常見(jiàn)的數(shù)學(xué)邏輯推理題的解法

蔣邕平

內(nèi)容提要：數(shù)學(xué)本身具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓?，提高邏輯推理能力是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的推理有邏輯推理、數(shù)字推理和圖形推理三大類。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué) 推理 解題

【中圖分類號(hào)】G633.6

一、 邏輯推理

（一）列表法

例1 小王、小張和小李一位是工人，一位是農(nóng)民，一位是教師，現(xiàn)在只知道：小李比教師年齡大；小王與農(nóng)民不同歲；農(nóng)民比小張年齡小。問(wèn)：誰(shuí)是工人？誰(shuí)是農(nóng)民？誰(shuí)是教師？

分析與解：由題知：小李不是教師，小王不是農(nóng)民，小張不是農(nóng)民。由此得到左下表。表中打“√”表示肯定，打“×”表示否定。

因?yàn)樽笊媳碇?，任一行、任一列只能有一個(gè)“√”，其余是“×”，所以小李是農(nóng)民，于是得到右上表。因農(nóng)民小李比小張年齡小，又小李比教師年齡大，故小張比教師年齡大，即小張不是教師。因此得到左下表，從而得到右下表，即小張是工人，小李是農(nóng)民，小王是教師。

例1中采用列表法，使得各種關(guān)系更明確。為了講解清楚，例題中畫(huà)了幾個(gè)表，實(shí)際解題時(shí)，不用畫(huà)這么多表，只在一個(gè)表中先后畫(huà)出各種關(guān)系即可。需要注意的是：①第一步應(yīng)將題目條件給出的關(guān)系畫(huà)在表上，然后再依次將分析推理出的關(guān)系畫(huà)在表上；②每行每列只能有一個(gè)“√”，如果出現(xiàn)了一個(gè)“√”，它所在的行和列的其余格中都應(yīng)畫(huà)“×”。

例2甲、乙、丙每人有兩個(gè)外號(hào)，人們有時(shí)以“數(shù)學(xué)博士”、“短跑健將”、“跳高冠軍”、“小畫(huà)家”、“大作家”和“歌唱家”稱呼他們。此外：（1）數(shù)學(xué)博士夸跳高冠軍跳得高；（2）跳高冠軍和大作家常與甲一起去看電影；（3）短跑健將請(qǐng)小畫(huà)家畫(huà)賀年卡；（4）數(shù)學(xué)博士和小畫(huà)家很要好；（5）乙向大作家借過(guò)書(shū)；（6）丙下象棋常贏乙和小畫(huà)家。你知道甲、乙、丙各有哪兩個(gè)外號(hào)嗎？

分析與解：由（2）知，甲不是跳高冠軍和大作家；由（5）知，乙不是大作家；由（6）知，丙、乙都不是小畫(huà)家。由此可得到下表：

因?yàn)榧资切‘?huà)家，所以由（3）（4）知甲不是短跑健將和數(shù)學(xué)博士，推知甲是歌唱家。因?yàn)楸谴笞骷?，所以由?）知丙不是跳高冠軍，推知乙是跳高冠軍。因?yàn)橐沂翘吖谲?，所以由?）知乙不是數(shù)學(xué)博士。將上面的結(jié)論依次填入上表，便得到下表（2） 。所以，甲是小畫(huà)家和歌唱家，乙是短跑健將和跳高冠軍，丙是數(shù)學(xué)博士和大作家。

（二）假設(shè)法

例3四個(gè)小朋友寶寶、星星、強(qiáng)強(qiáng)和樂(lè)樂(lè)在院子里踢足球，一陣響聲，驚動(dòng)了正在讀書(shū)的陸老師，陸老師跑出來(lái)查看，發(fā)現(xiàn)一塊窗戶玻璃被打破了。陸老師問(wèn)：“是誰(shuí)打破了玻璃？”

