對(duì)課本中“思考與探索”的再思考、再探索

江蘇省漣水中等專業(yè)學(xué)校(223400) 陳 永 ●

對(duì)課本中“思考與探索”的再思考、再探索

江蘇省漣水中等專業(yè)學(xué)校(223400) 陳 永 ●

一、問題

將圖1中面積為8×8=64的正方形裁剪成圖中標(biāo)出的四塊幾何圖形，然后重新“拼接”成邊長(zhǎng)為5和13的“長(zhǎng)方形”(如圖2)它的面積為13×5=65．我們知道:圖形面積是可以分割的，經(jīng)過移動(dòng)也是不變的．因此，上述正方形的面積，應(yīng)該等于把這個(gè)正方形分割后拼成的“長(zhǎng)方形”的面積，這就出現(xiàn)了“64=65”的結(jié)論!這個(gè)結(jié)論正確嗎?當(dāng)然不可能．你能用學(xué)過的知識(shí)解決這個(gè)問題嗎?

背景:本題源自義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教科書(江蘇科技出版社)八年級(jí)下冊(cè)第十一章圖形與證明(一)所給出的“思考與探索”題．直覺和實(shí)際的強(qiáng)烈反差，激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的探究欲和學(xué)習(xí)興趣，通過觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、論證，引領(lǐng)學(xué)生體驗(yàn)邏輯推理證明的必要性．

二、解法探索

分析 在上述問題中，把一個(gè)正方形剪成幾塊后，再拼成一個(gè)長(zhǎng)方形時(shí)，面積增加了1，這是為什么呢?原因是這樣的:在圖2中4塊圖形沒有填滿整個(gè)長(zhǎng)方形，中間還留有一條狹縫，這條狹縫的面積正好是1，它與整個(gè)長(zhǎng)方形的面積比的比值很小，拼時(shí)不易察覺(在圖3中，我們故意把空隙部分畫大了)．因此我們才能錯(cuò)誤地認(rèn)為面積增加了1．

怎樣知道圖3中的長(zhǎng)方形中間留著空隙呢?其實(shí)只要證明A、G、C三點(diǎn)不在同一直線上即可．

方法一:利用勾股定理的知識(shí)解決

方法二:利用相似三角形知識(shí)解決

方法三:利用三角函數(shù)的知識(shí)解決

方法四:利用坐標(biāo)法解決

建立如圖4的平面直角坐標(biāo)系，則A(0，5)，G(8，2)，C(13，0)．

設(shè)AC的方程為:y=kx+b，

把A(0，5)，C(13，0)代入得:

∴A、G、C三點(diǎn)不在同一直線上．

評(píng)價(jià):(1)本題立意新穎，取材貼近學(xué)生實(shí)際，能立刻引起學(xué)生的好奇心，并激起學(xué)生探索的欲望，使學(xué)生積極主動(dòng)地投入到問題的解決中去．

(2)通過探求多種解法，可以使學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，基本技能得到訓(xùn)練，能力得到增強(qiáng)，智力得到開發(fā)．在尋求多種解法時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生分析，防止亂碰，使問題的解決更有條理．

(3)義務(wù)教育的一個(gè)重要任務(wù)，是讓學(xué)生有后續(xù)教育的基礎(chǔ)．因此本題從長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展的角度思考也是很有價(jià)值的，即讓學(xué)生初步具有解析法的意識(shí)．

3．鏈接中考

如圖5，將正方形沿圖中虛線(其中x＜y)剪成①②③④四塊圖形，用這四塊圖形恰能拼成一個(gè)矩形(非正方形)．

(1)畫出拼成的矩形的簡(jiǎn)圖;

分析 本題的背景是前面的課本中的課題學(xué)習(xí)題，考查相似三角形的判定、相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用;考查學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)以及三點(diǎn)共線的本質(zhì)屬性的理解．

典型錯(cuò)誤:(1)拼圖錯(cuò)誤．比較典型的錯(cuò)誤有以下幾種:

圖6－1、6－2、6－3必須滿足x+y=y，由于x、y均不為0，顯然不對(duì);圖6－4中的三角形較大直角邊的長(zhǎng)為x +y，從而出現(xiàn)直角邊與斜邊相等，顯然也不對(duì)．

(2)不能把握拼圖變換過程中“面積不變”這一特點(diǎn)，列不出含有x、y的等式．

解答:(1)如圖7

說明:其它正確拼法可相應(yīng)賦分．

(2)解法一:由拼圖前后的面積相等得:［(x+y)+y］y =(x+y)2．

四、思考

(1)選擇一個(gè)好的課題是成功進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)探究性教學(xué)的關(guān)鍵，好的課題應(yīng)是學(xué)生感興趣，能引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，不是難題、怪題和偏題，而是在教師的引導(dǎo)下能夠探索的問題，并且要能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值．

(2)我們常常困惑于難以找到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)探究性學(xué)習(xí)的素材，其實(shí)課本就是我們向?qū)W生展開數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)探究性學(xué)習(xí)的不竭源泉．在課堂教學(xué)中，我們以課本例習(xí)題為生長(zhǎng)點(diǎn)，引領(lǐng)學(xué)生縱深思考，主動(dòng)參與，對(duì)拓展學(xué)生思維水平;培養(yǎng)學(xué)生自主探索、自主學(xué)習(xí)能力將起到不可估量的作用．

(3)觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、論證是提高教學(xué)有效性的一種重要模式，它符合人們認(rèn)識(shí)問題、解決問題的一般規(guī)律．在課標(biāo)教學(xué)中，采取直覺加論證的模式，將合情推理與演繹推理相結(jié)合，有利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力．

(4)測(cè)量、觀察、剪拼等探索，能幫助我們發(fā)現(xiàn)一些結(jié)論，但是不能替代演繹證明．結(jié)論是否正確還需通過演繹證明．

(5)隨著素質(zhì)教育的不斷深化，為進(jìn)一步體現(xiàn)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的理念，中考命題的趨勢(shì)將是“源自教材，但高于教材，題在書外，但根在書里”．因而在課堂解題教學(xué)中，需要時(shí)刻注意立足教材，回望教材，從教材中提煉數(shù)學(xué)思想方法，從而有效地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率．．

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