埃特金迭代法在債券到期收益率計算中的應用

孟祥崗

摘要：在現(xiàn)金流間隔不規(guī)范的情況下，債券到期收益率的計算比較復雜，可考慮應用埃特金迭代法進行計算。本文首先介紹了埃特金迭代法的推導過程，然后給出了現(xiàn)金流間隔規(guī)范情況下分別應用IRR函數(shù)和埃特金迭代計算債券到期收益率的示例，并給出現(xiàn)金流間隔不規(guī)范情況下應用埃特金迭代計算債券到期收益率的示例；最后在債券市場價格的正常范圍內(nèi)和理論極端情況下，探討了應用埃特金迭代法時更合理設置初值的方法。

關(guān)鍵詞：到期收益率 埃特金迭代法 IRR函數(shù) 現(xiàn)金流間隔

票息率

債券到期收益率是使得未來現(xiàn)金流貼現(xiàn)之和等于債券現(xiàn)在價格的內(nèi)在收益率，是計算出來的債券指標，是市場流行的債券收益率表述方法，而非真實債券年收益率。當市場利率上升時，債券價格下降，債券到期收益率上升；當市場利率下降時，債券價格上升，債券到期收益率下降。

債券到期收益率實現(xiàn)的假設條件包括：一是票息必須以同樣的到期收益率進行再投資，二是所有現(xiàn)金流的折現(xiàn)率相同，三是收到票息的同時須立刻投資出去。按照上述假設條件，在現(xiàn)金流間隔不規(guī)范的情況下，債券到期收益率的計算比較復雜。本文研究了如何應用埃特金（Aitken）迭代法計算債券到期收益率。

埃特金迭代法簡介

埃特金迭代法是數(shù)值分析1中的內(nèi)容，其推導過程如下。

將非線性方程轉(zhuǎn)化為等價形式，若存在，使和成立，則稱為的一個解。

設是附近的某近似值，可以得到，如此反復，構(gòu)造迭代公式，，稱為迭代函數(shù)。

對于收斂的迭代過程，迭代公式校正一次得，為方便應用Excel進行迭代計算，令，由微分中值定理知：

其中介于和之間。

假設變化不大，近似地取某個值，則有

若將校正值再校正一次，又得，為方便迭代計算，令，同理

公式1與公式2聯(lián)立，消去未知的，得到：

由此推知：

于是得到埃特金加速迭代法如下：

由推導過程知，埃特金迭代法是利用兩次迭代巧妙構(gòu)造的新迭代公式；由及，可以證明2，表明序列的收斂速度比的收斂速度快。

埃特金迭代法的具體應用步驟如下：

1.將一般方程改寫成的形式；

2.設置初值，計算，及；

3.進行迭代計算，直至，是根據(jù)需要設定的精確度位數(shù)。

根據(jù)埃特金迭代法特點，在給出適當初值的前提下，可以應用埃特金迭代法快速求解出債券到期收益率。

現(xiàn)金流間隔規(guī)范的債券到期收益率埃特金迭代計算

由債券到期收益率的定義知道，如果債券每年付息一次，每次付息金額相同，債券到期收益率計算公式為：

式中：P 表示債券價格；C表示票息金額；F表示債券面值；表示到期收益率；N表示債券期限；t表示現(xiàn)金流到達時間（期）。

公式4是關(guān)于債券到期收益率的N次方程。在具體求解時，Excel試算法簡單，但需要多次調(diào)試，較為繁瑣，在此不做介紹；IRR函數(shù)適用于求解現(xiàn)金流間隔規(guī)范的債券到期收益率情形，現(xiàn)舉例說明。

例1.某剩余期限為5年的國債，票面利率8%，面值100元，年底付息1次，市場價格為102元。

現(xiàn)金流 -102 8 8 8 8 108

IRR（）= 7.5056%

應用IRR函數(shù)求解出該債券到期收益率為7.5056%。

下面應用埃特金迭代法求解現(xiàn)金流間隔規(guī)范的債券到期收益率，數(shù)據(jù)如例1所述，根據(jù)現(xiàn)金流折現(xiàn)原理，該債券到期收益率滿足：

