一類交叉耦合拋物型方程組解的漸近性態(tài)

薛應(yīng)珍

(西安外事學(xué)院商學(xué)院，陜西西安 710077)

一類交叉耦合拋物型方程組解的漸近性態(tài)

薛應(yīng)珍

(西安外事學(xué)院商學(xué)院，陜西西安 710077)

為了更好地描述3種混合物質(zhì)燃燒的熱傳導(dǎo)過程，即3種化學(xué)反應(yīng)中反應(yīng)物的反應(yīng)情況，研究了一類具有3個(gè)變量交叉耦合且?guī)в蟹蔷植吭醇胺蔷植窟吔缌鲯佄镄头匠探M解的整體存在和有限時(shí)刻爆破問題,打破常用的第一特征值的構(gòu)造上下解的方法，采用常微分方程方法構(gòu)造了該方程組的上下解，引用比較定理，證明得到了由冪函數(shù)局部源和指數(shù)函數(shù)非局部源交叉耦合的退化拋物型方程組解的整體存在及解在有限時(shí)刻爆破的充分條件，為熱傳導(dǎo)和化學(xué)反應(yīng)問題提供了理論支持。

拋物型偏微分方程；比較原理；整體存在；爆破；熱傳導(dǎo)

針對(duì)交叉耦合拋物方程組解的漸近性態(tài)問題，文獻(xiàn)[1]研究了如下具有3個(gè)變量交叉耦合的局部源和非局部邊界拋物型方程組解的漸近性態(tài)，得到了解整體存在及有限時(shí)刻爆破的充分條件。

u(x,0)=u0(x),v(x,0)=v0(x),x∈Ω。

文獻(xiàn)[2]研究了具有2個(gè)冪函數(shù)作為局部源耦合拋物型方程組解的性質(zhì)，得到了方程組解局部存在，整體存在和全局爆破的充分條件。文獻(xiàn)[3]將文獻(xiàn)[2]的結(jié)論推廣到了3個(gè)變量的情形。文獻(xiàn)[4—6]研究了具有冪函數(shù)耦合非局部源和邊界流拋物型方程組解的整體存在及有限時(shí)刻爆破的充分條件。文獻(xiàn)[7]研究了如下具有冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)交叉耦合的非局部源擬線性拋物型方程組的一致爆破模式，得到了解在有限時(shí)刻爆破的充分條件及同時(shí)爆破的一個(gè)必要條件。

u(x,0)=u0(x),v(x,0)=v0(x),x∈Ω。

對(duì)具有非局部吸收源等交叉耦合拋物型方程組解的漸近性態(tài)研究，參見文獻(xiàn)[8—19]。

基于以上工作，本文研究了如下由冪函數(shù)局部源和指數(shù)函數(shù)非局部源交叉耦合，且具有3個(gè)變量交叉耦合退化拋物型方程組解的整體存在及解在有限時(shí)刻爆破的充分條件。

(1)

具有邊界流：

(2)

及初值：

u(x,0)=u0(x),v(x,0)=v0(x),w(x,0)=w0(x),x∈Ω，

(3)

1 基本理論

首先給出2種情況下上、下解的定義。

(4)

具有如下邊界流：

(5)

及初值：

(6)

定義2 若定義1中式(4)變?yōu)?/p>

(7)

可得m,n,h>1,αi>0,βi<0(i=1,2,3),情形下，方程組(1)-方程組(3)的上解，若改變不等號(hào)方向，可定義其下解。

由文獻(xiàn)[20],有如下比較引理。

(8)

2 解的整體存在

討論方程組(1)-方程組(3)解的整體存在問題時(shí)，設(shè)αi>0，βi<0(i=1,2,3),引用定義2來證明方程組(1)-方程組(3)解整體存在的充分條件。

定理1 若mnh>α1α2α3，當(dāng)初值u0(x),v0(x),w0(x)充分小時(shí)，方程組(1)-方程組(3)的解整體存在。

證明 設(shè)φ(x)滿足：

(9)

聯(lián)立式(7)-式(9)，得到：

類似地有：

在邊界上：

類似地有：

在初值上:

綜上，只要證明存在a,b,c，使得：

(10)

(11)

成立，由引理1知，方程組(1)—方程組(3)的解整體存在。

(12)

由定理1條件mnh>α1α2α3可知，當(dāng)a充分大時(shí)式(12)成立。另當(dāng)a,b,c充分大，存在小初值u0(x),v0(x),w0(x)，使得式(11)成立,定理1證畢。

