四容水箱實驗裝置數(shù)學(xué)模型的特點分析

何豫溪， 冀學(xué)青， 朱兆霞， 鄒 斌

(1. 上海大學(xué) 機電工程與自動化學(xué)院， 上海 200072； 2. 上海博杰科技有限公司， 上海 201399)

四容水箱實驗裝置數(shù)學(xué)模型的特點分析

何豫溪1， 冀學(xué)青1， 朱兆霞2， 鄒 斌1

(1. 上海大學(xué) 機電工程與自動化學(xué)院， 上海 200072； 2. 上海博杰科技有限公司， 上海 201399)

為研究一個高階、非線性且其零點可在S的左右平面移動的四容水箱系統(tǒng)以及為該系統(tǒng)的控制實驗方案的設(shè)計提供基礎(chǔ)，通過建立不同閥門關(guān)斷/開啟的水箱系統(tǒng)的狀態(tài)方程、傳遞函數(shù)矩陣等數(shù)學(xué)模型，討論了模型的結(jié)構(gòu)特征；通過研究閥門開度變化對系統(tǒng)零極點位置的影響，揭示了四容水箱系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型特點。結(jié)果表明，調(diào)整水泵的開斷及閥門開度可方便地構(gòu)成MIMO和SISO系統(tǒng)，泰勒級數(shù)展開的初始條件不同模型的特點不同，系統(tǒng)零點在S左右平面上分布取決于水泵閥門開度γ1+γ2，改變閥門開度，特別是互聯(lián)閥門的開度可以改變零極點位置，進而影響控制方案的設(shè)計。

四容水箱控制； 數(shù)學(xué)模型； 零極點位置； 泰勒級數(shù)展開

0 引 言

水箱液位控制系統(tǒng)因其具有工業(yè)環(huán)境中時常出現(xiàn)的強耦合性、非最小相位以及非線性等特點，且實現(xiàn)相對簡單經(jīng)濟，一直以來是較為理想的實驗設(shè)備[1-4]。

水箱液位控制系統(tǒng)的對象經(jīng)歷了兩水箱、三水箱和四水箱系統(tǒng)的演變。Johansson[5]提出了一種四水箱液位控制系統(tǒng)，該系統(tǒng)最大的特點是其零點可通過調(diào)節(jié)水泵閥門開度而在S左右平面移動，使系統(tǒng)表現(xiàn)出最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的特點。文獻[6]中在底層2個水箱之間增加了一條水管連接，使得四水箱液位系統(tǒng)具備了更加豐富的特征。

四容水箱實驗對象提出以后立即引起了學(xué)術(shù)界和大學(xué)實驗教學(xué)方面的廣泛注意[7]以及相關(guān)實驗裝置的研究。李志軍等[8]介紹了其研制的四水箱控制系統(tǒng)方案；劉洋[9]則介紹了四水箱控制的數(shù)學(xué)模型及其解耦控制；王資法等介紹了其基于四水箱系統(tǒng)完成的控制方案的設(shè)計[10]；陳培穎等[11]完善了逆解耦器的設(shè)計策略并將其應(yīng)用于水箱模型。Johansson[12]設(shè)計了分散PI控制器進行控制， Garrido等[13]采用IDC-IMC對四容水箱模型進行了仿真研究。

四容水箱控制系統(tǒng)隨著其運行參數(shù)的改變具有豐富的特點，表現(xiàn)在數(shù)學(xué)模型上則是其數(shù)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)會隨相關(guān)設(shè)置的改變而改變。系統(tǒng)認(rèn)識四水箱系統(tǒng)的這些特點對基于該裝置的實驗開發(fā)具有重要意義，本文將全面系統(tǒng)地研究四水箱控制系統(tǒng)的特征。

1 四容水箱系統(tǒng)的物理模型

四容水箱互聯(lián)系統(tǒng)物理模型如圖1(a)所示，左右兩邊的水泵1和2把水從蓄水池送到4個水箱，水泵1供給水箱1的進水孔閥門開度為γ1，水泵2供給水箱2的閥門開度為γ2。在高位的水箱3的出水孔通過閥門R3將水排到低位的水箱1，水箱4通過R4將水排到水箱2，水箱1和2通過閥門R1和R2將水排至底部大的蓄水池中，水箱1和2之間的連通孔通過閥門Rx進行聯(lián)通。

