求解遞推數(shù)列問題的一個方法

☉華中師范大學(xué)一附中 瞿爾雅

求解遞推數(shù)列問題的一個方法

☉華中師范大學(xué)一附中 瞿爾雅

數(shù)列在數(shù)學(xué)中占有重要地位，也是歷年高考的重點考查內(nèi)容.在中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)列的求解往往需要一定的數(shù)學(xué)技巧，數(shù)列與其他數(shù)學(xué)知識相結(jié)合，能體現(xiàn)出知識融合和靈活應(yīng)用的理念，易受到命題者的青睞.這里，我在學(xué)習(xí)的過程中發(fā)現(xiàn)對于一些復(fù)雜的遞推數(shù)列，可以采用函數(shù)方法來求解，思路簡單，且有一定的通用性.現(xiàn)介紹如下，供大家參考和討論.

問題1已知v0和v1，求滿足下列遞推關(guān)系的數(shù)列｛v0，v1，v2……｝的通項表達(dá)式vj.

vj=vj-1+vj-2.（1）

將（1）式的兩邊同時乘以變量zj并相加得

于是V（z）-v0-v1z=z［V（z）-v0］+z2V（z），

顯然，通項vj就是函數(shù)V（z）的第j項zj的系數(shù)，因此將式（2）展開為關(guān)于z的多項式即可得到vj.具體方法是：設(shè)，先求解方程1-z-z2=0可得和；再將s和t代入中，并與式（2）進行對比，可解得

所以

當(dāng)v0=1，v1=1時，根據(jù)上述通項表達(dá)式可以得到v2=2，v3=3，v4=5……

問題1就是經(jīng)典的斐波那契數(shù)列問題.為了說明上述方法求解數(shù)列問題的適用性和有效性，下面介紹一個比較復(fù)雜的遞推數(shù)列.

問題2已知v0，求滿足下列遞推關(guān)系的數(shù)列｛v0，v1， v2……｝的通項表達(dá)式

點評：上述求遞推數(shù)列的方法具有一定的通用性，其關(guān)鍵技巧是構(gòu)造函數(shù)V（z），并利用V（z）的多項展開式的系數(shù)來得到數(shù)列通項．求解中用到的基礎(chǔ)知識和方法主要是分式化簡、待定系數(shù)法和等比數(shù)列（無限項）的求和公式．需要注意的是，問題2中的，即s-1＜1和t-1＜1，因此當(dāng)z≤1時，無窮項等比數(shù)列｛1，s-1z，（s-1z）2……｝和｛1，t-1z，（t-1z）2……｝的和是存在的或有限的．所以我們可以用V（1）來求數(shù)列｛v0，v1，v2……｝的．而問題1中的t-1＞1，因此我們不能用V（1）來求．事實上，問題1中的不存在，或者說無窮大．