敲定時間為隨機(jī)變量的情況下奇異期權(quán)定價問題研究

賈兆麗 楊舒荃 華鐸

摘 要 受保險精算中定價最小死亡保證金的啟發(fā)，當(dāng)死亡發(fā)生時，會收到一定數(shù)額的財富作為補(bǔ)償，而這筆財富當(dāng)作是一種支付，它不僅依賴于原生資產(chǎn)的當(dāng)前價格，還依賴于之前的價格信息.可以把這個支付函數(shù)看做是一種特殊期權(quán)的收益函數(shù).又由于隨機(jī)變量Tx（表示年齡為x的顧客從購買合約到死亡的時間段）的分布可以被近似地看做是幾個指數(shù)分布的線性組合.假設(shè)股票價格變化服從雙指數(shù)跳擴(kuò)散過程.利用Lévy過程的指數(shù)停時的有關(guān)結(jié)果，給出敲定時間為隨機(jī)變量的情況下累計期權(quán)的價格公式的顯式解.這些定價方法可以用于與死亡相關(guān)的未定權(quán)益的定價，如各種養(yǎng)老金保險等.

關(guān)鍵詞 金融數(shù)學(xué);奇異期權(quán)定價;數(shù)學(xué)分析;跳擴(kuò)散過程;顯式解

中圖分類號 60J30文獻(xiàn)標(biāo)識碼 A

Abstract At the time of death，a benefit payment is due，and the benefit payment is regarded as a payment function，which depends not only on the price of a stock at that time，but also on prior prices.The payment turns out to be the payoff of an option，because the distribution of the time of death Tx（that is the time-until-death random variable for a life age x from buying the contracts） can be approximated by a linear combination of exponential distributions.For simplicity，the analysis is made for the case where the time until death is exponentially distributed，which is independent with the stock price process.In this paper，stock price was assumed to follow a double exponential jump diffusion process.The results for exponential stopping of a Lévy process were used to derive a closed-form formula for a Knock Out Discount Accumulator，under the strike time is the random variable.The pricing method of this paper can be used for value equity-linked death benefits such as various annuities and so on.

Key words Financial mathematics;price of exotic options;process of jump diffusion model;Mathematical analysis;closed-form solution

1 引 言

在各種養(yǎng)老金保險及股指年金合約中，定價最小死亡保證金[1，2]支付（Guaranteed Minimum Death Benefits，簡稱GMDB）是保險精算的重要內(nèi)容之一.受這種定價思想的啟發(fā)，定價與“死亡”相依的未定權(quán)益的收益.當(dāng)死亡發(fā)生時，會收到相應(yīng)的財富作為支付函數(shù)，而這種支付不僅依賴于當(dāng)前的原生資產(chǎn)的價格，還依賴于之前標(biāo)的資產(chǎn)的價格.可以把這個支付看作是一種特殊的期權(quán)收益.

在金融學(xué)中，將跳擴(kuò)散過程用于描述原生資產(chǎn)的價格過程，這方面的文獻(xiàn)很多.Merton（1973）[3]首次在Black-Scholes[4]模型中引入復(fù)合Poisson跳，將跳擴(kuò)散模型應(yīng)用于股票價格模型中，并假設(shè)股票的跳躍幅度仍為正態(tài)分布，給出了標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)價格的顯示解.這是一個很重要的進(jìn)步，它克服了幾何布朗運(yùn)動不能解釋諸如厚尾分布等不足.

文章是按如下內(nèi)容組織的：在第2部分預(yù)備知識中給出了一些有關(guān)隨機(jī)變量的分布.在第3部分中分別研究了與死亡相依的回望期權(quán)、障礙期權(quán)和累計期權(quán)的定價問題.這部分的創(chuàng)新之處在于敲定時間不是常量，而是隨機(jī)變量（指的是年齡為x的顧客從購買合約到死亡的時間段），處理方法在于用指數(shù)分布的組合去逼近該隨機(jī)變量.第4部分總結(jié)了主要結(jié)果，方法及貢獻(xiàn).

2 預(yù)備知識

3 主要結(jié)果及其證明

3.1 回望期權(quán)的定價問題

3.2 障礙期權(quán)的定價問題

3.3 累計期權(quán)的定價問題

累計期權(quán)簡寫為KODA，累計期權(quán)包含兩個障礙一個向上敲出型障礙和一個向下確定執(zhí)行價格的障礙上障礙由合約簽訂時依據(jù)當(dāng)時股票價格加成一定百分比確定，在整個合約存續(xù)期間保持不變;下障礙由合約簽訂時依據(jù)當(dāng)時股票價格一定的折扣率確定（即執(zhí)行價格），在整個合約存續(xù)期間保持不變.它給投資者這樣的權(quán)利：在一年中的每個交易日里，只要標(biāo)的股票的當(dāng)日收市價高于下障礙，投資者可以按照事先約定好的折扣率購買一定數(shù)量（例如100股）的股票，這時投資者是盈利的;如果標(biāo)的股票的當(dāng)日收市價低于這個下障礙，投資者必須仍然按照約定的執(zhí)行價格（高于結(jié)算日的即時價格）購買雙倍數(shù)量的股票（200股），這時投資者是虧損的;合約存續(xù)期間一旦標(biāo)的股票價格超過上障礙，則合約自動終止.由合約的條款可以看出，投資這種衍生產(chǎn)品，收益是有限的（因?yàn)榇嬖谇贸鰞r格），風(fēng)險卻是無限的.