(a)四容水箱物理模型

(b)閥門參數(shù)調(diào)整后的物理模型

四容水箱的被控量是水箱1和2的液位，控制量是水泵1和2的輸入電壓u1和u2。一般而言，四容水箱系統(tǒng)是一個4階的包含零點的系統(tǒng)。

通過調(diào)整水泵閥門1和2對上水流量比例的分配以及關(guān)斷下水閥門和互通閥門的方式改變水的流通路徑，還可以形成不同的特點的受控模型。例如，上水水泵2停機，上水閥門1全部將水流送到水箱4，也即γ1=0，且聯(lián)通閥門Rx開通，此時水的流通路徑如圖1(b)所示，若僅研究水箱2液位的變化，則此時的系統(tǒng)為一個包含一個零點的單入單出的3階系統(tǒng)。

此外，通過調(diào)整水泵閥門的開度可改變原四容水箱互聯(lián)系統(tǒng)零點位置在S左右平面的分布，從而改變受控對象的性質(zhì)使其具有不同的最小相位和非最小相位的特征。另外，系統(tǒng)隨時間變化而有不同的響應(yīng)，從而也可獲得時變系統(tǒng)的特性。

2 四容水箱系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

2.1 四容水箱系統(tǒng)的非線性數(shù)學(xué)模型

根據(jù)物料守恒原則及伯努利法則，可寫出系統(tǒng)的微分方程：

(1.a)

(1.b)

(1.c)

(1.d)

式中：A指水箱的橫截面積(cm2)；ai指水箱i出水孔的橫截面積(cm2)；ax指水箱1和2之間連通管道的橫截面積(cm2)；hi(i=1,2,3,4)指水箱i的液位高度(cm)；uj(j=1,2)指水泵j輸入電壓(V)；βj(j=1,2,3,4)指水箱i的出水孔Ri的閥門開合比例；βx指水箱1和2連接管道的閥門開合比例；γj(j=1,2)指上水閥門j流入下水箱的比例；kpj(j=1,2)指水泵j的增益(cm3/(V·s))；g指重力加速度(981 cm/s2)。

式(1)給出了水箱液位hi(i=1,2,3,4)與水泵輸入電壓uj(j=1,2)之間的非線性關(guān)系。這種關(guān)系與水泵的增益、水箱的截面積和水箱出水孔及連通孔的橫截面積有關(guān)，這類參數(shù)在實驗裝置制造完成后便固定了，為常數(shù)。影響輸入輸出之間關(guān)系的還有上水閥門進入水箱的比例γj(j=1,2)、各個水箱下水閥門的開度，βj(j=1,2,3,4)和水箱1和2連接管道的閥門開合比例βx。這類參數(shù)是可以在運行中改變的，不同的運行參數(shù)對輸入輸出關(guān)系的影響體現(xiàn)該設(shè)備的特點。

2.2 四容水箱系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的線性化

(2)

式中：xi(i=1,2,3,4)為線性化后的各水箱的液位；Ti(i=1,2,3,4)和Tx為時間常數(shù)，它們的表達(dá)式如下：

基于狀態(tài)方程，易于求得其傳遞函數(shù)矩陣[15]為

(3.a)

(3.b)

(3.c)

(3.d)

(3.e)

2.3 四容水箱系統(tǒng)SISO的數(shù)學(xué)模型

四容水箱系統(tǒng)可以通過關(guān)閉上水和下水閥門以及連通孔閥門而形成不同的流體傳輸通路,獲得不同的數(shù)學(xué)模型。當(dāng)將閥門關(guān)斷形成圖1(b)所示的水流路徑時，則形成了一個含零點的3階SISO系統(tǒng)。在圖1(b)的基礎(chǔ)上將連通孔閥門關(guān)斷，則形成了一個2階不含零點的系統(tǒng)。為節(jié)省篇幅，本文僅給出圖1(b)所示系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。此時系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣及其元素的表達(dá)式如下式所示：

(4.a)

(4.b)

(4.c)

