尋找生活知識背景，走向數(shù)學(xué)思想方法

胡智

[摘 要] 當(dāng)下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)對思想方法的強調(diào)是充分的，而數(shù)學(xué)思想方法的形成是依賴于數(shù)學(xué)知識的構(gòu)建過程的. 高中數(shù)學(xué)知識之所以看起來抽象，實際上是與生活距離太遠的緣故. 建立以生活知識為背景的教學(xué)思路，可以將數(shù)學(xué)教學(xué)立足于學(xué)生的形象思維與生活經(jīng)驗的基礎(chǔ)之上，可以有效地形成對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識，從而提高學(xué)生的核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；生活知識；思想方法

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，對于知識的構(gòu)建有兩個基本思路：一是遵循數(shù)學(xué)知識之間的邏輯結(jié)構(gòu)，從已經(jīng)學(xué)過的知識去推導(dǎo)新的知識. 這是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的方法，其也能夠有效地幫學(xué)生認(rèn)識到新舊知識之間的聯(lián)系，從而讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識之間的邏輯關(guān)系. 其不足之處在于，如果學(xué)生對此前的知識掌握不夠扎實，那么新知識的生成就如同無源之水、無本之木. 當(dāng)然，這個不足可以通過新知構(gòu)建之前的舊知復(fù)習(xí)來完成，尤其是有經(jīng)驗的教師總能夠根據(jù)新知識構(gòu)建所需要的舊知分析，去有意識地引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)、掌握舊知識. 二是在遵循數(shù)學(xué)知識邏輯體系的基礎(chǔ)上，更多地通過學(xué)生熟悉的生活知識來為新知學(xué)習(xí)提供基礎(chǔ). 相比較而言，這一思路更具生活性，學(xué)生理解、接受起來更為容易. 其不足之處在于，生活素材的尋找比較麻煩，與傳統(tǒng)教學(xué)思路也有不一致的地方，因此通常不是教師的第一選擇. 但筆者通過研究發(fā)現(xiàn)，這一思路能夠很好地彌補第一種思路的不足，也能夠讓學(xué)生更好地認(rèn)識到數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系. 筆者以為，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中堅持這一思路，對于學(xué)生的數(shù)學(xué)理解以及數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)提升來說是很有好處的，對于面對當(dāng)前高考趨勢也是有幫助的. 基于這樣的思路，筆者建立了“尋找知識生活背景，走向數(shù)學(xué)思想方法”的教學(xué)思路，并進行了積極地實踐. 現(xiàn)以“直線的傾斜角與斜率”的教學(xué)為例，談?wù)劰P者的一些思考.

■生活知識如何成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的背景

數(shù)學(xué)知識本來源于生活，最初對數(shù)與形的研究，基本上都是從生活對象開始的. 隨著數(shù)學(xué)知識的高速發(fā)展，尤其是隨著數(shù)學(xué)研究中抽象思維運用得越來越充分，數(shù)學(xué)知識便超越了現(xiàn)實層面，成為真正的思維的學(xué)科. 但同時數(shù)學(xué)又一直沒有脫離生活，即使是當(dāng)前最為前沿的數(shù)學(xué)知識，也為經(jīng)濟社會發(fā)展中的各種模型的建立提供了理論基礎(chǔ). 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，進一步強調(diào)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，是可以在學(xué)生的思維中建立數(shù)學(xué)來源于生活且服務(wù)于生活的認(rèn)識的，這從面向全體學(xué)生進行數(shù)學(xué)教學(xué)的角度來看，顯然可以讓更多的學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價值與魅力. 教學(xué)中的挑戰(zhàn)在于，如何讓生活知識真正有效地服務(wù)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，而不只是成為數(shù)學(xué)課堂上的點綴. 對此，筆者的探究心得有二：

