無序雜質(zhì)、磁場對“三明治”式二維系統(tǒng)電導(dǎo)的影響

劉 龍，白志明

(河北科技大學理學院，河北石家莊 050018)

無序雜質(zhì)、磁場對“三明治”式二維系統(tǒng)電導(dǎo)的影響

劉 龍，白志明

(河北科技大學理學院，河北石家莊 050018)

為研究二維電子系統(tǒng)中電子輸運的問題及在磁場作用下二維無序雜質(zhì)系統(tǒng)電導(dǎo)的物理性質(zhì)，通過運用格林函數(shù)以及散射矩陣理論的方法,在格點模型的基礎(chǔ)上，對“三明治”式二維電子系統(tǒng)電導(dǎo)的量子化現(xiàn)象進行了分析。導(dǎo)線與散射體的接觸減小了系統(tǒng)的電導(dǎo)，削減了電導(dǎo)量子臺階現(xiàn)象，使得系統(tǒng)的電導(dǎo)隨著導(dǎo)線與介質(zhì)間耦合的變小而降低；當系統(tǒng)受到外磁場作用時，系統(tǒng)電導(dǎo)的變化隨著磁場的變化表現(xiàn)出周期性震蕩行為，這種震蕩變化的劇烈程度與電子的能量有關(guān)；受雜質(zhì)散射的影響，系統(tǒng)電導(dǎo)隨無序雜質(zhì)濃度的增大而減小，在某些特殊摻雜的濃度下，對于一些特殊的電子能量，系統(tǒng)的電導(dǎo)可以達到理想情況下的階梯值。研究成果對于“三明治”式二維電子系統(tǒng)電導(dǎo)的進一步研究具有借鑒意義。

電磁場理論；電導(dǎo)量子化；格點模型；無序雜質(zhì)摻雜；磁場; 格林函數(shù)

電子輸運是凝聚態(tài)物理學中的一個研究熱點[1-2]，越來越引起人們的研究興趣與關(guān)注。經(jīng)典玻爾茲曼方程是宏觀系統(tǒng)電子輸運問題的研究方法[3-5]，但隨著微加工技術(shù)的進步，電子器件尺寸變得越來越小，人們已經(jīng)能夠制備出達到介觀尺寸的量子器件。電子的費米波長一般為50～100 ?，對于宏觀系統(tǒng)下的器件來說太小了，在輸運過程的同時，電子不斷與晶格、雜質(zhì)、缺陷等發(fā)生碰撞[6-7]。這種碰撞有彈性的，也有非彈性的。其中，非彈性碰撞效應(yīng)使電子喪失其“相位記憶”[8]。因此，輸運過程中電子的波動性與相干性在非彈性碰撞下得不到保持，僅僅使得電子的粒子性在輸運過程中體現(xiàn)出來，這對于具有波粒二象性的電子來說，顯然是具有局限性的。隨著器件尺寸大小的變化，與電子波長相比較時，電子的輸運過程是彈道式的，電子幾乎不發(fā)生非彈性散射[9-11]，這時電子的粒子性與波動相干性可以得到充分展現(xiàn)。

謝月娥等[12]和ANDO[13]分別運用Landauer理論，對兩端口介觀系統(tǒng)進行分析研究，對系統(tǒng)中的電子彈道輸運給出表達式。 1957年，Landauer基于兩端口介觀系統(tǒng)[12-13]，研究了電子彈道輸運，給出了系統(tǒng)的電導(dǎo)公式，稱為Landauer理論。緊束縛近似理論、格林函數(shù)法等都是用來研究計算介觀體系的常用方法[2,14-16]，人們對介觀器件中的量子輸運現(xiàn)象做了大量的研究工作，利用這些研究方法揭示了系統(tǒng)電子輸運的物理性質(zhì)。電導(dǎo)量子化是電子輸運現(xiàn)象中重要性質(zhì)之一，人們已在實驗現(xiàn)象中觀察到[17-20]，并在理論上，給出了充分的研究。研究發(fā)現(xiàn)，由于Landauer效應(yīng)，磁場對電子的作用增強了系統(tǒng)電導(dǎo)的量子效應(yīng)[21]。

本文研究了“三明治”式二維體系中，中間接觸區(qū)域在受到磁場作用下，以及存在無序雜質(zhì)的情況下，系統(tǒng)的電導(dǎo)量子化性質(zhì)。

圖1 晶格常數(shù)為a的點陣二維理想系統(tǒng)Fig.1 Two-dimensional ideal lattice system with lattice constant of a

1 二維系統(tǒng)模型及其電子波函數(shù)