R=T1T2Txs2+2T1T2s+T1Txs+T2Txs+T1+T2+Tx

3 四容水箱系統(tǒng)的參數(shù)影響分析

基于MIMO和SISO系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，不同運行參數(shù)可獲得不同數(shù)學(xué)模型，形成不同特點的受控對象。

3.1 初始液位高度的影響

(1) 液位初始位置的變化不會引起零極點的位置發(fā)生質(zhì)的變化，在零極點全是負(fù)數(shù)時，一直保持負(fù)數(shù)不變。

(4) 高位水箱初始液位高度對系統(tǒng)傳遞函數(shù)零極點的影響作用相對底層水箱要小。

圖2 hi對MIMO系統(tǒng)極點位置分布的影響 圖3 hi對MIMO系統(tǒng)零點位置分布的影響

3.2 出水孔及連通孔閥門開度的影響

四容水箱的出水孔的閥門開度βj通過影響對應(yīng)水箱的時間常數(shù)Ti，連通孔的閥門開度βx通過影響Tx，進而影響水箱系統(tǒng)的零極點位置在S平面上的分布。βj對極點位置分布影響的作用曲線如圖4所示，對零點影響的曲線如圖5所示。

圖4 βj對MIMO系統(tǒng)極點位置分布的影響 圖5 βj對MIMO系統(tǒng)零點位置分布的影響

(1) 閥門開度的變化不會引起零極點的位置發(fā)生符號上的變化。

(3) 隨著出水孔或連通孔的閥門開度漸大，單一閥門開度影響下的傳遞函數(shù)的極點或是保持不變或是向偏離原點的方向移動，這為后續(xù)控制器的設(shè)計提供了方便。

(4) 互聯(lián)閥門開度對系統(tǒng)零極點位置的影響是所有閥門開度中影響最為顯著的一個。

3.3 水泵閥門的開度的影響

四容水箱的水泵閥門開度γ1、γ2通過影響系統(tǒng)線性狀態(tài)空間表達(dá)式中的輸入矩陣B，進而影響系統(tǒng)的零極點位置在S平面上的分布。γ1、γ2對極點位置分布影響的作用曲線如圖6所示，對零點影響的曲線如圖7所示。

圖6 γ1、γ2對MIMO系統(tǒng)極點位置分布的影響

(1) 由圖6可見，si不隨γ1，γ2的變化而變化，故γ1、γ2不對系統(tǒng)極點的分布產(chǎn)生影響。

(2) 由圖7可見，γ1、γ2對系統(tǒng)零點的分布產(chǎn)生較為顯著的影響，在γ1和γ2逐漸變化過程中，系統(tǒng)不僅存在S左半平面的零點，同時也存在S右半平面的零點。當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)原點處的零點時，此時對應(yīng)γ1+γ2=1。

由圖8可見：在0<γ1+γ2<1時，系統(tǒng)既有S左半平面的零點，又有S右半平面的零點，此時的系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)；在1<γ1+γ2<2時，系統(tǒng)僅有S左半平面的零點，為最小相位系統(tǒng)；在γ1+γ2=1時，系統(tǒng)的零點中包含S平面的原點。因此通過該實驗裝置，可以通過調(diào)節(jié)γ1、γ2得到不同的系統(tǒng)特性，并且該特性能夠得到較為直觀的物理解釋。

圖8 γ1+γ2對零點位置分布的影響

3.4 SISO三階帶零點的參數(shù)影響分析

與上述分析類似，下面討論參數(shù)對SISO系統(tǒng)的影響。

(1) 初始液位高度的影響。初始液位高度對部分極點位置分布影響的作用曲線如圖9所示，對零點影響的曲線如圖10所示。

圖i對SISO系統(tǒng)極點位置分布的影響

圖對SISO系統(tǒng)零點位置分布的影響

② 水箱4的初始液位發(fā)生變化時，會影響s3，但不會對零點位置的分布造成影響。

(2) 出水孔及連通孔的閥門開度的影響。βj對極點位置分布影響的作用曲線如圖11所示，對零點影響的曲線如圖12所示。

圖11 βj對SISO系統(tǒng)極點位置分布的影響

圖12 βj對SISO系統(tǒng)零點位置分布的影響

① 當(dāng)水箱1和水箱2的出水孔閥門開度變化時，s1和s2隨之變化，而s1相對s2的變化速率緩慢，故在圖11中僅繪制出β1和β2變化對s2的影響。此外，β1通過影響T1而對z產(chǎn)生影響，而β2不影響系統(tǒng)零點的位置分布。

