廣義余弦函數(shù)及一類二階抽象柯西問題研究

倉(cāng)定幫，李慶慶，隋麗麗

(華北科技學(xué)院理學(xué)院，河北 三河 065201)

抽象空間中的算子微分方程初值問題是現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的研究分支.其理論已經(jīng)被廣泛的應(yīng)用于分布參數(shù)系統(tǒng)的研究.自Hille在1952年引入抽象柯西問題的概念后，眾多的學(xué)者投身于該領(lǐng)域的研究.伴隨著抽象柯西問題的研究不斷深入，算子半群理論逐步成熟，強(qiáng)連續(xù)算子半群、積分半群等概念相繼被提出，并在解決一階抽象柯西問題中發(fā)揮著重要作用[1-7].在二階抽象柯西問題方面，余弦函數(shù)理論起著類似作用[8-18].正如人們熟知，如下二階抽象柯西問題：

(1)

(2)

及

(3)

系統(tǒng)(3)也被稱為二階廣義參數(shù)分布系統(tǒng)，它比一般的參數(shù)分布系統(tǒng)應(yīng)用范圍更廣，在復(fù)合熱導(dǎo)體的溫度分布、超導(dǎo)電路中的電壓分布以及電纜系統(tǒng)中的信號(hào)傳播等問題的研究中經(jīng)常被設(shè)計(jì).例如，考慮彈性奇異梁的振動(dòng)問題，它的兩個(gè)終端是固定的.這個(gè)問題的數(shù)學(xué)模型可以用下面的方程來描述：

(4)

其中，μ(t，x)∈Rn是位移向量，M(x)∈Rn×n是質(zhì)量分布矩陣，通常為常數(shù)，是奇異的.f(x，t)是一個(gè)標(biāo)量函數(shù).方程(4)的邊值邊界條件為：

方程(4)可以用下面的Banach空間中的發(fā)展方程刻畫，令

μ(t)∈H，Bμ(t)(x)=My(t，x)，

(5)

可以將(4)轉(zhuǎn)化為(3)的形式.

本文借助算子半群相關(guān)理論，對(duì)抽象柯西問題(3)進(jìn)行深入分析.實(shí)際上通過Laplace變換可得：

(6)

可以發(fā)現(xiàn)，要想通過Laplace變換解決問題(3)，可引入一類新的算子T(t)滿足如下形式：

(7)

下文將該算子稱為廣義余弦函數(shù)，其生成元記為(A，B).本文第二部分給出了廣義余弦函數(shù)的若干性質(zhì)；第三部分討論廣義余弦函數(shù)擾動(dòng)問題；第四部分和第五部分研究了廣義余弦算子的遍歷定理及問題(3)的適定性.

1 定義與性質(zhì)

定義1B是Banach空間X中的有界線性算子，A是閉算子，ρ(B，A)={λ:λ∈C，(λ2B-A)-1}是X中的有界線性算子.令R(λ2B，A)=(λ2B-A)-1，將R(λ2B，A)稱為廣義正則集.

定義2B是Banach空間X中的有界線性算子，若有界線性算子{T(t):t≥0}滿足T(-t)=T(t)且：

T(t+s)+T(t-s)=2T(t)BT(s)，t≥0，s≥0.

(8)

稱T(t)為廣義余弦函數(shù).

例令

性質(zhì)1設(shè)B是Banach空間X中的有界線性算子，A是閉算子，T(t)是廣義算子半群，則

(9)

證明令Pλ=λ(λ2B-A)-1，則有

又有

同理

根據(jù)Laplace變換的唯一性，得證.

性質(zhì)2假設(shè)T(t)是以(A，B)為生成元的廣義余弦函數(shù)，若T(t)指數(shù)有界，則

證明因?yàn)?/p>

λ2R(λ2B，A)B=

R(λ2B，A)(λ2B-A+A)=I+R(λ2B，A)A，

性質(zhì)3假設(shè)T(t)是以(A，B)為生成元的廣義余弦函數(shù)，若T(t)指數(shù)有界，則

(10)

則

性質(zhì)4假設(shè)T(t)是(A，B)以為生成元的廣義余弦函數(shù)，則

(11)

證明

又因?yàn)?/p>

再由Laplace變換的唯一性可以證得.