寶寶說(shuō)：“是星星無(wú)意打破的?！毙切钦f(shuō)：“是樂(lè)樂(lè)打破的。”樂(lè)樂(lè)說(shuō)：“星星說(shuō)謊?！睆?qiáng)強(qiáng)說(shuō)：“反正不是我打破的?！比绻挥幸粋€(gè)孩子說(shuō)了實(shí)話，那么這個(gè)孩子是誰(shuí)？是誰(shuí)打破玻璃？

分析與解：因?yàn)樾切呛蜆?lè)樂(lè)說(shuō)的正好相反，所以必是一對(duì)一錯(cuò)，我們可以逐一假設(shè)檢驗(yàn)。 假設(shè)星星說(shuō)得對(duì)，即玻璃窗是樂(lè)樂(lè)打破的，那么強(qiáng)強(qiáng)也說(shuō)對(duì)了，這與“只有一個(gè)孩子說(shuō)了實(shí)話”矛盾，所以星星說(shuō)錯(cuò)了。假設(shè)樂(lè)樂(lè)說(shuō)對(duì)了，按題意其他孩子就都說(shuō)錯(cuò)了。由強(qiáng)強(qiáng)說(shuō)錯(cuò)了，推知玻璃是強(qiáng)強(qiáng)打破的。寶寶、星星確實(shí)都說(shuō)錯(cuò)了。符合題意。所以是強(qiáng)強(qiáng)打破了玻璃。

由例3看出，用假設(shè)法解邏輯問(wèn)題，就是根據(jù)題目的幾種可能情況，逐一假設(shè)。如果推出矛盾，那么假設(shè)不成立；如果推不出矛盾，那么符合題意，假設(shè)成立。

例4甲、乙、丙、丁四人同時(shí)參加全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)夏令營(yíng)。賽前甲、乙、丙分別做了預(yù)測(cè)。

甲說(shuō)：“丙第1名，我第3名?！币艺f(shuō)：“我第1名，丁第4名?！北f(shuō)：“丁第2名，我第3名?！背煽?jī)揭曉后，發(fā)現(xiàn)他們每人只說(shuō)對(duì)了一半，你能說(shuō)出他們的名次嗎？

分析與解：以“他們每人只說(shuō)對(duì)了一半”作為前提，進(jìn)行邏輯推理。

假設(shè)甲說(shuō)的第一句話“丙第1名”是對(duì)的，第二句話“我第3名”是錯(cuò)的。由此推知乙說(shuō)的“我第1名”是錯(cuò)的，“丁第4名”是對(duì)的；丙說(shuō)的“丁第2名”是錯(cuò)的，“丙第3名”是對(duì)的。這與假設(shè)“丙第1名是對(duì)的”矛盾，所以假設(shè)不成立。

再假設(shè)甲的第二句“我第3名”是對(duì)的，那么丙說(shuō)的第二句“我第3名”是錯(cuò)的，從而丙說(shuō)的第一句話“丁第2名”是對(duì)的；由此推出乙說(shuō)的“丁第4名”是錯(cuò)的，“我第1名”是對(duì)的。至此可以排出名次順序：乙第1名、丁第2名、甲第3名、丙第4名。

二、數(shù)字推理

數(shù)字推理的本質(zhì)是研究數(shù)字間的運(yùn)算或位置關(guān)系，涉及數(shù)字和數(shù)據(jù)關(guān)系的分析、推理、判斷和運(yùn)算等，旨在測(cè)查理解、把握事物間量化關(guān)系和解決數(shù)量關(guān)系的技能，解題原則如下：項(xiàng)數(shù)多，優(yōu)先考慮組合數(shù)列；出現(xiàn)特征數(shù)字，優(yōu)先從特征數(shù)字入手；增幅越來(lái)越大，優(yōu)先從乘積、冪考慮；遞增或遞減，但幅度緩和，優(yōu)先考慮相鄰兩項(xiàng)之差；各項(xiàng)倍數(shù)關(guān)系明顯，優(yōu)先考慮作商或積及其變式；最好結(jié)合選項(xiàng)中的數(shù)，進(jìn)一步判斷規(guī)律。