② 當(dāng)水箱4的出水孔閥門開度變化時，s2和s3隨之變化，而在圖11中僅繪制出β4對s3的影響曲線。因SISO系統(tǒng)零點的表達(dá)式中不含與β4相關(guān)的量，故β4不影響零點的位置分布。

③ 水箱1和2之間連通孔的閥門開度影響s1、s2和z，且對系統(tǒng)零極點位置的影響是所有閥門開度中影響最為顯著的一個。

通過上面的分析，知道運行參數(shù)的不同會對系統(tǒng)的零極點分布產(chǎn)生影響，而零極點分布又與控制系統(tǒng)的性能相關(guān)。圖13反映了運行參數(shù)βx對系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線的影響。

當(dāng)βx由0.3增大到0.7時，系統(tǒng)零極點與原點間的距離均有所增大，系統(tǒng)的穩(wěn)定性不變，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)值(穩(wěn)態(tài)時水箱2的液位)由2.84 cm降至2.55 cm，系統(tǒng)的時間由177 s升至189 s。

圖13 βx對系統(tǒng)階躍響應(yīng)的影響

4 結(jié) 論

四容水箱系統(tǒng)可以通過調(diào)節(jié)水箱初始液位高度和閥門開度的大小而形成具有不同結(jié)構(gòu)和參數(shù)受控的對象，為自控實驗提供了豐富的受控對象。具體表現(xiàn)為：

(1) 通過上水閥門開度的變化，系統(tǒng)極點的位置不變但零點隨之在S平面的左右側(cè)移動而具有最小相位和非最小相位的特征，因此可以方便地比較這兩種系統(tǒng)的特點。

(2) 改變四容水箱系統(tǒng)初始液位高度會改變系統(tǒng)的零極點，為控制系統(tǒng)非線性系統(tǒng)線性化提供了方便的實驗手段。其中，水箱1和2的初始液位較為接近時，其變化對零極點的影響較為顯著，水箱3和4則對最靠近原點的零極點影響顯著。利用該特點，可以設(shè)計出非線性系統(tǒng)線性化對模型的影響的實驗方案。

(3) 改變水箱系統(tǒng)下水閥門及互聯(lián)閥門的開度會改變系統(tǒng)的零極點。其中，互聯(lián)閥門的影響對系統(tǒng)零極點影響最為顯著。可以通過改變改閥門獲得不同參數(shù)的系統(tǒng)，并進而進行不同的控制器參數(shù)的整定。

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Analysis of the Mathematical Model of Quadruple-tank Experimental Apparatus

HEYuxi1，JIXueqing1，ZHUZhaoxia2，ZOUBin1

(1. School of Mechatronic Engineering and Automation, Shanghai University, Shanghai 200072, China; 2. Shanghai Brotek Co., Ltd., Shanghai 201399, China)

In order to analyze a high-order, nonlinear typical system in industrial process with a zero that can be located either in the left-half or right-half complex plane, a quadruple-tank system was selected an research objective. By different situations of valves, different state-space equations and transfer function matrices and other mathematical models could be obtained. The features of these models were discussed. The openness and close, and opening rates would lead to different positions of zeros and poles. The results showed that it was convenient to build MIMO or SISO systems by adjusting the pump state and valve ratio. The model features were different with different initial conditions in Taylor series expansion. The zero locations depended onγ1+γ2the opening ratio of valves. Changing the valve radios, especially the connection valve would affect the zeros and poles location and system characteristics, so were the control schemes.

quadruple-tank control; mathematical model; locations of poles and zeros; Taylor series expansion

2016-06-02

何豫溪(1994-)，女，河南周口人，碩士，主要研究方向為電氣工程。

Tel.:18817392910；E-mail:18817392910@126.com

鄒 斌(1965-)，男，湖北武漢人，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向為電力市場、定價和電源規(guī)劃。

Tel.:13122601880； E-mail:zoubin@shu.edu.cn

TP 23

A

1006-7167(2017)02-0044-06