解決恒成立問題的基本策略

四川 李 華

(作者單位：四川省渠縣第二中學(xué))

解決恒成立問題的基本策略

恒成立問題是高考的必考內(nèi)容，它常常與一元二次不等式、函數(shù)的最值、函數(shù)的圖象、任意性存在性等知識聯(lián)系起來，也是函數(shù)中的重要內(nèi)容，其涉及的思想方法常有分類討論、變量分離、圖象分析等，本文就高考問題中常用的一些基本策略進行研究，旨在利于高三師生復(fù)習(xí)參考.

一、一元二次不等式在某區(qū)間上恒成立

【例1】關(guān)于x的不等式ax2-2ax+1≥0在[2,4]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【解析】當(dāng)a=0時，符合題意；當(dāng)a≠0時，設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-2ax+1，對稱軸為x=1；

當(dāng)a>0時，開口向上，函數(shù)f(x)在[2,4]上單調(diào)遞增，只需f(x)min=f(2)≥0即可，此時解得a>0；

【變式】已知關(guān)于x的不等式x2-2ax+1>0在(2,4)上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

二、圖解法處理不等式恒成立問題

【例2】若關(guān)于x的不等式|a|<|x+1|+|x-2|解集是R，則實數(shù)a的取值范圍是________.

【評注】對于不等式恒成立，其相應(yīng)的函數(shù)的最值求解是關(guān)鍵，其中圖解法求最值就是其中一種重要的策略.通過作出相應(yīng)函數(shù)的圖象，可以獲得函數(shù)的最大值或最小值，進而得到字母參數(shù)應(yīng)該滿足的條件.

三、用圖形的覆蓋問題處理不等式f(x)≤g(x)恒成立

【評注】用數(shù)形結(jié)合法解決含參不等式恒成立問題需“兩招”，第一招：轉(zhuǎn)化和化歸，即把“f(x)

四、分離變量法研究不等式恒成立問題

【例4】當(dāng)x∈[-2,1]時, 不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【解析】①當(dāng)x=0時，0≥-3，故實數(shù)a的取值范圍是R；

故函數(shù)f(x)遞增，則f(x)max=f(1)=-6，

故a≥-6；

易知f(x)min=f(-1)=-2，則a≤-2.

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[-6,-2].

【評注】一般地，恒成立的不等式可以將字母單獨分離，從而轉(zhuǎn)化成a≤f(x)，a≥f(x)，af(x)等形式，總有a≤[f(x)]min，a≥[f(x)]max，a<[f(x)]min，a>[f(x)]max，在分離字母的過程中，往往要在不等式兩邊同時除以x或含有x的代數(shù)式，這時可以借用x的取值范圍，若x的取值范圍中包含正數(shù)、零或者負數(shù)，則要分成幾段區(qū)間變量分離后再進行分類討論求解取交集.

【變式】當(dāng)x∈[-2,1]時, 不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【解析】①當(dāng)x=0時，0≥-3，

故實數(shù)a的取值范圍是R；

故函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，則f(x)max=f(1)=-6，

故a≥-6；

易知f(x)min=f(-1)=-2，則a≤-2.

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[-6,-2].

五、對任意性、存在性單變量或雙變量恒成立問題用最值研究

【例5】已知函數(shù)f(x)=x2-2x+1和g(x)=x3-3x2-6x+m，若任意x1,x2滿足x1∈[-2,2]，x2∈[-2,2]，都有f(x1)≤g(x2)，求m的取值范圍.

【評注】不等式f(x1)≤g(x2)恒成立，可以理解為定義域均為[-2，2]時，函數(shù)f(x)中的最大值不超過g(x)的最小值.通過條形圖來理解位置的高低變化，可以形象地解決任何雙變量問題，字母取值范圍必然涉及區(qū)間的開與閉，起決定因素的是不等號以及函數(shù)最值的存在性.比如a

【解析】由題意，f′(x)=6ax2-6ax=6ax(x-1),a<0,故有

x0(0,1)1(1,2)2f'(x)0+0-f(x)1↗極大值1-a↘1+4a

六、變換主元法處理不等式恒成立問題

【例6】已知不等式mx2-2x-m+1<0.

(1) 是否存在m對所有的實數(shù)x，使不等式恒成立，若存在，求出m的取值范圍;

(2)設(shè)不等式對于滿足|m|≤2的一切m的值都成立，求符合題意的x的取值集合.

【評注】常見的恒成立問題都是“主元x在某個區(qū)間上不等式恒成立，求字母的范圍”，但是上述問題是“已知字母范圍，求的是主元x的范圍”.此類問題，我們只需要變換一個角度，把字母看成是主元就行了.這就是變換主元法.

【變式】若任意a∈[1，3]，使得不等式ax2+(a-2)x-2≤0恒成立，則實數(shù)x取值范圍是________.

七、控制變量法研究多變量型問題

(作者單位：四川省渠縣第二中學(xué))