數(shù)形結(jié)合在導(dǎo)數(shù)與函數(shù)中的應(yīng)用

周玲玲

【摘要】 “數(shù)與形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微?！痹谶@首詩(shī)中華羅庚先生指出了數(shù)與形相互之間的關(guān)系，揭示了數(shù)形結(jié)合思想方法的本質(zhì)和重要性。數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中七個(gè)常用基本思想方法之一。

【關(guān)鍵詞】 數(shù)形結(jié)合 導(dǎo)數(shù) 函數(shù)

【中圖分類號(hào)】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 1992-7711（2017）03-066-01

把圖象作為工具、載體，不僅可以直觀，而且易于尋找解題的途徑和突破口，以此尋求解題思路或制定解題方案.從近年高考課標(biāo)卷來(lái)看，對(duì)數(shù)形結(jié)合等思想方法的考查，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次的抽象和概括能力的考查，是對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)技能的考查，是課標(biāo)課程高考明確的一個(gè)命題方向。本文從以下幾個(gè)方面結(jié)合相關(guān)高考試題談?wù)剶?shù)形結(jié)合在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用。

應(yīng)用1：由恒成立問題求參數(shù)取值范圍問題

例1（2013課標(biāo)全國(guó)Ⅰ，理11）已知函數(shù)f（x）=-x2+2x，x≤0ln（x+1），x>0.若|f（x）|≥ax，則a的取值范圍是（ ）.

A.（-∞，0] B.（-∞，1] C.[-2，1]D.[-2，0]

解析：由y=|f（x）|的圖象知：

①當(dāng)x>0時(shí)，y=ax只有a≤0時(shí)，才能滿足|f（x）|≥ax，可排除B，C.

②當(dāng)x≤0時(shí)，y=|f（x）|=|-x2+2x|=x2-2x.

故由|f（x）|≥ax得x2-2x≥ax.

當(dāng)x=0時(shí)，不等式為0≥0成立.

當(dāng)x<0時(shí)，不等式等價(jià)于x-2≤a.

∵x-2<-2，∴a≥-2.

綜上可知：a∈[-2，0].

點(diǎn)評(píng)：本題通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法.數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合。

應(yīng)用2：確定方程根的個(gè)數(shù)或圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x3-x2-x+a.

（Ⅰ）求f（x）的極值.

（Ⅱ）當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，曲線軸僅有一個(gè)交點(diǎn).

【升華】利用導(dǎo)數(shù)可以畫出函數(shù)圖象的大體形狀，無(wú)論圖象向內(nèi)彎曲、向外彎曲還是直線，都不影響函數(shù)的單調(diào)性和極值或最值的顯示.利用函數(shù)圖象我們可以解決方程解的個(gè)數(shù)問題、圖象的交點(diǎn)問題。

應(yīng)用3證明不等式

數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想：包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，《考綱》指出“數(shù)學(xué)科的命題，在考查基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，注重對(duì)數(shù)學(xué)思想思想方法的考查，注重對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查”，數(shù)形結(jié)合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，可以有效提升思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)技能。從目前高考“重視思想方法，注重通法，淡化技巧”的命題原則來(lái)看，我們?cè)诮虒W(xué)上要更加重視學(xué)生在數(shù)形結(jié)合的思想方法上的訓(xùn)練。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1]李金興.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)專題.中學(xué)教研.2017（2）33-36.

[2]唐閃閃.淺析數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用.新課程教學(xué).2012.