考慮一個晶格常數(shù)為a的點陣二維理想系統(tǒng)，如圖1所示，水平方向上(定義為x方向)的列指標用j表示。垂直方向上(定義為y方向)的行指標用l表示，并假設(shè)二維系統(tǒng)劃分了m行。因此任一格點表示為(l,j)。僅考慮緊鄰相互作用，相鄰格點的躍遷積分設(shè)為t。每個格點上的格點能表示為

〈l,j|H|l,j〉=vl,j-4t,

其中vl,j表示格點上原子或雜質(zhì)在(l,j)格點引起的勢能部分，其對電子的散射為彈性散射。在二次量子化的表示下，系統(tǒng)的哈密頓量表示為

(1)

此時，系統(tǒng)哈密頓量的矩陣表示如下：

為了得出式(1)的線性無關(guān)解，設(shè)

(2)

其中λ為與入射能量E有關(guān)的待定系數(shù)。

聯(lián)立方程可得:

(3)

(4)

(5)

其中F±=u(±)Λ(±)u-1(±)。因此電子在第j列上的電子波函數(shù)可表示為

(6)

2 輸運過程中的散射

圖2 電子輸運系統(tǒng)Fig.2 Electron transport system

考慮一個劃分為n×m個格點的長方形散射體S連接到2個半無限長的二維理想導(dǎo)線，如圖2所示。左邊導(dǎo)線L的第j=0列與散射體S的第j=1列具有電子遷移關(guān)系，其相鄰兩列之間的耦合表示tL；右邊導(dǎo)線R的第j=n+1列與散射體S的第j=n列具有電子遷移關(guān)系，其相鄰兩列之間的耦合表示tR。系統(tǒng)的密頓量為HT=H+HL+HR。電子從左邊導(dǎo)線L入射，經(jīng)散射體S散射，電子以一定的概率透射到右端導(dǎo)線。

在左端二維導(dǎo)線上，電子存在入射(向右)波與反射(向左)波，因此在j=0列，電子波函數(shù)可表示為

由式(5)，電子在左導(dǎo)線列j=-1，表示為

(7)

電子在j=-1列上出現(xiàn)的概率用在j=0列上電子的波函數(shù)以及向右運動的波函數(shù)表示出來。將式(7)帶入運動方程(1)，有

(8)

因此，在散射體S與右端導(dǎo)線R上的電子運動方程為

(9)

假設(shè)一磁場H沿z軸垂直于二維系統(tǒng)作用，按照Peierls理論，該磁場的作用表現(xiàn)在轉(zhuǎn)移常數(shù)上增加了一個Peierls相因子。選擇合適的電磁場規(guī)范條件，近鄰格點間的轉(zhuǎn)移常數(shù)可表示為

其中φ=Ha2是穿過晶胞的磁通，φ0=ch/e是量子磁通。這樣，系統(tǒng)的哈密頓量可寫為

其中，緊鄰格點間耦合表示為

(10)

可以看出，格林函數(shù)也是(n+2)m×(n+2)m階方陣。因此透射端電子的波函數(shù)為

(11)

(12)

3 數(shù)值結(jié)果與分析

圖3 兩端導(dǎo)線與散射區(qū)域不同耦合系數(shù)下的系統(tǒng)電導(dǎo)與電子入射能量關(guān)系曲線Fig.3 Relationship curve of the system conductance and the incident electron energy with different coupling coefficients

圖3 a)顯示，當t=tL=tR時，即系統(tǒng)為一理想的無限長直二維系統(tǒng)，此時的電導(dǎo)具有隨費米能理想的階梯形狀。圖3 a)—圖3 d)給出，隨著散射體與兩端導(dǎo)線耦合強度的減少，散射體對電子的散射逐漸增強，系統(tǒng)電導(dǎo)比理想系統(tǒng)電導(dǎo)(圖3 a))減小。在每一個上升臺階附近，電導(dǎo)接近理想系統(tǒng)電導(dǎo)，但隨著能量的增加，電導(dǎo)逐漸減少。從物理角度上分析，當電子能量達到一個新的輸運通道所需要的能量時，系統(tǒng)便打開一個輸運道，從而使電導(dǎo)增加一個新的臺階，而此時在傳輸方向上，電子運動能量較小，對界面散射影響較小，導(dǎo)致系統(tǒng)電導(dǎo)較大。這與文獻[13]中的計算結(jié)果相一致。之后隨著電子能量的增加，在該輸運道上傳輸方向上電子能量增加，使得界面散射作用增強，從而系統(tǒng)電導(dǎo)變小。當電子能量增加到一個新的輸運道所需要的能量時，一個新的電導(dǎo)臺階形成。

