一種斜齒輪嚙合剛度的簡(jiǎn)易求解方法

張 強(qiáng)，劉曉宇，汪玉蘭，何 鳴

（遵義師范學(xué)院工學(xué)院，貴州遵義563006）

一種斜齒輪嚙合剛度的簡(jiǎn)易求解方法

張 強(qiáng)，劉曉宇，汪玉蘭，何 鳴

（遵義師范學(xué)院工學(xué)院，貴州遵義563006）

通過(guò)對(duì)斜齒輪副嚙合過(guò)程進(jìn)行分析，得到其嚙合線總長(zhǎng)度的計(jì)算公式；并假定輪齒變形和受載均在接觸線長(zhǎng)度方向上呈均勻分布，由此推導(dǎo)出斜齒輪時(shí)變嚙合剛度的近似計(jì)算公式。最后通過(guò)實(shí)例計(jì)算，對(duì)比了該方法與參考文獻(xiàn)所給方法計(jì)算結(jié)果的差異，結(jié)果表明該方法計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單，求解結(jié)果較為精確。

斜齒輪；嚙合過(guò)程；時(shí)變嚙合剛度；接觸線

在對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，確定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)激勵(lì)往往是首要問(wèn)題[1]。根據(jù)來(lái)源不同，齒輪系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)激勵(lì)主要分為外部激勵(lì)和內(nèi)部激勵(lì)。外部激勵(lì)主要是指驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的主動(dòng)力矩和負(fù)載設(shè)備的阻力矩；內(nèi)部激勵(lì)主要是指在齒輪嚙合過(guò)程產(chǎn)生的一些動(dòng)態(tài)激勵(lì)，包括誤差激勵(lì)、嚙合沖擊激勵(lì)和剛度激勵(lì)。在這些激勵(lì)中，剛度激勵(lì)由于時(shí)變性和復(fù)雜性使其成為齒輪動(dòng)態(tài)激勵(lì)求解的一大難題，尤其是對(duì)于斜齒輪而言，其嚙合過(guò)程中的輪齒變形在空間中呈螺旋狀分布，且是非線性的，因此求解難度非常大。從目前來(lái)看，對(duì)于斜齒輪剛度激勵(lì)的求解通常都是基于輪齒彈性變形理論[1-3]，常用的方法有積分法[4]和有限元法[5]。利用這兩種方法可以獲得十分精確的數(shù)值解，但是過(guò)程相當(dāng)復(fù)雜，通常都需要高配置的計(jì)算機(jī)經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的計(jì)算后方可求得，因此大大增加了求解的經(jīng)濟(jì)成本和時(shí)間成本。針對(duì)現(xiàn)行方法需要進(jìn)行大量計(jì)算等問(wèn)題，本文提出了一種簡(jiǎn)單、高效的斜齒輪嚙合剛度近似解法，并通過(guò)與常規(guī)方法的求解結(jié)果進(jìn)行比較，論證了該方法的可行性。

1 斜齒輪副嚙合過(guò)程分析

斜齒輪副的嚙合過(guò)程如圖1所示。假設(shè)上面的齒輪為主動(dòng)輪，下面的齒輪為從動(dòng)輪,ro1、ro2分別為它們的基圓半徑，E1代表從動(dòng)輪前端面的齒廓（實(shí)線部分），E2代表從動(dòng)輪后端面的齒廓（虛線部分），兩者的齒形錯(cuò)位角記為1，假設(shè)某端面的齒闊由進(jìn)入嚙合到退出嚙合過(guò)程中所轉(zhuǎn)過(guò)的角度為2，N1、N2分別為理論嚙合線的起始點(diǎn)和終止點(diǎn)，B1、B2分別為實(shí)際嚙合線的起始點(diǎn)和終止點(diǎn)，n1為主動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速。

圖1 斜齒輪副嚙合過(guò)程

根據(jù)傳動(dòng)過(guò)程中的幾何關(guān)系可得：

式中，mn為斜齒輪的法向模數(shù)；z1為主動(dòng)輪的齒數(shù)；z2為從動(dòng)輪的齒數(shù)；at為端面的壓力角；an為法向的壓力角；為斜齒輪的螺旋角；B為齒寬。

為了更加直觀、方便地對(duì)其嚙合過(guò)程進(jìn)行分析，將其嚙合平面按基圓進(jìn)行展開(kāi)，如圖2所示。斜齒輪副的后端面首先在H點(diǎn)處進(jìn)入嚙合，隨著主動(dòng)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)，嚙合部位逐漸由一個(gè)點(diǎn)變成一條線，稱(chēng)為接觸線，而且當(dāng)斜齒輪副的前端面也處于嚙合狀態(tài)時(shí)，其接觸線達(dá)到最長(zhǎng)，記為lmax；隨著嚙合的進(jìn)行，后端面的齒廓在I點(diǎn)率先退出嚙合，直到前端面的齒廓在B2點(diǎn)退出嚙合時(shí)，兩個(gè)輪齒完全脫離嚙合。

