透視新定義類導數(shù)題

安徽 李昭平 (特級教師)

(作者單位：安徽省太湖中學)

透視新定義類導數(shù)題

在高等數(shù)學與高中數(shù)學的知識交匯處命題是近幾年高考命題的新趨勢, 其中以導數(shù)為載體的新定義類函數(shù)題屬高頻考點. 此類問題往往具有背景新、結構新、覆蓋面廣、綜合性強的特點，常常置于選擇題、填空題或解答題靠后的位置，成為高考試卷的亮點.下面結合典型試題透視五大考點，供大家復習時參考.

1.定義函數(shù)的凸性

【例1】先閱讀以下兩個定義.

定義1：若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上可導，即f′(x)存在，且導函數(shù)f′(x)在區(qū)間D上也可導，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在二階導數(shù)，記作f″(x)，即f″(x)=[f′(x)]′.

定義2：若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的二階導數(shù)恒為正, 即f″(x)>0恒成立, 則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上為下凸函數(shù).

已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b在x=1處取得極值.

【解析】(1)因為f(x)=x3+ax2+b, 所以f′(x)=3x2+2ax.

2.定義函數(shù)的駐點

【解析】由g(x)=g′(x)，得x1=1.

【評析】本題定義函數(shù)的“駐點”,主要考查學生閱讀、理解、遷移新知識的能力和數(shù)形結合的能力. 解題的基本步驟是：弄懂新定義，按定義求駐點，確定大小關系.

3.定義函數(shù)的拐點

( )

A.在直線y=-3x上

B.在直線y=3x上

C.在直線y=-4x上

D.在直線y=4x上

【解析】f′(x)=3+4cosx+sinx，f″(x)=-4sinx+cosx=0.由拐點的定義可知，f″(x0)=0，即4sinx0-cosx0=0，所以f(x0)=3x0+4sinx0-cosx0=3x0.

故M(x0，f(x0))在直線y=3x上. 選答案B.

【評析】本題以高等數(shù)學中函數(shù)的拐點與其二階導數(shù)的關系為背景，通過給出二階導數(shù)與函數(shù)拐點的定義(設置新情境)，考查學生閱讀、理解、遷移新知識的能力.結合函數(shù)的凸性可知，其實“拐點”的幾何意義是“函數(shù)圖象上凸、下凸的分界點”. 解題的基本步驟是：弄懂新定義，按定義列式，發(fā)現(xiàn)函數(shù)關系.

元朔二年（前127年），衛(wèi)青率數(shù)萬騎兵從云中（今內(nèi)蒙古托克托縣）出塞，沿黃河西進，到達高闕（，陰山西北的缺口），切斷了駐守黃河南原的樓煩王、白羊王與匈奴其他部落之間的聯(lián)系。

4.定義函數(shù)曲線的新切線

【例4】若直線l與曲線C滿足下列兩個條件：(1)直線l在點P(x0,y0)處與曲線C相切；(2)曲線C在P附近位于直線l的兩側，則稱直線l在點P處“切過”曲線C.

下列命題中正確的是________(寫出所有正確命題的編號).

①直線l:y=0在點P(0,0)處“切過”曲線C：y=x3;

②直線l:x=-1在點P(-1,0)處“切過”曲線C：y=(x+1)2;

③直線l:y=x在點P(0,0)處“切過”曲線C：y=sinx;

④直線l:y=x在點P(0,0)處“切過”曲線C：y=tanx;

⑤直線l:y=x-1在點P(1,0) 處“切過”曲線C：y=lnx.

綜上，正確答案是①③④.

【評析】本題以高等數(shù)學中曲線的切線與曲線的位置關系為背景，在課本函數(shù)曲線的切線定義的基礎上再強化條件，得到直線l“切過”曲線C的新定義，主要考查導數(shù)的幾何意義和相關應用，以及數(shù)形結合的思想.

5.定義與導數(shù)有關的新函數(shù)

【例5】M是由滿足下列三個條件的函數(shù)f(x)構成的集合: ①方程f(x)-x=0有實根; ②函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)滿足0

求證：方程f(x)-x=0至多一個實數(shù)根.

【解析】由條件①，可以假設方程f(x)-x=0有兩個不相等的實數(shù)根α,β,則f(α)=α,f(β)=β,α<β.

由條件③知, 存在x0∈[α,β],使得等式f(β)-f(α)=(β-α)f′(x0)成立,即(β-α)(1-f′(x0))=0.

由條件②知，0

故方程f(x)-x=0至多有一個實數(shù)根.

(作者單位：安徽省太湖中學)