給出的非線性表達式：

選擇合適的初值進行埃特金迭代計算，直至債券到期收益率的近似解滿足，在此設定精確度位數(shù)為6，下同。埃特金迭代的Excel具體實現(xiàn)如圖1所示。

操作步驟：

1. A列的序號及單元格B2中的數(shù)據(jù)是直接輸入的，在價格波動不大的情況下，債券到期收益率接近票息率，所以B2中的初值選擇輸入票息率。

2.在單元格D2中輸入計算式：

即埃特金迭代法中的計算。

3.在單元格E2中輸入計算式：

即埃特金迭代法中的計算。

4.在單元格B3中輸入計算式：

即埃特金迭代法的計算。

5.在單元格C3中輸入邏輯函數(shù)：

=IF（ABS（B3-B2）<=0.000001，"最后結(jié)果是：" &ROUND（B3，6），"請繼續(xù)計算"）。

6.下拖單元格D2、E2至D3、E3，然后下拖單元格B3、C3、D3、E3，經(jīng)過6次迭代計算，C列中出現(xiàn)“最后結(jié)果是：0.075056”，即求解出債券到期收益率7.5056%。

在現(xiàn)金流間隔規(guī)范的情形下，埃特金迭代法求解出來的債券到期收益率與大家熟悉的IRR函數(shù)求解出的數(shù)值相同。

現(xiàn)金流間隔不規(guī)范的債券到期收益率埃特金迭代計算

當債券現(xiàn)金流間隔不規(guī)范時，如第1年年底付息1次，第2年半年末和年底各付息1次（每年付息2次），也就是說奇數(shù)年付息1次，偶數(shù)年付息2次，產(chǎn)生類似現(xiàn)金流或間隔更不規(guī)范時，則無法應用IRR函數(shù)求解出債券到期收益率。下面應用埃特金迭代法求解現(xiàn)金流間隔不規(guī)范的債券到期收益率。

例2.某剩余期限為5年的國債，票面利率8%，面值100元，第1年年底付息8元，第2年半年末和年底各付息4元，第3年年底付息8元，第4年半年末和年底各付息4元，第5年付息8元及償還本金，當前市場價格為102元。根據(jù)現(xiàn)金流折現(xiàn)原理，該債券到期收益率滿足：

給出的非線性表達式：

埃特金迭代的Excel具體實現(xiàn)操作如下。

1.以例1中圖1為基礎，直接輸入A列的序號及單元格B2中的數(shù)據(jù)，B2中的初值選擇輸入票息率；

2.在單元格D2中輸入計算式：

3.在單元格E2中輸入計算式：

4.單元格B3中的計算式輸入及單元格C3中邏輯函數(shù)的輸入與例1的操作相同。

5.同例1一樣下拖單元格，經(jīng)過7次迭代計算，C列中出現(xiàn)“最后結(jié)果是：0.075641”，即求解出債券到期收益率為7.5641%。

下面考慮更為復雜的債券現(xiàn)金流情況。

例3.假設有一特殊的企業(yè)債券，剩余期限為6年，票面利率10%，面值100元，第1年年底付息10元；第2年1季度末付息2.5元，半年末付息2.5元，年底付息5元；第3年每個季度末付息2.5元；第4年半年末付息5元；第5年1季度末付息7.5元，年底付息7.5元；第6年年底付息10元及償還本金；當前市場價格為97元，則其到期收益率滿足：

給出的非線性表達式：

埃特金迭代的Excel具體實現(xiàn)如圖2所示。

操作步驟：

1.直接輸入A列的序號及單元格B2中的數(shù)據(jù)，B2中的初值暫且輸入票息率。

2.在單元格D2中輸入計算式：

3.在單元格E2中輸入計算式：

4.單元格B3中的計算式輸入及單元格C3中邏輯函數(shù)的輸入與例1的操作相同。

5.同例1一樣下拖單元格，經(jīng)過384次迭代計算，C列中出現(xiàn)“最后結(jié)果是：0.108897”，即求解出債券到期收益率為10.8897%。

例3中，在設置票息率為初值的情況下，應用埃特金迭代法要進行多次迭代計算才能得到滿意的數(shù)值解，所以需要探討尋找更合適的初值，減少迭代次數(shù)，快速得到數(shù)值解。

埃特金迭代法初值設置探討

在債券價格波動不大的情況下，票息率與到期收益率比較接近，所以通常將票息率設置為埃特金迭代法中的初值。在債券價格波動較大的情況下，如設置初值為票息率，則需要大量迭代次數(shù)才能計算出數(shù)值解，有時還可能出現(xiàn)無法計算的情況，因此需要尋找更接近于真實到期收益率的初值進行迭代計算。對于計算現(xiàn)金流間隔不規(guī)范債券的到期收益率，下面給出價格處于正常合理范圍內(nèi)初值的設置方法，及理論上極端價格情況下初值的設置思考。