圖2 斜齒輪副按基圓展開(kāi)

2 斜齒輪副的接觸線長(zhǎng)度計(jì)算

在圖2中，由斜齒輪副的傳動(dòng)原理可知：

其中，lHI為H點(diǎn)到I點(diǎn)的距離；a為斜齒輪副的端面重合度，Pb為斜齒輪副的基節(jié)，b為基圓的螺旋角。據(jù)此可知，一對(duì)斜齒輪副的接觸線長(zhǎng)度l1(t)在嚙合過(guò)程中先是逐漸變長(zhǎng)，然后保持不變，接著再逐漸變短，直至為零，如圖3所示。

圖3 單對(duì)斜齒輪副接觸線長(zhǎng)度變化曲線

假設(shè)接觸線由零變?yōu)樽铋L(zhǎng)所需的時(shí)間為t1，再由最長(zhǎng)逐漸變?yōu)榱闼璧臅r(shí)間為t2，則在圖3中t1代表橫坐標(biāo)從B1'點(diǎn)到B1點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間，t2代表橫坐標(biāo)從B1點(diǎn)到B2點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間。因?yàn)橹鲃?dòng)輪的轉(zhuǎn)速為n1，故而有：

由圖3可知，在一個(gè)嚙合周期內(nèi)單對(duì)斜齒輪副接觸線長(zhǎng)度的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

將式（1）、（2）、（9）帶入式（10）中即可求得單條接觸線長(zhǎng)度的完整表達(dá)式，它只與齒輪副的參數(shù)以及主動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速有關(guān)。通常斜齒輪副的重合度均大于2，這意味著任意時(shí)刻至少有2對(duì)齒同時(shí)參與嚙合。由于每對(duì)齒廓的接觸線在嚙合過(guò)程中都是一致變化的，因此其總的接觸線長(zhǎng)度可以由每對(duì)齒廓的接觸線進(jìn)行合成。假設(shè)一對(duì)輪齒的嚙合周期為T(mén)m，則有：

下面以一對(duì)斜齒輪副為例，假設(shè)其重合度為2.7573，因此在一個(gè)嚙合周期內(nèi)，參與嚙合的齒對(duì)數(shù)會(huì)存在雙齒對(duì)與三齒對(duì)的交替變化，其多齒對(duì)下的接觸線長(zhǎng)度變化如圖4所示。將圖4中多對(duì)輪齒的接觸線在同一時(shí)刻進(jìn)行合成，可以得到總的接觸線長(zhǎng)度變化情況，如圖5所示。由圖5可知，斜齒輪副的總接觸線長(zhǎng)度存在周期性變化，主要是由于嚙合齒對(duì)的交替變化所致，當(dāng)同時(shí)參與嚙合的齒對(duì)較多時(shí)，總的接觸線相對(duì)較長(zhǎng)，反之則較短。

圖4 多對(duì)輪齒的接觸線變化情況

圖5 斜齒輪副總接觸線長(zhǎng)度變化曲線

斜齒輪副總接觸線長(zhǎng)度的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

根據(jù)文獻(xiàn)[6]可知，齒輪副的嚙合剛度是指使一對(duì)或幾對(duì)同時(shí)嚙合的精確輪齒在1mm齒寬上產(chǎn)生1um撓度所需的嚙合線上的載荷。因此，嚙合剛度主要是指輪齒載荷與輪齒變形的比值關(guān)系。假如在輪齒嚙合的過(guò)程中，輪齒上所受到的載荷沿接觸線方向呈均勻分布，并且輪齒的變形沿接觸線方向也是呈均勻分布的，則兩者的比值（即嚙合剛度）就只與接觸線的長(zhǎng)度有關(guān)，并且呈正比關(guān)系，即當(dāng)接觸線越長(zhǎng)時(shí)，輪齒的嚙合剛度也越大，意味著輪齒發(fā)生單位變形所需要的力就越大，有關(guān)的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

式中，k(t)為時(shí)變嚙合剛度，與時(shí)間有關(guān)；l(t)為總的接觸線長(zhǎng)度，也具有時(shí)變特性；k0為比值系數(shù)。由此可知，嚙合剛度的時(shí)變特性主要是由接觸線的時(shí)變特性所致，而接觸線的時(shí)變特性主要是由嚙合齒對(duì)的交替變化所致，三者的時(shí)變周期完全一致，都為輪齒的嚙合周期T。將式（13）寫(xiě)成傅里葉級(jí)數(shù)的形式有：

式中，km為斜齒輪副的平均嚙合剛度，an、bn為傅里葉系數(shù)，其計(jì)算公式為：

實(shí)際計(jì)算時(shí)，可先計(jì)算出斜齒輪副總的接觸線長(zhǎng)度l(t)，并求出其均值l，然后再由國(guó)標(biāo) GB/ T3480-1997[6]查得斜齒輪副的平均嚙合剛度km，利用式（13）可由l和km求出比值系數(shù)k0，從而得到k(t)，最后再由式（14）、（15）便可得到時(shí)變剛度的近似數(shù)值解。