第一，尋找數(shù)學(xué)知識的生活原型. 很多高中數(shù)學(xué)知識都可以在生活中尋找到生活原型，“直線的傾斜角與斜率”是高中解析幾何的基礎(chǔ)知識，作為入門階段的學(xué)習(xí)，將之建立在學(xué)生的生活經(jīng)驗的基礎(chǔ)之上，有其必然性與合理性. 從數(shù)學(xué)意義的角度來看，傾斜角就是直角坐標(biāo)系中直線與x軸相交之后，x軸的正方向與直線向上方向所形成的夾角. 從純粹的數(shù)學(xué)意義的角度來理解倒也不是很難，只是這種抽象的理解缺少形象性，對于入門階段的學(xué)習(xí)而言，不具有面向全體學(xué)生的意義. 而如果到生活中尋找原型，則可以化解這一不足. 筆者的做法是讓學(xué)生去比較生活中的一些物體的傾斜程度，并讓學(xué)生去尋找描述這種傾斜程度的方法. 顯然，學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上遇到這個問題的時候，自然會想到用數(shù)學(xué)知識去描述，于是學(xué)生所思考到的生活素材與數(shù)學(xué)知識之間就形成了聯(lián)系. 學(xué)生普遍地可以舉出生活中的斜坡、引橋等例子，并且可以不約而同地以坡面、橋面與水平面的夾角來作為描述傾斜程度的量. 在此基礎(chǔ)上，筆者將坡面、橋面以及水平面抽象成線，并將線移植到坐標(biāo)系中，于是形象的生活對象就成為抽象的“形”，學(xué)習(xí)對象也就清晰、簡潔起來，傾斜角的建立也就順利很多了.

第二，從數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系點切入，尋找生活為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供支撐的著力點. 筆者注意到，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中很少有意識地去主動尋求不同知識之間的聯(lián)系，甚至對于一些基本的數(shù)學(xué)觀念（比如數(shù)形結(jié)合），都缺乏必要的認(rèn)識. 這可能與學(xué)生過多的習(xí)題訓(xùn)練有關(guān)，也可能與教師教學(xué)中的滲透不足有關(guān). 比如說在“直線的傾斜角與斜率”這一課的教學(xué)中，有一個基本的思想，就是代數(shù)與幾何的聯(lián)系的建立，其實是依靠坐標(biāo)系來完成的，但很少有學(xué)生能認(rèn)識到這一點. 而代數(shù)與幾何的聯(lián)系，實際上又是“數(shù)”與“形”的聯(lián)系，某種程度上可以理解為用“數(shù)”去描述“形”，用“形”去體現(xiàn)“數(shù)”. 于是筆者在上面所舉的例子的基礎(chǔ)上，特別強調(diào)生活中對坡面或橋面的研究，實際上是將具體的事物抽象為簡潔的圖形. 而要描述這個圖形，就必須借助于“數(shù)”這個語言，于是“數(shù)”與“形”之間就天然存在著密不可分的聯(lián)系. 這種聯(lián)系在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必須深刻體會，而一旦有所體會之后，就會認(rèn)識到這其中有一個數(shù)學(xué)對象發(fā)揮著重要的作用，那就是坐標(biāo)系. 有了這樣的引導(dǎo)，學(xué)生對數(shù)形結(jié)合這樣的重要思想往往就會有一個直觀的認(rèn)識，而這樣的認(rèn)識對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說，積極意義是不言而喻的.

■生活知識走向數(shù)學(xué)思想方法的途徑

教學(xué)經(jīng)驗還告訴我們，不等于將生活知識介入數(shù)學(xué)，學(xué)生就能夠順利地理解到數(shù)學(xué)思想，這其中還是存在著一個由此及彼的抵達途徑的. 對于這個問題，筆者也進行了研究.

第一，要認(rèn)識到生活知識的最大作用在于直觀性及經(jīng)驗性. 為什么數(shù)學(xué)教學(xué)中要強調(diào)與生活的聯(lián)系，就是因為文章開頭所說的數(shù)學(xué)知識自身的邏輯性與抽象性的存在，其會影響相當(dāng)一部分抽象思維能力不強的學(xué)生的數(shù)學(xué)知識的構(gòu)建. 而生活知識的介入，可以幫學(xué)生化解這個困難，可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)知識建立在形象的生活經(jīng)驗的基礎(chǔ)之上. 盡管我們認(rèn)為生活知識中的數(shù)學(xué)因子是有著豐富的數(shù)學(xué)思想方法的，但這種數(shù)學(xué)思想方法是不會直接體現(xiàn)出來的，其需要教師的引導(dǎo). 這是生活知識與數(shù)學(xué)知識之間存在距離的理論分析.