3 解的有限時(shí)刻爆破

討論解的有限時(shí)刻問題時(shí)，設(shè)αi,βi>0，i=1,2,3，引用定義1來證明方程組(1)—方程組(3)解有限時(shí)刻爆破的充分條件。首先引入以下引理。

引理3 設(shè)θ>λ>1,k,l>0，h(t)是問題

(13)

的正解，則當(dāng)h0充分大時(shí)，h(t)在有限時(shí)刻爆破。

引理4 設(shè)λ2>λ1>1,θ2>θ1>1，則存在如引理3的h(t)是滿足：

引理3及引理4證明見文獻(xiàn)[5]。

定理2 如果mnh<α1α2α3，則當(dāng)初值u0(x),v0(x),w0(x)充分大時(shí)，方程組(1)—方程組(3)的解在有限時(shí)刻爆破。

證明 設(shè)φ(x)是滿足方程：

(14)

的解，則存在C>0,使得0≤φ(x)≤C。令

其中，l1，l2,l3>1,h(t)待定，由式(13)及式(14)可知，h(t)φ(x)>1，顯然，hli(t)φli(x)>1，i=1,2,3，則對(duì)于任意正實(shí)數(shù)η，利用拉格朗日中值定理證明可知，

eη hli(t)φli(x)>ηehli(t)φli(x)>ηelnli[1+h(t)φ(x)]。

記k=max{m(l1m-1)Cl1(m-1)-2,n(l2n-1)Cl2(n-1)-2,h(l3h-1)Cl3(h-1)-2},

則

l1hl1-1(t)φl1(x)h′(t)-l1m(l1m-1)hl1m(t)φl1m-2(x)Δφ(x)-hl2α1(t)φl2α1(x)∫Ωeβ1hl3(t)φl3(t)dx≤

l1hl1-1(t)φl1(x)h′(t)+l1m(l1m-1)hl1m(t)φl1m-2(x)-hl2α1(t)φl2α1(x)∫Ωeβ1hl3(t)φl3(t)dx=

l1hl1-1(t)φl1(x)[h′(t)+khl1(m-1)+1(t)-lhl2α1+l3-l1+1(t)]。

同理，

綜上由引理3的條件可知，只要存在l1,l2,l3使得：

(15)

成立，則由引理4知，存在滿足引理3的h(t)使得：

h′(t)≤-khl1(m-1)+1(t)+lhl2α1+l3-l1+1(t),

h′(t)≤-khl2(n-1)+1(t)+lhl3α2+l1-l2+1(t),

h′(t)≤-khl3(h-1)+1(t)+lhl1α3+l2-l3+1(t)，

在邊界上：

由式(14)知，φ(x)=0，x∈?Ω,有：

在初值上:

/References:

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Asymptotic behavior for cross coupled parabolic equations

XUE Yingzhen

(Business School, Xi’an International University, Xi’an, Shaanxi 710077, China)

In order to better describe the heat transfer process of three kinds of mixed substances, namely the reaction of the reactants in the three chemical reactions, a class of three variable cross coupling with non parabolic equations of the whole existence of local source and non local boundary flow and the finite time blow up problem with breaking method for the solution of the first commonly used feature value structure are studied. The structure of the equations of the upper and lower solutions by using the method of ordinary differential equation reference is broken, with comparison theorem, the proof shows that obtained by local source power function and exponential function of parabolic equations is broken, with the sufficient conditions for global existence of clegerate purubolic equations solutions cross coupled by local source power function and non local sources exponential function are proved, as soon as the solution of blowing up in finite time degradation of non local sources of cross coupling, providing better support for the theory of heat transfer and chemical reaction problem.

the parabolic partial differential equations; comparison principle; global existence; blow-up question； conduction of heat

1008-1542(2017)02-0137-06

10.7535/hbkd.2017yx02006

2016-11-18；

2016-12-27；責(zé)任編輯：張 軍

陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計(jì)劃項(xiàng)目(2016JM1036)；陜西省教育廳科學(xué)研究計(jì)劃項(xiàng)目(15JK2134)；西安外事學(xué)院高等教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目(2015B04)

薛應(yīng)珍(1980—)，男，甘肅慶陽人，副教授，碩士，主要從事偏微分方程理論及應(yīng)用方面的研究。

E-mail：xueyingzhen@126.com

O175.26 MSC(2010)主題分類：35K46

A

薛應(yīng)珍.一類交叉耦合拋物型方程組解的漸近性態(tài)[J].河北科技大學(xué)學(xué)報(bào),2017,38(2):137-142.

XUE Yingzhen.Asymptotic behavior for cross coupled parabolic equations[J].Journal of Hebei University of Science and Technology,2017,38(2):137-142.