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      初探“兩個原理”的互動式教學

      2017-03-23 09:02:30江蘇省啟東市呂四中學李凱
      中學數(shù)學雜志 2017年5期

      ☉江蘇省啟東市呂四中學 李凱

      初探“兩個原理”的互動式教學

      ☉江蘇省啟東市呂四中學 李凱

      互動式教學源自美國建構(gòu)主義教學,是其發(fā)展的一個分支.美國教育家杜威及其學生在建構(gòu)主義教學實施過程中,發(fā)現(xiàn)要讓學生完全通過自身研究發(fā)現(xiàn)知識的效率較為低下,因此在研究過程中漸漸引入教師幫襯下的互動成為建構(gòu)主義教學的一個新方向,隨著其他學者的后續(xù)進一步研究,“互動”方式漸漸獨立成為教學的一種獨立方式.筆者以互動式教學為主要手段,研究教學案例“兩個原理”在教師引導(dǎo)下的互動式教學,體會學生在教學過程中從獲得知識——嘗試探究——思考過程——感悟?qū)W習的步驟.

      一、“師生互動”歸納原理

      通過“師生互動”從實際問題中抽象出數(shù)學概念,能很好地讓學生體驗概念抽象的過程.

      師:這次國慶假期我想和家人去南京游玩.如果從杭州出發(fā),到南京,采用了下列的出行方式,大家?guī)兔纯次矣卸嗌俜N走法.

      引例1:假如我從杭州到南京,可以坐直達動車或直達快客,動車每天有3個班次,快客每天有2個班次,請問我共有多少種不同的走法?

      生:5種.(追問:5種怎么得的?你為什么要采用加法運算?)

      師:能不能從問題的本質(zhì)去分析呢?

      師生共同對問題剖析如下:

      師:例子中“我”要完成一件什么事情?

      生:從杭州到南京.

      師:怎么去做這件事情?

      生:坐動車或坐快客.

      師:“或”什么意思?做火車能不能到?坐快客能不能到?

      生:兩種方式二選一,那表示動車、快客是兩類方案.

      師:那動車1,動車2,動車3又表示什么意思呢?

      生:在動車這類方案中又有3種不同的方法.

      師:怎樣才算完成?

      生:人到達南京.

      師:這里有兩個關(guān)鍵點:或——類,直達——直接完成.

      師:同學們還能其他舉例說明嗎?(同桌之間互相合作).

      生:買汽車,國內(nèi)的牌子有5種,國外地牌子有6種,從中選擇一個牌子,共有5+6=11種不同的買法.

      師:為什么這兩個問題都采用加法運算?兩者有什么共同特征?

      生:能獨立完成一件事的方法之間都是加法歸類.

      師:不錯!請同學們用數(shù)學語言,試一試將其一般化.

      分類加法計數(shù)原理:完成一件事有兩類不同的方式,其中第一類中有m種方法,第二類中有n種方法,則完成這一件事一共有m+n種方法.

      師:這個原理告訴我們:分類計數(shù)時應(yīng)采用加法運算,那什么是分類?其本質(zhì)是什么?

      生:就是每一類中的每一種方法都能把事情直接完成.

      評價:通過“師生互動”并讓學生獨立思考,教師適當引導(dǎo)學生分析、歸納概括得出結(jié)論,體現(xiàn)出特殊到一般的數(shù)學思想.

      變式:若每天從杭州到南京,有下列選擇:有3個動車班次、2個快客班次和7個高鐵班次,請問當天有多少種方式可以從杭州到南京?(N=3+2+7=12種)

      師:這個問題說明了什么?

      生:分類加法計數(shù)原理可以推廣到有3類的情況.

      師:完成一件事有類方式,其中每一類又有若干種方法,則完成一件事有多少種方法?

      一般歸納:若這n類方式中,每一種方式分別有m1,m2,…,mn種方法,依據(jù)上述類似可知,一共有m1+m2+…+ mn種方法.

      評價:“師生互動”共同分析,得出分類加法計數(shù)原理的推廣,讓學生經(jīng)歷感性認識上升到理性認識的過程.

      二、“學生討論”類比學習

      對于比較復(fù)雜的問題,教師拋出問題后,讓“學生討論”能夠集中學生的思維亮點,使問題得以解決,也能提高課堂效率.

      師:我到了南京游玩后,就要返回了.如果我返回時采用下列方式,我又有多少種走法?

      引例2:從南京回來途中需要在上海迪士尼停留1天,次日再回到杭州.現(xiàn)南京到上海選擇直達汽車(8種選擇),上海到杭州選擇高鐵(28種選擇),請問從南京回到杭州有多少種選擇?

      這個問題請學生合作探究:類比剛才探究分類加法計數(shù)原理的過程,對問題進行剖析,從中能夠得出什么結(jié)論.教師進行適當點撥.

      根據(jù)學生回答可以引出樹形圖:

      師:為什么這里不用加法而用乘法?

