從三角形重心定理到“共點(diǎn)三線通式”探索

安徽省黃山旅游管理學(xué)校(245700)

吳靈捷●

從三角形重心定理到“共點(diǎn)三線通式”探索

安徽省黃山旅游管理學(xué)校(245700)

吳靈捷●

筆者在講授三角形的重心定理時(shí)，無(wú)意間發(fā)現(xiàn)了重心、內(nèi)心之間具有一條共同性質(zhì)，下面就是這個(gè)通式發(fā)現(xiàn)過(guò)程.

重心定理 三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍.

將重心定理公式變形為：

故可以得：

證 ∵點(diǎn)I是內(nèi)心,

猜想：既然三角形的重心、內(nèi)心具有這樣的性質(zhì)，那么三角形的垂心、外心是否具有這個(gè)性質(zhì)呢？如果再推廣到一般的形態(tài)，會(huì)是什么情況.

證明 如圖3，令S△ABC=S；S△BOC=S1；S△COA=S2；S△AOB=S3.

令△ABC中BC邊上的高為ha；△ABC中AC邊上的高為hb；△ABC中AB邊上的高為hc；△BOC中BC邊上的高為h1；△COA中AC邊上的高為h2；△AOB中AB邊上的高為h3.

由相似三角形的知識(shí)可知：

∵S△ABC=S△BOC+S△COA+S△AOB

上述證明就給了三角形內(nèi)任意一點(diǎn)都滿(mǎn)足該性質(zhì)，因此三角形的垂心、內(nèi)心也具有該性質(zhì).

?開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x=0.則當(dāng)x<0時(shí)函數(shù)值y隨x的增大而減小.當(dāng)m=2時(shí)，原函數(shù)y=x2-2x-3的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x=1.則當(dāng)x<1時(shí)函數(shù)值y隨x的增大而減小.

此題解答過(guò)程看似復(fù)雜，但是只要捋清思路，逐步地分情況討論，實(shí)際題目難度并不是很高，并且通過(guò)對(duì)圖象的想象，可以幫助我們更快地解決問(wèn)題.此題第一問(wèn)是對(duì)于函數(shù)圖象開(kāi)口方向、坐標(biāo)位置導(dǎo)致其與x軸存在交點(diǎn)的問(wèn)題，這種題目無(wú)論如何變化只有三種情況：①頂點(diǎn)在x軸上，無(wú)論開(kāi)口方向如何函數(shù)與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)；②頂點(diǎn)在x軸上方，開(kāi)口向下才與x軸有交點(diǎn)；③頂點(diǎn)在x軸下方，開(kāi)口向上才與x軸有交點(diǎn).第二問(wèn)是對(duì)函數(shù)單調(diào)性的討論，在目前階段的二次函數(shù)學(xué)習(xí)中函數(shù)的單調(diào)性只有在頂點(diǎn)處會(huì)發(fā)生改變，在今后還會(huì)接觸到帶有絕對(duì)值符號(hào)的二次函數(shù)，目前暫不討論.

在做此題的時(shí)候?qū)W生們經(jīng)常在m值的討論以及B點(diǎn)坐標(biāo)的確認(rèn)方面出錯(cuò)誤，對(duì)于這種解答結(jié)果偏多，需要同學(xué)們根據(jù)條件篩選結(jié)果，或者根據(jù)不同條件分組討論的時(shí)候，我建議同學(xué)們畫(huà)出解析式的示意圖幫助自己理解，對(duì)于分情況討論的時(shí)候可以畫(huà)出多組圖形，以免混淆.往往這種分情況討論的題目，每種情況的難度并不大，但是需要同學(xué)們一定要思路清晰邏輯縝密，不要遺漏.

由于篇幅有限，二次函數(shù)教學(xué)中的難點(diǎn)與易錯(cuò)點(diǎn)先為大家介紹到這里，二次函數(shù)的教學(xué)中仍有很多難點(diǎn)在此雖未介紹，但是依然很重要，希望廣大的師生朋友們?cè)诙魏瘮?shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中加以重視，多學(xué)多練.

[1]王禮兒.一元二次函數(shù)教學(xué)過(guò)程中的難點(diǎn)分析[J].讀書(shū)文摘，2015(12).

[2]張文彬.二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系案例與反思[J].科技咨詢(xún)：教育科技，2015(2).

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