3 實(shí)例計(jì)算與誤差分析

以表1中所給的斜齒輪副為例，先根據(jù)齒輪副的參數(shù)查國(guó)標(biāo)可得其平均嚙合剛度km=13.3548N/ (um·mm)，再求出平均接觸線長(zhǎng)度l，可得其比值系數(shù)k0=0.3629，通過(guò)對(duì)k(t)進(jìn)行六階多項(xiàng)式擬合可得如圖6所示的結(jié)果。

表1 斜齒輪副參數(shù)表

圖6 斜齒輪副的時(shí)變剛度及其六階多項(xiàng)式擬合曲線

為了進(jìn)一步驗(yàn)證該方法的合理性，將本次結(jié)果與文獻(xiàn)[7]所給方法計(jì)算出的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖7所示。

圖7 兩種方法所得結(jié)果對(duì)比

在圖7中，虛線是利用參考文獻(xiàn)所給方法的計(jì)算結(jié)果，實(shí)線是本方法的計(jì)算結(jié)果。從圖7可以看出，兩條曲線的變化趨勢(shì)十分相似，經(jīng)計(jì)算最大相對(duì)誤差max=0.0386，均值相對(duì)誤差=0.0058，可見(jiàn)兩者的計(jì)算結(jié)果非常接近。究其原因，主要是本方法仍采用國(guó)標(biāo)中的計(jì)算公式來(lái)求解平均嚙合剛度，因此在計(jì)算結(jié)果中具有較高的均值逼近效果；其次，嚙合剛度的波動(dòng)本質(zhì)上是由于嚙合齒對(duì)的交替變化所致，這一因素同樣會(huì)引起接觸線總長(zhǎng)度的周期性變化，因此本方法利用接觸線長(zhǎng)度的變化來(lái)擬合時(shí)變剛度的變化，因此在變化趨勢(shì)上也可取得較好的逼近效果，故而利用這種簡(jiǎn)易方法可以較快地獲得時(shí)變嚙合剛度的數(shù)值解，且計(jì)算結(jié)果具有較高的參考價(jià)值。

4 結(jié)論

本文通過(guò)對(duì)斜齒輪副嚙合過(guò)程的分析，提出了通過(guò)計(jì)算嚙合線長(zhǎng)度來(lái)近似求解時(shí)變嚙合剛度的簡(jiǎn)易方法，即先求解嚙合線長(zhǎng)度的表達(dá)式，再通過(guò)平均嚙合剛度求出常值系數(shù)，最后再對(duì)理論的時(shí)變剛度曲線進(jìn)行六階多項(xiàng)式擬合即可得到所需的數(shù)值解。實(shí)例計(jì)算結(jié)果表明該方法簡(jiǎn)單易行，計(jì)算結(jié)果具有較高的參考價(jià)值。

[1]李潤(rùn)方,王建軍.齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,1997.

[2]王建軍,張永忠,魏任之.齒輪輪齒彈性變形的計(jì)算方法評(píng)述[J].機(jī)械科學(xué)與技術(shù),1996,15(6):863-870.

[3]王龍寶.齒輪剛度計(jì)算及其有限元分析[D].鎮(zhèn)江:江蘇大學(xué), 2007.

[4]卜忠紅,劉更,吳立言.斜齒輪嚙合剛度變化規(guī)律研究[J].航空動(dòng)力學(xué)報(bào),2010,25(4):957-962.

[5]常樂(lè)浩,劉更,鄭雅萍,等.一種基于有限元法和彈性接觸理論的齒輪嚙合剛度改進(jìn)算法[J].航空動(dòng)力學(xué)報(bào),2014,29(3): 683-688.

[6]GB/T3480-1997.中國(guó)機(jī)械工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)[S].

[7]常樂(lè)浩,劉更,鄭雅萍,等.一種基于有限元法和彈性接觸理論的齒輪嚙合剛度改進(jìn)算法[J].航空動(dòng)力學(xué)報(bào),2014,29(3): 683-688.

（責(zé)任編輯：朱 彬）

On the Simple Solution to of Helical Gear

ZHANG Qiang,LIU Xiao-yu,WANG Yu-lan,HE Ming
(Engineering School,Zunyi Normal College,Zunyi 563006,China)

The formula about the whole length of the meshing line is achieved after the analysis of the meshing course for gear pair.And if we suppose deformation and theloading assume even distribution in the direction ofcontactline,we can infertheapproximate formula for the meshing stiffness of helical gear,which is exemplified through some examples.After comparing the differences between the formula mentioned above and the one in the bibliography,we can find that the formula mentioned above is simpler and easier,and besides, the result from the formula is relatively accurate.

helical gear;meshing course;changing meshing stiffness;contact line

TH132

A

1009-3583（2017）-0118-04

2016-09-19

張 強(qiáng)，男，重慶人，遵義師范學(xué)院工學(xué)院講師，碩士。