定理1設(shè)B是Banach空間X中的有界線性算子，A是閉算子，若存在常數(shù)M>0，使得

(12)

則存在一個(gè)廣義余弦函數(shù)T(t)以(A，B)為生成元.

證明令ω′>ω，Γ=ω′+i∞，?t≥0，定義

(13)

可以看出上面的積分在有限區(qū)間中是收斂的，再根據(jù)留數(shù)定理，可以得到：

得證.

2 逼近與擾動(dòng)

定理2假設(shè)Tn(t)是以(An，Bn)為生成元的廣義余弦函數(shù)，并且滿足‖T(t)‖≤Meωt，若

證明因?yàn)?/p>

則據(jù)控制收斂定理可得

因?yàn)?/p>

令x=(λ2B0-A0)-1y，則有

‖Tn(t)Bn(λ2Bn-An)-1y-

T0(t)B0(λ2B0-A0)-1y‖≤

結(jié)合1)，2)以及

An(λ2Bn-An)-1=λ2(λ2Bn-An)-1Bn-I，

上式在n→∞時(shí)收斂于0，得證.

下面討論廣義余弦函數(shù)的擾動(dòng)問題.假設(shè)T(t)是以(A1，B)為生成元的廣義余弦函數(shù)，A2為線性算子并且滿足

(14)

R(λ2B，A1+A2)=

(15)

證明因?yàn)門(t)是以(A1，B)為生成元的廣義余弦函數(shù)，則

令Reμ>λ0，λ=λ0+ilmμ，則

R(μ2B，A1)=

R(λ2B，A1)[I+(μ2-λ2)BR(μ2B，A1)]，

且

再由定理(3)可得：

從而(A1+A2，B)也是某一余弦函數(shù)的生成元.

3 遍歷定理

定義4假設(shè)T(t)是以(A，B)為生成元的廣義余弦函數(shù)，定義

(16)

實(shí)際上可以證明P1=P2=P3.一方面，由

‖λ2R(λ2B，A)-P2‖=

定理5T(t)是以(A，B)為生成元的廣義余弦函數(shù)，P是其阿貝爾遍歷極限，則

1)PBx=BPx，P2Bx=Px;

2)N(A)?R(PB)，R(A)?N(PB)，

R(P)?N(A)，N(P)?P(A);

3)T(t)BPx=Px.

證明1)據(jù)AB=BA，有PB=BP，又?x∈X，

2)另一方面，令x1∈N(A)，x2∈R(A)記x=x1+x2，存在y∈D(A)使得Ay=x2，進(jìn)而

λ2(λ2B-A)-1Bx=

λ2(λ2B-A)-1B(x1+x2)=

λ2(λ2B-A)-1Bx1+λ2(λ2B-A)-1BAy=

(λ2B-A+A)(λ2B-A)-1x1+

λ2(λ2B-A)-1BAy=

x1+(λ2B-A)-1Ax1+

λ4(λ2B-A)-1B2y-λ2By→x1(λ→0)，

因?yàn)棣?A(λ2B-A)-1y=λ4(λ2B-A)-1By-λ2y,所以x∈D(A)且Ax=0，R(P)?N(A).進(jìn)一步，?x∈N(P)，有

-A(λ2B-1)-1x=

x-λ2B(λ2B-A)-1x→x，(λ→0)，

所以N(P)?R(A).

3) 根據(jù)定義3可得

4 抽象柯西問題

本節(jié)研究如下抽象柯西問題的適應(yīng)性問題：

(17)

引理1[17]令Q，N，H為有界算子，對(duì)于如下抽象柯西問題：

定義R(λ2)∶=(λ2Q-λN-H)-1，若

則上述抽象柯西問題是適定的.

g(0)=0，y(0)=0,

則

若Reλ>ω，

由Laplace變換的唯一性可得

y(t)=(λ2B-A)-1g(t)，y(t)∈D(A).

因而

再由Laplace變換的唯一性可得

即問題(17)有解：

下面證明解的唯一性.假設(shè)μ1(t)，μ2(t)都是原問題的解，令υ(t)=μ1(t)-μ2(t)，則υ(t)滿足：

再由引理1得到原問題有唯一零解，即μ1(t)=μ2(t).