立足整體，抵達問題的本質深處

方紅梅

摘 要：數(shù)學解題必須緊扣問題的數(shù)學本質。立足于習題的整體視角，往往能夠拓寬解題的視域。為此，教師要善于引領學生進行整體觀察、整體換元、整體思量、整體比較、整體構圖、整體體驗等，由此把握數(shù)學問題的整體特征、形式結構與本質。

關鍵詞：整體思路；解題技巧；數(shù)學本質；解題視域

在數(shù)學解題過程中，當采用“各個擊破”的策略將解題的著眼點聚焦于一個個零碎的條件而不能解決問題時，我們就需要立足于習題的整體結構，拓寬解題的視域，縱觀全局而進行思考。通過對習題的整體特征、整體形式、整體結構等進行觀察、思考、操作，引導學生從宏觀上認識問題的數(shù)學本質。由此化難為易、化繁為簡，進而提高學生分析問題和解決問題的能力。

一、整體觀察

數(shù)學的整體觀察是數(shù)學解題的重要策略。所謂“觀察”是一種有意識、有目的的活動。數(shù)學觀察指向于數(shù)學問題的解決，主要是從數(shù)學的視角看習題中數(shù)的特征、式的特征、形的特征。從整體上進行觀察、辨析，有助于迅速剔除題目中非本質的細枝末節(jié)，獲得對問題的本質理解和把握。

例1：如圖1，在一個足夠大的三角形中，以三角形的三個頂點為圓心，分別畫一個半徑為4厘米的扇形。那么，這三個扇形的面積之和是多少平方厘米？

分析：此題如果我們按照一般的解題思路，就是分別求出三個扇形的面積，然后求和。由于這是一個一般的三角形，而三角形三個角的度數(shù)題目中沒有告訴我們，所以我們是無法分別求出三個扇形的面積的?；诖?，我們可以從整體上進行觀察、思考。不難發(fā)現(xiàn)，三個扇形的圓心角的度數(shù)和為180°，因此，我們可以將三個扇形進行合并，拼成一個半徑是4厘米的半圓。那么，要求三個扇形的面積之和也就是求半圓的面積是多少平方厘米。

因此，三個扇形的面積之和為：S=πr2÷2=π×4×4÷2=25.12（平方厘米）。

二、整體換元

在解決數(shù)學問題的過程中，有時我們會發(fā)現(xiàn)題目的表征非常繁雜，常常讓我們感到無所適從。著眼于習題的部分結構，我們會覺得很陌生，而著眼于習題的整體形式，我們又覺得似曾相識。為此，我們可以嘗試整體換元，將習題的復雜表征形式變得簡約。整體換元常常讓我們在“山重水復疑無路”時步入“柳暗花明又一村”的解題境界。

三、整體思量

解決數(shù)學問題常常需要我們仔細分析題目中的數(shù)量關系，甚至采用“條分縷析”的方法，尋找并抓住解題的突破口。但有時這樣的方法往往會讓我們走進“死胡同”，形成思維定式?；诖?，數(shù)學教學中教師有時要引導學生打破思維的習慣，從習題的整體上尋找解題思路。要善于洞悉問題的數(shù)學本質，進而找尋到解題的捷徑。

例3：蘇步青是我國著名的數(shù)學家，一天，蘇步青在德國與另一名德國數(shù)學家散步。其間這位數(shù)學家出了這樣一道題讓蘇步青教授解答。題目是：甲、乙兩人同時從相距200千米的兩地相向而行，甲的速度是每小時12千米，乙的速度是每小時8千米。甲帶了一只狗，狗與甲同時出發(fā)，奔向乙，狗的速度是每小時20千米。在遇到乙后，狗又立即返回奔向甲。如此，狗在甲、乙兩人之間來回奔跑，直至甲、乙兩人相遇。那么，這只狗一共跑了多少千米的路程？蘇步青教授略加思索就給出了答案，那么，蘇步青教授是怎樣思考的呢？