圖5給出在沒有磁場，散射體不同的摻雜濃度下，系統(tǒng)電導(dǎo)隨電子能量的變化關(guān)系。圖5 a)—圖5 d)表明，由于雜質(zhì)對電子散射的影響，摻雜雜質(zhì)濃度越大，系統(tǒng)的電導(dǎo)越小，并隨電子能量震蕩。其中對于一些特殊的電子能量，由于電子相長干涉，電導(dǎo)的峰值達到了理想導(dǎo)線的階梯值，之后的系統(tǒng)電導(dǎo)隨電子能量的變化進行振幅減少的震蕩變化。

圖4 零溫不同費米能下系統(tǒng)電導(dǎo)隨外加磁場變化曲線 (中間散射區(qū)參數(shù)為m=10，n=20，tL=tR=t)Fig.4 Under different Fermi energy, the conductance changes with the applied magnetic field (The parameters of the scatter are m=10,n=20,tL=tR=t)

圖5 無磁場不同摻雜濃度下電導(dǎo)-能量關(guān)系曲線 (中間散射區(qū)參數(shù)為m=10,n=20,tL=tR=t)Fig.5 Conductance varies with the electron energy in the disappear of magnetic field and the different doping concentration (The parameters of the scatter are m=10,n=20,tL=tR=t)

4 結(jié) 論

在無外部磁場以及雜質(zhì)散射的情況下，分析研究了接觸對系統(tǒng)電導(dǎo)量子化臺階效應(yīng)的影響，由于接觸的散射作用，系統(tǒng)的電導(dǎo)隨著導(dǎo)線與介質(zhì)間耦合的變小而降低；在磁場對散射體區(qū)域作用下，系統(tǒng)電導(dǎo)的變化隨著磁場的變化而表現(xiàn)出周期性的震蕩行為。這種震蕩變化的劇烈程度與入射電子的能量有關(guān)；同時，給出了無序雜質(zhì)對系統(tǒng)電導(dǎo)的影響，系統(tǒng)的電導(dǎo)隨無序雜質(zhì)濃度的增加而減小。在一些特殊摻雜濃度下，由于存在相長干涉效應(yīng)，對于一些特殊的電子能量，系統(tǒng)的電導(dǎo)可以達到理想情況下的階梯值，這為“三明治”式二維電子系統(tǒng)電導(dǎo)的進一步研究提供了參考。

/References：

[1] 韓躍武, 蔡紹洪, 張玉強. 低維量子系統(tǒng)輸運特性解析[J]. 貴州教育學院學報(自然科學),2007, 18(4): 19-22. HAN Yuewu, CAI Shaohong, ZHANG Yuqiang. Analysis of the characteristic of transport in the low dimensional system[J]. Journal of Guizhou Education Institute(Natural Science), 2007,18(4): 19-22.

[2] 白志明,馬強.多散射雜質(zhì)對二維電子系統(tǒng)輸運特性的影響[J].河北科技大學學報,2011,32(1):1-7. BAI Zhiming, MA Qiang. Influence of multi-scattering impurities on transport properties of two-dimensional electron systems[J]. Journal of Hebei University of Science and Technology， 2011,32(1):1-7.

[3] 吳義彬. 實際氣體的玻爾茲曼因子方程[J]. 江西科學，2011,29(1):11-22. WU Yibin. Boltzmann factor equation of the real gas[J]. Jiangxi Science， 2011,29(1):11-22.

[4] HOFSTADTER D R, Energy levels and wave functions of Bloch electrons in rational and irrational magnetic fields[J]. Physical Review B,1976,14(6):2239-2249.

[5] 陳超. 格子玻爾茲曼方法研究激發(fā)介質(zhì)中的非線性波[D].桂林：廣西師范大學,2010. CHEN Chao. Lattice Boltzmann Method for Nonlinear Waves in Excitable Media[D]. Guilin:Guangxi Normal University, 2010.

[6] LEI X L, HORING N J, CUI H L, et al. One-dimensional confinement effects on miniband transport in a semiconductor superlattice[J]. Physical Review B,1993,48(8):5366-5373.

[7] CHANG M C, NIU Q. Erratum: Electron band structure in a two-dimensional periodic magnetic field[J]. Physical Review B,1994,50(15):10843-10850.

[8] XIE Hang, SHENG Ping. Fluctuation-induced tunneling conduction through nanoconstrictions[J]. Physical Review B,2009,79(16):5419-5428.

