插補(bǔ)中是否對(duì)常量進(jìn)行預(yù)處理，從而實(shí)現(xiàn)插補(bǔ)，流程圖如圖3所示.

圖3 NURBS曲線的MATLAB流程Fig.3 MATLAB flow chart of NURBS curve

4.2 弓高誤差的補(bǔ)償

NURBS曲線插補(bǔ)的結(jié)果可依據(jù)弓高誤差來(lái)衡量，也就是說(shuō)插補(bǔ)過(guò)程中，要使插補(bǔ)曲線與NURBS插補(bǔ)曲線的弓高誤差在規(guī)定范圍之內(nèi)，以保證插補(bǔ)精度.

圓弧近似法得到的逼近誤差e與插補(bǔ)周期T、進(jìn)給速度F以及曲線在逼近處的曲率半徑ρ的關(guān)系為

(4)

因?yàn)檫M(jìn)給速度應(yīng)隨弓高誤差和曲率半徑的變化自適應(yīng)地調(diào)整，則有

(5)

式中，l=FT為步長(zhǎng).可見(jiàn)在插補(bǔ)過(guò)程中，如果插補(bǔ)周期一定，以恒定進(jìn)給速度進(jìn)行加工時(shí)，曲率半徑越小，引起的插補(bǔ)誤差就越大.而在實(shí)際系統(tǒng)中，一般通過(guò)對(duì)進(jìn)給速度進(jìn)行限制來(lái)保證逼近誤差在允許的范圍內(nèi).因?yàn)樵诟咚俣取⒏呔鹊募庸C(jī)床上既要進(jìn)給速度足夠大，又要保證插補(bǔ)誤差盡可能小，這就必須要考慮誤差控制策略.當(dāng)弓高誤差在允許范圍內(nèi)時(shí)，不斷調(diào)整進(jìn)給速度從而達(dá)到最優(yōu)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，保證速度與精度之間的平衡.

5 NURBS插補(bǔ)仿真

本文基于MATLAB平臺(tái)對(duì)壓電陶瓷的遲滯特性進(jìn)行了NURBS插補(bǔ)算法的仿真，并和線性插值方法對(duì)比了插值效果.本文在遲滯曲線的升降壓過(guò)程中取一組有序的二維坐標(biāo)點(diǎn)列作為型值點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)矢量由均勻參數(shù)化法得到，隨機(jī)給定權(quán)因子，這樣可計(jì)算出控制頂點(diǎn)di，得到NURBS擬合曲線，以便進(jìn)行插補(bǔ).

NURBS插補(bǔ)過(guò)程的仿真參數(shù)分別為：進(jìn)給速度F=300 mm/s，插補(bǔ)周期為0.001 s，最大弓高誤差hm=0.001 mm，最大進(jìn)給加速度am=4 900 mm/s2，得出的NURBS插補(bǔ)仿真圖如圖4所示.將NURBS插補(bǔ)與線性插值算法進(jìn)行比較，得到升壓過(guò)程插補(bǔ)誤差對(duì)比結(jié)果，如圖5所示.

圖4 MATLAB仿真圖Fig.4 MATLAB simulation diagram

圖5 插補(bǔ)誤差對(duì)比圖Fig.5 Comparison in interpolation error

由仿真結(jié)果可知，經(jīng)過(guò)NURBS插值處理后，不僅可以準(zhǔn)確得到壓電陶瓷非線性遲滯曲線的模型，還可以確定達(dá)到任一位移所需要的控制電壓.同時(shí)，經(jīng)過(guò)與線性插值法進(jìn)行對(duì)比，NURBS插值誤差明顯比線性插值誤差小，提高了基于壓電陶瓷的定位控制系統(tǒng)的精確度.

6 結(jié) 論

在大行程精密定位系統(tǒng)中，特別是納米級(jí)宏動(dòng)與精動(dòng)兩級(jí)定位系統(tǒng)中，精動(dòng)端的組成主要是壓電陶瓷微位移進(jìn)給器，而壓電陶瓷存在著非線性遲滯現(xiàn)象，控制系統(tǒng)并不能直接對(duì)其進(jìn)行控制，所以要對(duì)壓電陶瓷進(jìn)行建模，本文針對(duì)大行程精密定位系統(tǒng)的高速度和高精度的需要，研究了基于NURBS曲線插補(bǔ)方法對(duì)非線性遲滯現(xiàn)象的建模.通過(guò)對(duì)NURBS插補(bǔ)方法進(jìn)行MATLAB仿真，表明了該插補(bǔ)算法可得到理想的遲滯曲線模型.經(jīng)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，NURBS插補(bǔ)方法比線性插值方法更精確，可實(shí)現(xiàn)對(duì)定位系統(tǒng)的高精度控制.

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(責(zé)任編輯：鐘 媛 英文審校：尹淑英)

Non-linear correction of piezoelectric ceramics based on non-uniform rational B-spline

CHANG Li,LI Qing-bin,HUANG Ge-ge,XIU Guo-yi

(School of Information Science and Engineering,Shenyang University of Technology,Shenyang 110870,China)

Aiming at the problem that the non-linear hysteresis characteristics of piezoelectric ceramics limit the increase in the positioning accuracy of two-stage large travel precision positioning system,the hysteretic characteristics were compensated with a non-uniform rational B-spline (NURBS) interpolation algorithm.In the process of realizing NURBS interpolation algorithm with MATLAB software,the NURBS interpolation algorithm and linear interpolation algorithm were used for the simulation and compared.The results show that the error of NURBS interpolation algorithm is obviously smaller than that of linear interpolation algorithm,which verifies the correctness,feasibility and practicability of NURBS interpolation algorithm for solving the non-linear problem of piezoelectric ceramics.In addition,the NURBS interpolation algorithm solves the establishment problem of the model for the non-linear hysteresis characteristic curves of piezoelectric ceramics,and the higher positioning accuracy can be realized under the premise that the accurate working table meets the requirement in the speed.

piezoelectric ceramic;accurate positioning system;hysteresis characteristic;NURBS interpolation;chord error;feed speed;error compensation;positioning accuracy

2014-05-08.

沈陽(yáng)市科技局科研計(jì)劃項(xiàng)目(F16-205-1-11，F(xiàn)13-316-1-57).

常 麗(1971-)，女，遼寧沈陽(yáng)人，副教授，博士，主要從事納米位移測(cè)量與控制、智能儀器及網(wǎng)絡(luò)化測(cè)控系統(tǒng)等方面的研究.

19 17∶56在中國(guó)知網(wǎng)優(yōu)先數(shù)字出版.

http：∥www.cnki.net/kcms/detail/21.1189.T.20170119.1756.014.html

10.7688/j.issn.1000-1646.2017.02.12

TP 273.5

A

1000-1646(2017)02-0183-05