摘 要:中職生數(shù)學基礎較差,在解題過程中,教師要引導他們靈活運用不同方法,培養(yǎng)學習興趣和數(shù)學思想。筆者在教學過程中,引導學生從掌握基本概念、區(qū)分概念不同點、挖掘題型中隱含條件、直接利用定義解題、化歸基本題型、用實驗驗證數(shù)學概念等方面嘗試做題技巧,并運用數(shù)學概念培養(yǎng)學生數(shù)學思想,解決實際問題。通過巧用數(shù)學概念解題的嘗試,收到良好效果。
關鍵詞:巧用 數(shù)學概念 解題
中圖分類號:G63 文獻標識碼:A 文章編號:1672-3791(2017)02(b)-0162-02
數(shù)學中的基本概念、基本運算是數(shù)學課的重要組成部分,它在加深學生對數(shù)學公式、公理、定理、原理的理解,培養(yǎng)邏輯推理能力,以及解題技巧的訓練方面都起著重要作用。通過加深對基本概念的理解,拓寬解題思路,探究解題方法,以達到提高學生分析問題、解決問題的能力之目的。筆者在引導學生巧用數(shù)學概念解題方面進行了有益的嘗試。
1 掌握基本概念,挖掘題型中隱含條件
解題時,我們應注重對基本概念的深刻領會,在一些題型中,所給條件看起來不夠,如果從題型所涉及的基本概念深刻理解,把握要領,就會找到解題的方法,使問題化難為易,迎刃而解。
例如:方程的解集為,求p 和q 的值。
在此題求解中,容易想到將代入方程,這樣就有式(1):,但仍解不出的值。如果我們通過對解集的分析可知,一元二次方程的解集是一個單元素集,又根據(jù)集合元素的無重復性,就隱含著方程有兩個相同的解,即式(2):,式(1)(2)聯(lián)絡方程組,便可求出的值。
又如:如果直線與直線關于對稱,求的值。
此題解法很多,如果從函數(shù)概念去分析可知,直線與直線關于對稱,即與互為反函數(shù),而的反函數(shù)為,與比較可得,。
2 以本為本,直接利用定義解題
軌跡方程的建立,是學生學習中的一個難點,方法很多,有些從曲線的自身定義去解題,會更簡單明了。
如求以點(-2,5)為圓心,并且過點(3,-7)的圓的方程。根據(jù)題意,圓的半徑應為圓心(-2,5)到圓上的點(3,-7)之間的距離,由兩點間的距離公式得知半徑,故所求圓的方程為。
再如“試求過定點與定圓相切的圓的圓心軌跡?!?/p>
此題利用其他方法去解比較困難,若注意橢圓定義,就較為簡單。設動點,動圓和定圓相切于(從動點),又知定圓以坐標,半徑為3,則,故點軌跡為一橢圓,且,橢圓方程也隨之解出。
3 追根索源,化歸基本題型
許多題目,可以通過對題型進行分析化歸成幾個基本題型的組合,利用基本要領,找到問題突破口。
如:表示何種曲線。
此題是非標準形,難以從整體上直接辨認,若對式子進行分析可以看出,表示點到定點的距離,表示點到直線的距離,從而,由此化為圓維曲線統(tǒng)一定義,可以判斷為雙曲線。
4 認真審題,區(qū)分概念不同點
中職學生數(shù)學基礎差,且做事粗糙馬虎,相近或相對的數(shù)學概念缺乏深入理解和區(qū)別,導致做題錯誤。有一次考試,一個學習成績中上等的學生,遇到一道求等差數(shù)列前n項和的考題,由于他審題不認真,或許等差數(shù)列與等比數(shù)列概念混淆,硬用等比數(shù)列公式做了題,做題過程很順利,結果也很簡捷,下了考場,同學之間對答案,他很自信,但聽到大多數(shù)同學都與他的答案不相同時,才感覺不大對勁兒,后來發(fā)現(xiàn)自己誤用“等比數(shù)列前n項和公式”求“等差數(shù)列前n項和”。
因此,必須教育學生在做題之前,認真審題,區(qū)分概念,加強對知識的理解。
5 分組實驗,鞏固數(shù)學概念
在教學過程中,筆者注重實踐能力的培養(yǎng),引入數(shù)學實驗,讓學生感受到數(shù)學的直觀,并建立數(shù)學模型。如在講“柱、錐及其簡單組合體”,特別是在講旋轉體圓柱、圓錐、球體體積時,筆者利用課余時間將學生分為3組做實驗,要求第一組做半徑為10 cm的半球,第二組做半徑為10 cm、高10 cm的圓錐,第三組做半徑為10 cm、高10 cm的圓柱。然后3組再合作實驗,將圓錐放入圓柱中(錐底向下),用半球裝滿沙子,然后將沙子倒入圓柱中,讓學生觀察,學生發(fā)現(xiàn)沙子剛好裝滿圓柱體剩余空間。從而學生得出如下結論:在“球體半徑與圓錐、圓柱半徑相等,且半徑與圓錐、圓柱的高也相等”條件下,半球的體積等于圓柱與圓錐體積之差的結論。設定上述旋轉體半徑和高均為R,V圓柱=πR3,V圓錐=,V球=,由上述公式不難得出:圓錐體的體積是圓柱體體積的1/3,球體體積是圓柱體體積的4/3。三者體積的數(shù)量關系通過學生的實驗也得到了驗證。
6 強化概念,確立數(shù)學思想
每次在學生做作業(yè)前,必須強調學生復習當天所學基本內容,用自己的語言有條理地表達新知識,包括概念、公理、定理、公式、知識的應用、題型、解題的方法技巧等,并以書面形式予以表達。這樣做,一來督促學生復習授課內容,強化對概念的理解;二來聽課時迫使他們認真聽講、主動做好隨堂筆記,提高課堂教學效果。
在掌握數(shù)學概念的基礎上,引導學生確立數(shù)學思想,運用數(shù)學思想解決實際問題。數(shù)學思想是在數(shù)學的發(fā)展史上形成和發(fā)展的,它是人類對數(shù)學及其研究對象、對數(shù)學知識(主要指概念、定理、法則和范例)以及數(shù)學方法的本質性的認識。它表現(xiàn)在對數(shù)學對象的開拓之中,表現(xiàn)在對數(shù)學概念、命題和數(shù)學模型的分析與概括之中,還表現(xiàn)在新的數(shù)學方法的產生過程中。
數(shù)學教學中介紹數(shù)學符號帶來數(shù)學思維表達的簡單美;邏輯和演繹思想帶來學生思維的嚴謹及表達的準確;極限思想中蘊著由量變到質變的規(guī)律;模型思想有利于培養(yǎng)與發(fā)展學生系統(tǒng)處理問題的能力;集合的概念有助于學生集體觀念、合作意識的形成;講解排列概念引導學生形成規(guī)矩意識,遵規(guī)守紀、勤奮學習。
7 結語
用數(shù)學概念巧解數(shù)學題,用實驗驗證數(shù)學公式,建立數(shù)學模型,鞏固數(shù)學概念的掌握,讓學生通過數(shù)學概念的理解,確立數(shù)學思想,并運用數(shù)學思想處理問題。滲透數(shù)學思想,能培養(yǎng)學生的思維品質,提高運用數(shù)學知識能力,促進學習遷移。介紹數(shù)學史實,講解數(shù)學家的故事,能激發(fā)學生的求知欲和濃厚學習興趣。通過巧妙運用數(shù)學概念解題,學生感受到了數(shù)學的美,學習興趣濃厚,學習成績明顯提高,用數(shù)學思想解決生活中實際問題的能力明顯增強。
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