[9] DENG Wenji, LIU Youyan, HUANG Xiuqing. On the localization of electronic states in one-dimensional quasilattices[J]. Acta Physica Sinica, 1992, 1(2):113-122.

[10]URYU S, ANDO T. Electronic states in antidot lattices: Scattering-matrix formalism[J]. Physical Review B, 1996, 53(20): 13613-13623.

[11]KOLASINSKI K, SZAFRAN B, HAKENS B. Multitip scanning gate microscopy for ballistic transport studies in systems with a two-dimensional electron gas[J]. Physical Review B， 2015,91(20):5314-5322.

[12]謝月娥, 顏曉紅, 陳元平. 量子點超晶格中的電子輸運[J]. 湘潭大學自然科學學報, 2005, 27(2): 84-88. XIE Yuee, YAN Xiaohong, CHEN Yuanping. Electronic transport in a quantum-dot superlattice[J]. Natural Science Journal of Xiangtan University， 2005, 27(2): 84-88.

[13]ANDO T. Edge states in quantum wires in high magnetic fields[J]. Physical Review B,1990, 42(9): 5626-5634.

[14]XIA Jianbai. Quantum wave-guide theory for microscopic structures[J]. Physical Review B, 1992,45(7):3593-3599.

[15]XIA Jianbai, SHENG Weidong. On the soft wall guiding potentials in realistic quantum waveguides[J].Journal of Applied physics, 1996, 79(10):7780-7784.

[16]夏建白.現(xiàn)代半導(dǎo)體物理[M].北京：北京大學出版社，2000.

[17]DO E H, YEOM H W. Electron quantization in broken atomic wires[J]. Physical Review Letters, 2015, 115(26): 6803-6807.

[18]TOBBEN D, WHARAM D A, ABSTREITER G, et al. Transport properties of a Si/SiGe quantum point contact in the presence of impurities[J]. Physical Review B, 1995, 52(7): 4704-4707.

[19]NAPPI C, ROMEO F, SARNELLI E, et al. Quantum waveguide theory of the Josephson effect in multiband superconductors[J]. Physical Review B,2015,92(22):4503-4513.

[20]OSTAHIE B, NITA M, ALDEA A. Electrical manipulation of edge states in graphene and the effect on quantum Hall transport[J]. Physical Review B,2014,91(15): 1139-1150.

[21]韓寶忠，馬鳳蓮，郭文敏,等.磁場處理對LDPE及其碳納米管復(fù)合材料電導(dǎo)特性的影響[J].新型炭材料， 2013,28(1):20-25. HAN Baozhong, MA Fenglian, GUO Wenmin,et al. Effect of magnetic field treatment on the electrical conductivity of low-density polyethylene and its composites with CNTs[J].New Carbon Materials, 2013,28(1):20-25.

Influence of disorder and magnetic field on conductance of“sandwich” type two dimensional system

LIU Long, BAI Zhiming

(School of Science, Hebei University of Science and Technology, Shijiazhuang, Hebei 050018, China)

In order to discuss the transport phenomena and the physical properties of the doping of the disorder system under magnetic field, the electron transport in a two-dimensional system is studied by using Green function and scattering matrix theory. Base on the two-dimensional lattice model, the phenomenon of quantized conductance of the "sandwich" type electronic system is analyzed. The contact between the lead and the scatterer reduce the system's conductance, and whittle down the quantum conductance stair-stepping phenomenon; when an external magnetic field acts on to the system, the conductance presents a periodicity oscillation with the magnetic field. The intensity of this oscillation is related to the energy of the electron;with the increase of the impurity concentration, the conductance decreases.In some special doping concentration, the conductance of the system can reach the ideal step value corresponding to some special electron energy. The result could provide reference for further study of the conductance of the "sandwich" type two dimensional system.

electromagnetic field theory; conductance quantization; lattice model; disorder doping; magnetic field; Green function

1008-1542(2017)02-0151-07

10.7535/hbkd.2017yx02008

2016-10-08；

2017-02-10；責任編輯：張 軍

劉 龍(1990—)，男，河北石家莊人，碩士研究生，主要從事量子輸運方面的研究。

白志明教授。E-mail:baizhiming@hebust.edu.cn

O469

A

劉 龍，白志明.無序雜質(zhì)、磁場對“三明治”式二維系統(tǒng)電導(dǎo)的影響[J].河北科技大學學報,2017,38(2):151-157.

LIU Long , BAI Zhiming.Influence of disorder and magnetic field on conductance of “sandwich” type two dimensional system[J].Journal of Hebei University of Science and Technology,2017,38(2):151-157.