（一）埃特金迭代初值的設置方法

首先將現(xiàn)金流間隔不規(guī)范的債券簡化成間隔規(guī)范的債券，然后應用IRR函數(shù)求解出該簡化債券的到期收益率，將之設置為埃特金迭代法中的初值并進行迭代計算。如例3，將該特殊企業(yè)債券的現(xiàn)金流簡化為：前3年年底各付息10元，第4年年底付息5元，第5年年底付息15元，第6年年底付息10元及償還本金100元的年度間隔規(guī)范債券，債券當前市場價格為97元；由IRR函數(shù)求解出該簡化債券到期收益率約為10.6%，即IRR（-97，10，10，10，5，15，110）=10.6%；將10.6%設為例3中埃特金迭代法的初值，進行7次迭代計算即可得到數(shù)值解10.8897%，大大減少了迭代次數(shù)。

結(jié)合例3，假設債券的當前市場價格為80元，將票息率10%設為埃特金迭代法中的初值，按其應用步驟計算出，將數(shù)值-4.7969代入單元格E2中的表達式，則式中有許多項無法計算，如第3項，因此迭代不能進行，主要原因是初值10%距離較遠；若將由IRR函數(shù)求解出的簡化債券的到期收益率15.2%設置為初值，進行10次迭代計算就能得到滿足精確度要求的數(shù)值解15.6376%。另假設上述債券當前市場價格為120元，將票息率10%設為埃特金迭代法中的初值，需要進行268次迭代才能得到滿足精確度要求的數(shù)值解6.0301%；若將由IRR函數(shù)求解出的簡化債券到期收益率5.9%設為初值，進行5次迭代就能得到數(shù)值解6.0301%。在例3中，如果假設債券的當前市場價格分別為80、90、95、97、100、105、108、110、120和130元，通過改變相應單元格中價格和初值的設置，表1給出了埃特金迭代法初值設置的敏感性情況，凸顯了初值設置的重要性。

（二）極端價格情況下埃特金迭代法初值設置思考

由債券的凸性可知，當債券價格上升到一定程度后繼續(xù)上升時，其到期收益率下降的幅度越來越小，對價格的敏感性減弱，埃特金迭代法初值的設置受其影響較小，將IRR函數(shù)求解出的簡化債券到期收益率設置為初值即可。當債券價格下降到一定程度后繼續(xù)下降時，其到期收益率上升的幅度越來越大，對價格的敏感性急劇增強，不利于初值的設置。隨著債券市場價格下降至理論上的極端價格，如20元，初值可能需要在IRR函數(shù)求解出的簡化債券到期收益率基礎上進行修正，如乘以（1+票息率），否則將出現(xiàn)不能計算的情況，迭代無法進行。

在例3中，假設理論上的債券市場價格為500元，將由IRR函數(shù)求解出的簡化債券到期收益率-19.3%設置為的初值，進行5次迭代計算得到滿足精確度要求的數(shù)值解-19.4845%。另假設理論上的債券市場價格為20元，將由IRR函數(shù)求解出的簡化債券到期收益率63.2%設置為的初值，埃特金迭代不能進行，主要原因是的初值63.2%距離較遠；現(xiàn)將63.2%進行修正，乘以（1+票息率10%）得到69.5%并設之為的初值，進行18次迭代計算得到滿足精確度要求的數(shù)值解67.6019%。隨著債券市場價格繼續(xù)深度下降，埃特金迭代法的設置可能需要根據(jù)實際情況做進一步修正。但極低（高）的債券市場價格只是理論上給出的，在現(xiàn)實中幾乎是不存在的。

注：1.數(shù)值分析也稱作計算數(shù)學，主要內(nèi)容包括高次代數(shù)方程近似解的迭代方法、線性代數(shù)方程組求解的高斯法等系列方法、微分方程的近似解及邊界問題、以插值法為基礎的函數(shù)數(shù)值逼近問題、矩陣特征值的求法等，還包括解的存在性、唯一性、收斂性和誤差分析等理論問題。

2. 具體證明過程為：由埃特金加速迭代法（公式3）知：

由于，及，因此可得