分析：這道題的問題是“狗跑了多少千米？”如果我們用線段圖表征這一道題的形式，從狗的角度思考問題，就會發(fā)現(xiàn)狗的奔跑路線是非常復雜的，且每一趟奔跑的距離都在發(fā)生變化，問題的解決就顯得非常困難。而如果我們著眼于整體，將甲、乙兩個人的行走時間與狗的行走時間通盤考慮，就會發(fā)現(xiàn)甲、乙兩人是與狗同時出發(fā)、同時停止（相遇了）的。因此，狗的行走時間就是甲、乙兩人從出發(fā)到相遇的時間，這其中狗沒有停留。由此，我們可以計算出狗奔跑的路程：200÷（12+8）×20=200（千米）。

四、整體比較

所謂“整體比較”就是我們在解決數(shù)學問題時要對習題的整體和各部分關系進行考量，既要著眼于習題整體，也要兼顧習題各部分的特征。在解題中，如果我們能夠從整體著眼，把握習題各部分條件與問題之間的關系，就能從中找尋到解決問題的思路，這是數(shù)學解題常用的策略。

五、整體構圖

數(shù)學是美的，“數(shù)學的美”在于形式的“和諧”與“完整”。有時，數(shù)學習題給我們提供的是一個“斷臂的維納斯”，它召喚著我們對其進行積極的想象、補白。為此，教師可以引導學生進行整體地構圖，根據(jù)“對稱原理”，可以將不規(guī)則、不完形的圖形轉化成規(guī)則、完整的圖形。如此，將讓圖形的內在數(shù)學本質顯示出來，進而達到快速解題的目的。

例5：如圖2，有一個底面半徑是3厘米的圓柱，從圓柱的正中間斜著截取了一段，截后的形體體積是多少立方厘米？

分析：從上圖不難看出，這是一個不規(guī)則的幾何形體，直接解題比較難。我們可以根據(jù)題意進行整體想象，將這個幾何形體恢復成截取之前的狀態(tài)。也就是說，我們可以對這個幾何形體進行“整體構圖”，根據(jù)“對稱原理”，用和它一樣的幾何形體，按照一正一反的順序拼接起來。顯然，我們能夠拼接成一個圓柱體，這個圓柱體的底面半徑是3厘米，高是14厘米，體積是這個不規(guī)則幾何形體的2倍。

因此，V=πr2h÷2=π×3×3×14÷2=63π（立方厘米）。

六、整體體驗

有些數(shù)學問題的表述對學生而言往往是“亂花漸欲迷人眼”，學生容易被數(shù)學習題中的一個個條件“牽著鼻子走”。為此，教師要引導學生有意識地跳出具體的局部細節(jié)，洞察整體與局部的關系，對問題獲得一種整體的體驗與感悟。運用“整體思維”思考問題，往往能夠讓我們在解題中獲得新的思路。

例6：有兩只同樣的杯子，分別裝有100毫升的果汁和牛奶。如果我們先將果汁杯中的果汁倒20毫升到牛奶杯中，攪拌均勻；再將牛奶杯中的混合溶液倒20毫升于果汁杯中；如此反復兩次。那么，是牛奶杯中的果汁多還是果汁杯中的牛奶多？

分析：本題中的具體數(shù)量容易引誘我們去關注每一次倒后牛奶里的果汁含量以及果汁里的牛奶含量。如果我們將解題的目光聚焦于這些局部細節(jié)，本題的解答將非常復雜。為此，我們可以撇開具體數(shù)值，從整體入手。不難發(fā)現(xiàn)，不管怎樣地倒來倒去，兩杯中的溶液總量始終是相等的，有多少牛奶進入果汁的杯中就有多少果汁進入牛奶的杯中。因此，果汁杯中的牛奶與牛奶杯中的果汁始終是相等的。

數(shù)學解題是一門藝術，其中蘊藏著諸多的解題技巧。合理運用“整體思維”，常常能夠化繁為簡，化難為易。立足于整體的視角解題，往往能夠抵達問題的本質深處，進而產生創(chuàng)造性的解題靈感，由此突破解題的思維定式、思維障礙，一舉解決數(shù)學問題。