黎曼—勒貝格定理幾何意義的實(shí)驗(yàn)教學(xué)法探討

梁海華+黃鳳英+張冰

【摘要】本文探討了在數(shù)學(xué)分析課堂中，利用計(jì)算機(jī)軟件探索黎曼-勒貝格定理幾何意義的實(shí)驗(yàn)教學(xué)法，給出了實(shí)驗(yàn)步驟和Mathematica程序設(shè)計(jì)以及教學(xué)方法.

【關(guān)鍵詞】黎曼-勒貝格定理；幾何意義；教學(xué)探討

【基金項(xiàng)目】本文系2016年廣東省高等教育教學(xué)改革項(xiàng)目《基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的數(shù)學(xué)專業(yè)分析類課程的教學(xué)改革探索》（粵教高函[2016]236號(hào)）成果之一.

一、引言

在華東師大版《數(shù)學(xué)分析》教材下冊(cè)，為了證明傅里葉收斂定理，需要用到貝塞爾（Bessel）不等式.而后者可以直接推出如下著名的結(jié)論：

定理A若函數(shù)f在[-π，π]上（黎曼）可積，則

limn→∞∫π-πf（x）cosnxdx=0，limn→∞∫π-πf（x）sinnxdx=0.

這個(gè)結(jié)論稱為黎曼-勒貝格定理.

定理B若f∈L1（[a，b]），則limλ→+∞∫baf（x）cosλxdx=0，limλ→+∞∫baf（x）sinλxdx=0.

此外，人們還把該定理拓廣到更廣泛的情形（如cosλx可換成普通的周期函數(shù)）并應(yīng)用它來解決諸多重要問題.

由此可見，黎曼-勒貝格定理是分析學(xué)中一個(gè)非常重要的定理.然而，在數(shù)學(xué)分析的課程體系中，它僅僅是作為傅里葉級(jí)數(shù)收斂定理的預(yù)備定理的一個(gè)推論出現(xiàn).因此，通常的教學(xué)中，絕大部分教師往往一筆帶過，學(xué)生也沒有留下多少印象.而在實(shí)變函數(shù)的課程中，教師往往注重講解定理的證明和應(yīng)用，忽視了對(duì)定理深層含義的挖掘.

那么，教師在數(shù)學(xué)分析課堂中該如何講授這個(gè)定理，才能讓學(xué)生理解它的深刻本質(zhì)呢？我們注意到，定理A有著很強(qiáng)的幾何意義，只要由淺入深把它的幾何意義展示給學(xué)生，就能取得非常好的教學(xué)效果.下面將介紹我們?cè)趯?shí)踐中利用數(shù)學(xué)軟件Mathematica開展的實(shí)驗(yàn)教學(xué)方法.據(jù)我們所知，目前尚未有文獻(xiàn)涉及這樣的探討.

二、黎曼-勒貝格定理的實(shí)驗(yàn)教學(xué)法

在教學(xué)過程中，我們?cè)谕暾刂v完用貝塞爾不等式證明傅里葉收斂定理后，以一個(gè)小專題的形式探討黎曼-勒貝格定理幾何意義，整個(gè)教學(xué)課程大約需要25分鐘.首先提出實(shí)驗(yàn)?zāi)康模禾接懤杪?勒貝格定理（定理A）的幾何意義.

然后給出如下實(shí)驗(yàn)步驟：

1.取f（x）≡1.觀察函數(shù)f（x）cosnx（n=1，2，3，…）在區(qū)間[-π，π]上的圖像；從幾何角度思考∫π-πcosnxdx=0的原因.

2.取f（x）=（x-1）2.作出函數(shù)f（x）cosnx（n=1，2，3，…）在區(qū)間[-π，π]上的圖像；用Mathematica軟件計(jì)算數(shù)列an=∫π-πf（x）cosnxdx；觀察{an}的趨勢(shì)并從幾何角度思考產(chǎn)生這種趨勢(shì)的原因.