解數(shù)字推理題通常的有六種思考方法：

（一）從相鄰項(xiàng)之差入手

思路不明時(shí)，考慮數(shù)列相鄰項(xiàng)之差是解決數(shù)字推理問(wèn)題的第一思維。

例5 1.5，5，5，12，5， （ ）

A. 3； B. 1； C. 24； D. 26

解：做相鄰兩項(xiàng)之差得 3.5，0，7，-7，再做差得 -3.5，7，-14，這是公比為-2的等比數(shù)列，下一項(xiàng)為28，因此數(shù)列3.5， 0，7， -7，下一項(xiàng)為21，所缺項(xiàng)應(yīng)為 26，選D 。

（二）分析相鄰項(xiàng)之間的商、和、積

局部分析尤為重要。當(dāng)某兩項(xiàng)（或多項(xiàng)）的和、積、商關(guān)系明顯時(shí)，優(yōu)先考慮此法。若數(shù)明顯上升，可考慮相鄰項(xiàng)之和或積；當(dāng)相鄰項(xiàng)之間存在比例關(guān)系時(shí)，可考慮相鄰項(xiàng)的商。

例6 2/3， 3， 4，14，58， （ ）

A. 814 ； B. 836 ； C. 802 ； D. 828

解： A。由14、58變化到800多，暗示考慮相鄰項(xiàng)的乘積。猜想前一項(xiàng)與后一項(xiàng)之積加2得第三項(xiàng)，驗(yàn)證均成立。 2/3 ×3+2=3，3×4+2=14， 4×14+2=58，14×58+2=814，選A。

（三）猜各項(xiàng)間的運(yùn)算關(guān)系

各項(xiàng)在橫向上有時(shí)存在相同的四則運(yùn)算關(guān)系，要多心算、多假設(shè)。常見(jiàn)兩類：一是前一項(xiàng)經(jīng)過(guò)運(yùn)算得后一項(xiàng)；二是前兩項(xiàng)經(jīng)過(guò)運(yùn)算得第三項(xiàng)。常見(jiàn)兩種情形：⑴前一項(xiàng)的倍數(shù)加常數(shù)或加基本數(shù)列得下一項(xiàng)；⑵前一項(xiàng)的倍數(shù)加后一項(xiàng)的倍數(shù)得第三項(xiàng)。

例7 2， 5， 17， 71， （ ）

A.149 ； B.359 ； C.273 ； D.463

解：2×2+1=5，5×3+2=17， 17×4+3=71，71×5+4=359，選B。

（四）找通項(xiàng)公式

各項(xiàng)有時(shí)可用相同形式表示。在形成了一定的數(shù)字敏感度之后，解這類題就是一種直覺(jué)。

例8 4 ，11 ，30 ，67 ，（）

A. 126 ； B. 127 ； C. 128 ； D.129

解：研究通項(xiàng)的規(guī)律。 4=1^3+3 ，1=2^3+3，30=3^3+3， 67=4^3+3，

是自然數(shù)列的立方加3，依此規(guī)律，（）內(nèi)之?dāng)?shù)應(yīng)為5^3+3=128，選C。

（五）分析結(jié)構(gòu)和位置

整體考察，找到結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。在解決圖形形式的數(shù)字推理問(wèn)題時(shí)，考慮圖形結(jié)構(gòu)和數(shù)字位置更為重要。

例9 2，3，6，9，14，15，30，（），62，27

A. 21 ； B.37 ； C. 35 ； D.24

解：此題是間隔組合數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)2、6、14、30依次做差得4、8、16、32，是公比為2的等比數(shù)列，于是認(rèn)為奇數(shù)項(xiàng)是二級(jí)等比數(shù)列變式。偶數(shù)項(xiàng)3、9、15、（）、（），可假設(shè)是一個(gè)公差為6的等差數(shù)列，則（）應(yīng)填入21，選A。

（六）探求整體特征

各項(xiàng)表現(xiàn)出的共有特征主要存在于以下幾個(gè)方面：整除、質(zhì)數(shù)合數(shù)、排序、數(shù)位組合、數(shù)字之和等等。