第二，從生活知識走向數(shù)學(xué)思想方法，關(guān)鍵在于學(xué)生的“悟”，突破在于教師的“領(lǐng)”. 在“直線的傾斜角與斜率”一課的教學(xué)中，筆者后來還注意到有同行進行了一個細節(jié)的處理，那就是在傾斜角概念建立的時候，先將學(xué)生所舉出的坡度的例子進行一個形象化的分析，將坡的高度先定義為上升量，將對應(yīng)的水平面的距離定義為前進量. 筆者覺得這對于學(xué)生的理解來說并不是一件難事，甚至實際教學(xué)中可以讓學(xué)生去對這兩個量取名字. 起初筆者在接觸到這個例子的時候，還感覺這個環(huán)節(jié)有些多余，后來越想越覺得有道理，因為我們強調(diào)尊重學(xué)生的生活體驗并在學(xué)生生活體驗的基礎(chǔ)上引用學(xué)生的生活知識，要的就是這種前置于數(shù)學(xué)概念之前的生活認(rèn)識，而給兩個關(guān)鍵長度用生活語言進行定義的過程，就是教師的重要的引導(dǎo)方式. 有了這樣的引導(dǎo)，學(xué)生一般就可以有一些感悟：原來描述坡面的傾斜程度的時候，僅僅憑著視覺感覺是不夠的，還需要對其進行定義，還需要引入新的概念. 而當(dāng)上升量與前進量引入之后不長的時間，就有學(xué)生認(rèn)識到了這樣的生活定義還可以變得更簡潔一點，那就是用數(shù)學(xué)上已經(jīng)學(xué)過的直角三角形的邊來描述，還有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)更好的學(xué)生立馬意識到了應(yīng)當(dāng)用正切函數(shù)來進行描述. 這樣的一個過程，可以說在幾乎所有的學(xué)生的心中都奠定了直角三角形的基礎(chǔ)，余下的工作就只有一步了，那就是教師將學(xué)生的思維從直角三角形引向平面直角坐標(biāo)系，而這一步由于有了前面的鋪墊，可以說是水到渠成的事情.

在這個過程中，可以肯定學(xué)生已經(jīng)形成了這樣的一些默會的知識：其一，學(xué)生認(rèn)識到描述生活對象是可以用數(shù)學(xué)語言的，而這就是數(shù)學(xué)思想的一種體現(xiàn)；其二，數(shù)學(xué)語言是可以由生活知識形成的，關(guān)鍵需要的就是自己的思考，尤其是將新問題與舊知識結(jié)合起來；其三，生活中感受到的常常是“形”，而“形”是需要用“數(shù)”來描述的，如果教師引導(dǎo)到位，學(xué)生其實可以在多個知識中認(rèn)識到這一點.

■建立基于生活的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐思路

數(shù)學(xué)思想方法無疑是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，但數(shù)學(xué)思想方法又不是一個空中樓閣，其是依靠數(shù)學(xué)知識而存在的. 學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，顯然首先是數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的過程，數(shù)學(xué)思想方法的形成是伴隨著數(shù)學(xué)知識的構(gòu)建過程的. 在這個教學(xué)過程中，由于應(yīng)試壓力的存在，教師往往重知識而輕思想，但矛盾的是在學(xué)生解題困難的時候，往往又責(zé)怪學(xué)生的思維能力不夠，不懂?dāng)?shù)學(xué)思想，事實上這與日常教學(xué)是有關(guān)的.

建立基于生活的數(shù)學(xué)教學(xué)的實踐思路，是從教學(xué)觀念的角度樹立起生活是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的認(rèn)識，這種認(rèn)識筆者以為是十分必要的. 盡管高中數(shù)學(xué)教學(xué)壓力大，但從學(xué)生三年數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的角度來看，從一開始就強調(diào)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，實際上可以讓后面的數(shù)學(xué)教學(xué)越來越輕松. 可以夸張地講，沒有一個高中數(shù)學(xué)知識尋找不到生活的影子，當(dāng)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識困難，或某個數(shù)學(xué)思想方法極為典型的時候，就需要引入生活元素，為學(xué)生的數(shù)學(xué)知識建構(gòu)奠定一個堅實的基礎(chǔ). 即使從應(yīng)試的角度來看，這也是一個“磨刀不誤砍柴工”的奠基性工作，真正睿智的教師，是不會忽視從生活知識到數(shù)學(xué)思想這個有效途徑的.