      生:對應(yīng)于第一天的每一種走法,第二天都還有28種不同的高鐵班次供選擇.

      問題剖析:(1)要完成的事:南京→上海→杭州;(2)怎么去做:汽車且高鐵;(3)完成標準:人到達杭州;(4)關(guān)鍵詞:且——步,中轉(zhuǎn)——分步完成.

      師:現(xiàn)在能否來總結(jié)這類問題的一般解決規(guī)律呢?并給它取個名稱.

      分步乘法計數(shù)原理:完成一件事情需要分2個步驟,在第1步中有m種不同的方法,在第2步中有n種不同的方法..那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.

      一般歸納,完成一件事情,需要分成n個步驟,做第1步有種不同的方法,做第2步有種不同的方法,…,做第n步有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法.

      評價:采用類比研究,引導(dǎo)“學生討論”分析、探究、發(fā)現(xiàn)分步乘法計數(shù)原理.培養(yǎng)學生分析問題、自主探究、模仿和語言表達能力.讓學生體會分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的異同,理解兩者的本質(zhì),學會在遇到具體問題時如何根據(jù)問題的特征選擇對應(yīng)的計數(shù)原理.

      三、“學生闡述”應(yīng)用原理

      兩個原理的使用依據(jù),關(guān)鍵在于能否合理判斷問題的基本特征,最大的區(qū)別在于每種方式方法是否可以獨立地完成一件事.因此本節(jié)課的教學難點確定為:對原理中關(guān)鍵詞“完成一件事”的理解;根據(jù)問題的特征正確地區(qū)分“分類”或“分步”.通過“學生闡述”的環(huán)節(jié)能夠有效地反饋學生對以上教學目標的達成程度和難點的突破情況.

      應(yīng)用:杭州某區(qū)原來舊汽車牌照使用方式為:浙A· D××××(0~9中任取一個),現(xiàn)隨著汽車保有量增加而使用新的自選牌照方式:浙A·×××××(前4位是0~9中任取一個,最后一位是除I和O外的大寫英文字母),比較原來車牌數(shù)量和新的車牌數(shù)量?

      生:給車牌選數(shù)字和字母,可以分成五個步驟完成:第1步,從0~9中取1個數(shù)字填入第一個空格,有10種方法;第2步,從0~9中取1個數(shù)字填入第二個空格,有10種方法;第3步,從0~9中取1個數(shù)字填入第三個空格,有10種方法;第4步,從0~9中取1個數(shù)字填入第四個空格,有10種方法;第5步,從除I和O外的大寫英文字母中取1個填入第五個空格,有24種方法.根據(jù)分步計數(shù)原理,不同取法的種數(shù)是:N=10×10×10×10×24=240 000.老牌照:N= 10×10×10×10=10 000,自選牌照比老牌照多出230 000個.

      評價:通過學生對問題解決過程的“闡述”了解學生掌握兩個計數(shù)原理的情況.教師能有效地對本節(jié)課目標的達成情況做出判斷.

      本節(jié)新知注重“互動”,啟迪思維,充分體現(xiàn)新課程理念.對于兩個計數(shù)原理的學習,不僅僅在于善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律本身,更是需要通過對知識學習的過程掌握發(fā)現(xiàn)知識的一般步驟、一般途徑,這才是學習更為寶貴的積累.學會探究,提升思維的品質(zhì).因此采取學生熟悉的實例“互動生活”,經(jīng)過“師生互動”抽象概括出分類加法計數(shù)原理;再通過“學生討論”類比研究,合作交流,總結(jié)得出分步乘法計數(shù)原理,再通過“學生闡述”反饋原理的掌握情況.教師善于啟發(fā),善用追問,善于傾聽,體現(xiàn)“道而弗牽,強而弗抑,開而弗達”的啟發(fā)式教學的本質(zhì)內(nèi)涵.

      以“互動”推進章節(jié)新知的開展,讓學生經(jīng)歷完整的數(shù)學概念形成和研究過程,感受數(shù)學思想方法的過程.“互動”引領(lǐng)的課堂教學中教師更注重精心設(shè)計學生活動,根據(jù)學生的認知規(guī)律安排教學活動,注意根據(jù)概念教學的基本規(guī)律安排教學進程.采取“互動”引導(dǎo)學習的方式,讓學生帶著問題開展探索活動,將轉(zhuǎn)變學生學習方式落到實處.注重學生參與,教師力求精講多問,將學生推向前臺,讓學生表達、板演、總結(jié),教學過程中學生主體意識進一步加強.

      1.曹才翰,章建躍.中學數(shù)學教學概論[M].北京師范大學出版社,2008(4).

      2.章建躍,陶維林.注重學生思維參與和感悟的函數(shù)概念教學[J].數(shù)學通報,2009(8).

      3.章建躍,陶維林.概念教學必須體現(xiàn)概念的形成過程[J].數(shù)學通報,2010(1).

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