理解方程實(shí)質(zhì)，找準(zhǔn)等量關(guān)系

黃韋

一元一次方程是最基本的代數(shù)方程，也是中考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一. 下面以近年中考試題為例說明.

一、 概念型問題

1. 解一元一次方程

例1 （2012·湖南郴州）一元一次方程3x-6=0的解是______.

【分析】 根據(jù)一元一次方程的解法，移項(xiàng)，系數(shù)化為1即可得解：

移項(xiàng)得，3x=6，系數(shù)化為1得，x=2.

【答案】 x=2.

【考點(diǎn)指導(dǎo)】 解一元一次方程一般難度不大，只要牢記解一元一次方程的步驟，就能求出正確的解.

2. 一元一次方程的解

例2 （2011·廣東湛江）若x=2是關(guān)于方程2x+3m-1=0的解，則m的值等于______.

【分析】 使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值是該方程的解. 將方程的解代入方程可得關(guān)于m的一元一次方程，從而可求出m的值.

【答案】 -1.

【考點(diǎn)指導(dǎo)】 中考中對一元一次方程的解的考查，以填空題的形式居多. 該題是已知一元一次方程的解，求未知字母的值. 解決此類問題的思路是：將解代入原一元一次方程，從而轉(zhuǎn)化成關(guān)于未知字母的方程，進(jìn)而求解.

二、 應(yīng)用型問題

學(xué)習(xí)本章時(shí)，要深刻理解方程的思想，即未知量可以和已知量一起表示數(shù)量關(guān)系. 只要找到數(shù)量之間的等量關(guān)系就可列方程，即建立數(shù)學(xué)模型.

例3 （2011·山東日照）某道路一側(cè)原有路燈106盞，相鄰兩盞燈的距離為36 m，現(xiàn)計(jì)劃全部更換為新型的節(jié)能燈，且相鄰兩盞燈的距離變?yōu)?0 m，則需更換的新型節(jié)能燈有（ ）.

A. 54盞 B. 55盞

C. 56盞 D. 57盞

【分析】 可設(shè)需更換的新型節(jié)能燈有x盞，根據(jù)等量關(guān)系：兩種安裝路燈方式的道路總長相等，列出方程求解即可.

解：設(shè)需更換的新型節(jié)能燈有x盞，則

70（x-1）=36×（106-1）.

x=55.

則需更換的新型節(jié)能燈有55盞. 故選B.

【考點(diǎn)指導(dǎo)】 本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程再求解.

例4 （2013·臺(tái)灣）圖①為一正面白色、反面灰色的長方形紙片. 今沿虛線剪下分成甲、乙兩長方形紙片，并將甲紙片反面朝上粘貼于乙紙片上，形成一張白、灰相間的長方形紙片，如圖②所示. 若圖②中白色與灰色區(qū)域的面積比為8 ∶ 3，圖②紙片的面積為33，則圖①紙片的面積是（ ）.

A. B.

C. 42 D. 44

【分析】設(shè)每一份為x，則圖②中白色部分的面積為8x，灰色部分的面積為3x，根據(jù)圖②紙片的面積為33的等量關(guān)系建立方程，求出其解即可.

解：設(shè)每一份為x，則圖②中白色部分的面積為8x，灰色部分的面積為3x，由題意，得

8x+3x=33，解得：x=3.

∴ 灰色部分的面積為：3×3=9，

∴ 圖①紙片的面積為：33+9=42.

故選C.

【考點(diǎn)指導(dǎo)】 本題考查了比例問題在解實(shí)際問題中的運(yùn)用以及一元一次方程解法的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)條件建立方程求出灰色部分的面積是關(guān)鍵.

例5 （2011·江蘇常州）把棱長為4的正方體分割成29個(gè)棱長為整數(shù)的正方體（且沒有剩余），其中棱長為1的正方體的個(gè)數(shù)為 .

【分析】 從三種情況進(jìn)行分析：（1） 只有棱長為1的正方體；（2） 分成棱長為3的正方體和棱長為1的正方體；（3） 分成棱長為2的正方體和棱長為1的正方體.

解：棱長為4的正方體的體積為64，如果只有棱長為1的正方體就是64個(gè)，不符合題意排除；如果有一個(gè)3×3×3的立方體（體積27），就只能有1×1×1的立方體37個(gè)，37+1>29，不符合題意排除；所以應(yīng)該是有2×2×2和1×1×1兩種立方體.

設(shè)棱長為1的有x個(gè)，則棱長為2的有（29-x）個(gè)，可得x+8×（29-x）=64，

解得：x=24.

所以小明分割的立方體應(yīng)為：棱長為1的24個(gè)，棱長為2的5個(gè). 故答案為：24.

【考點(diǎn)指導(dǎo)】 本題考查了一元一次方程的應(yīng)用和立體圖形的求解，解題的關(guān)鍵是分三種情況考慮，根據(jù)符合題意的情況列方程求解.

三、 新定義題型

近年來，中考考查一元一次方程的題目形式呈多樣化發(fā)展趨勢. “新定義”型問題成為中考數(shù)學(xué)命題的亮點(diǎn)，許多同學(xué)看到一些沒見過的符號或定義就慌了手腳. 其實(shí)“新定義”題型關(guān)鍵是審清題意，具體說就是把符號語言轉(zhuǎn)化為簡練、準(zhǔn)確的文字語言.

例6 （2013·山東濰坊）對于實(shí)數(shù)x，我們規(guī)定[x]表示不大于x的最大整數(shù)，例如[1.2]=1，[3]=3，[-2.5]=-3，若

=5，則x的取值可以是（ ）.

A. 40 B. 45

C. 51 D. 56

答案：C.

【考點(diǎn)指導(dǎo)】 這是一道“新定義”題型. 本題需要同學(xué)們先通過閱讀掌握新定義公式，再利用類似方法解決問題. 本題考查了同學(xué)們觀察問題、分析問題、解決問題的能力.

（作者單位：江蘇省常州外國語學(xué)校）