3.任取其他可積函數(shù)f（x），作出f（x）cosnx（n=1，2，3，…）在區(qū)間[-π，π]上的圖像；從幾何角度思考∫π-πf（x）cosnxdx是否趨于零.

4.從以上三個(gè)步驟的探討中，你發(fā)現(xiàn)∫π-πf（x）cosnxdx趨于零的原因是什么？

教師在課堂上引導(dǎo)學(xué)生按照上述步驟展開思考，進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué).

探討：1.取若干正整數(shù)n，用Mathematica作出函數(shù)cosnx在區(qū)間[-π，π]上的圖像.例如，以n=5和n=20為例，得到如下圖像：

觀察發(fā)現(xiàn)：cosnx在[-π，π]上下等幅振動(dòng)，上半平面的曲線與x軸圍成的“正”面積恰好等于下半平面的曲線與x軸圍成的“負(fù)”面積的絕對(duì)值.而∫π-πcosnxdx=0就是正負(fù)面積完全抵消的結(jié)果.

2.取若干正整數(shù)n，作出函數(shù)（x-1）2cosnx在區(qū)間[-π，π]上的圖像.例如，當(dāng)n=9時(shí)，圖像如下：

再用Mathematica計(jì)算出n=51，52，…，59時(shí)∫π-πf（x）cosnxdx的準(zhǔn)確值和及n=1001，1002，…，1010時(shí)的數(shù)值近似值，分別如下：

從計(jì)算結(jié)果可以看出，隨著n不斷增大，積分值越來越接近0.

提問學(xué)生：為什么此時(shí)，積分值不為零，但又趨于零呢？原來，與f（x）≡1的情形不同，此時(shí)被積函數(shù)的圖像雖然上下振動(dòng)，但正負(fù)面積卻不能完全抵消.這就是積分不為零的原因.然而，隨著n的增大，cosnx的頻率越來越大.在它的帶動(dòng)下，（x-1）2cosnx圖像上下振動(dòng)越來越頻繁，曲線夾成的“拱橋”越來越狹窄，導(dǎo)致正負(fù)面積差別越來越小直至微乎其微，從而積分值越來越接近零.

3.請(qǐng)學(xué)生任取其他函數(shù)，例如，取f（x）≡ex/15sinx3ln（x2+1），得到n=1，2，…時(shí)函數(shù)f（x）cosnx的圖像系列.以下我們僅給出n=20時(shí)函數(shù)的圖像：

引導(dǎo)學(xué)生觀察：隨著n越來越大，曲線與x軸圍成的圖形的正負(fù)面積，在很大程度上可以互相抵消.因此，函數(shù)在[-π，π]上的積分越來越接近零.

4.經(jīng)過以上三步由淺入深的觀察和探討，我們發(fā)現(xiàn)，黎曼-勒貝格定理中，積分趨于零的幾何意義是：當(dāng)n很大的時(shí)候，曲線cosnx在區(qū)間[-π，π]上高頻振動(dòng)，不管曲線f（x）是何種可積函數(shù)，它與cosnx相乘后也高頻振動(dòng)起來.由此產(chǎn)生的結(jié)果是：曲線f（x）cosnx與x軸圍成的圖形的正負(fù)面積可以大幅度抵消，導(dǎo)致f（x）cosnx在[-π，π]上的積分越來越小直至為零.

三、結(jié)語(yǔ)

通過上述實(shí)驗(yàn)教學(xué)，我們清晰地向?qū)W生揭示了黎曼-勒貝格定理的幾何意義，也讓學(xué)生理解了這個(gè)定理的深刻意義.另外，數(shù)學(xué)分析課程中還有不少定理和概念也可以借助計(jì)算機(jī)軟件來探討它們幾何意義.這種教學(xué)方法，讓原本枯燥無(wú)味的課堂變得生動(dòng)有趣，給學(xué)生創(chuàng)造了很大的觀察和思考空間.因此，這無(wú)疑是培養(yǎng)創(chuàng)新性數(shù)學(xué)人才的一個(gè)有效途徑.