例10 422，352，516， 743，682，（ ）

A.628 ； B.576 ； C.495 ； D.729

解：各項(xiàng)數(shù)字之和依次是8、10、12、14、16，構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，故（）的數(shù)字之和應(yīng)是18。每項(xiàng)有一個(gè)數(shù)字是其他數(shù)字之和，第一項(xiàng)4=2+2，第二項(xiàng)5=3+2，第三項(xiàng)6=5+1，第四項(xiàng)7=4+3，第五項(xiàng)8=6+2，可見(jiàn)最大數(shù)字在百位、十位、個(gè)位循環(huán)出現(xiàn)，因此（）的最大數(shù)字應(yīng)在個(gè)位，選D。

三、圖形推理

圖形推理要求從所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選擇最合適的一個(gè)填入所缺項(xiàng)，使之呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，測(cè)查觀察、抽象、推理能力。圖形推理包括規(guī)律推理和重構(gòu)推理。規(guī)律推理是針對(duì)所給若干幅圖形的規(guī)律，選擇新圖形以延續(xù)現(xiàn)有的規(guī)律性。要求從給出的圖形中，找出排列規(guī)律，據(jù)此推導(dǎo)符合規(guī)律的圖形。根據(jù)圖形的變化規(guī)律可將題型分為數(shù)量類、樣式類和位置類。重構(gòu)推理主要集中于空間構(gòu)成，也稱為疊紙盒。常見(jiàn)的其解題技巧有如下幾種：1.仔細(xì)觀察圖形的大小變化、構(gòu)成要素的增減、筆畫(huà)多少、旋轉(zhuǎn)方向、組合順序、疊加等；2.必須找出第一套圖的規(guī)律，然后用到第二套圖形中去。要觀察圖形的要點(diǎn)有：圖形的大小、筆畫(huà)曲直多少、方向的旋轉(zhuǎn)、圖形的組合順序、圖形的疊加、求同等等；3.要避免視覺(jué)錯(cuò)誤，最好將所選答案去印證一下所找出的規(guī)律。

例11 從所給的四個(gè)選項(xiàng)中，選擇最適合的一個(gè)填入問(wèn)號(hào)處，使之呈現(xiàn)一定的規(guī)律性（ ）。

解：D。考慮對(duì)稱軸方向，題中都是軸對(duì)稱圖形，而且對(duì)稱軸方向呈現(xiàn)水平、豎直、水平+豎直，水平+豎直，豎直、（水平）的對(duì)稱關(guān)系，選D。

例12把下面的六個(gè)圖形分為兩類，使每一類圖形都有各自的共同特征或規(guī)律，分類正確的一項(xiàng)是（ ）

A. ①③⑥，②④⑤， B. ①③⑤，②④⑥

C. ①③④，②⑤⑥， D. ①⑤⑥，②③④

解：C。 分析位置關(guān)系，各圖均有兩個(gè)黑點(diǎn)，根據(jù)兩黑點(diǎn)連線與各圖內(nèi)部直線的方向的位置關(guān)系，可分為兩類：在①③④中，黑點(diǎn)連線與圖形內(nèi)部直線為平行關(guān)系；在②⑤⑥中，黑點(diǎn)連線與圖形內(nèi)部直線為垂直關(guān)系。故選C。

例13 從所給的四個(gè)選項(xiàng)中，選擇最合適的一個(gè)填入問(wèn)號(hào)處，使之呈現(xiàn)一定的規(guī)律性（ ）。

解：C。研究共性（公共部分）問(wèn)題，各圖內(nèi)部的小圖形之間相接處都是點(diǎn)，沒(méi)有出現(xiàn)相切的邊，A、B、D三項(xiàng)中，各小圖形之間都出現(xiàn)了相切的邊，故選C。

另外，在運(yùn)用圖形推理解題過(guò)程中，還可以從圖形的筆畫(huà)數(shù)、數(shù)量關(guān)系、圖形的特征、共性關(guān)系、折疊規(guī)律等特點(diǎn)進(jìn)行推理。