基于差分進(jìn)化和RBF響應(yīng)面的混合優(yōu)化算法1)

鄧凱文 陳海昕

(清華大學(xué)航天航空學(xué)院，北京100084)

基于差分進(jìn)化和RBF響應(yīng)面的混合優(yōu)化算法1)

鄧凱文 陳海昕2)

(清華大學(xué)航天航空學(xué)院，北京100084)

針對(duì)氣動(dòng)優(yōu)化等昂貴優(yōu)化問題，提出了一種基于差分進(jìn)化和RBF響應(yīng)面的混合優(yōu)化算法HSADE，該方法結(jié)合了差分進(jìn)化算法的強(qiáng)全局尋優(yōu)能力和RBF響應(yīng)面方法的快速局部搜索能力，能夠同時(shí)有效地提高算法的局部搜索效率和全局尋優(yōu)能力.對(duì)各子算法中的策略和邏輯進(jìn)行了多項(xiàng)改進(jìn)，提出和應(yīng)用了基于雙敗淘汰賽的競(jìng)賽賽制和參數(shù)自適應(yīng)等改進(jìn)策略.對(duì)HSADE使用多個(gè)典型算例進(jìn)行了測(cè)試，并橫向?qū)Ρ攘薔SGA-II，MOPSO和多目標(biāo)差分進(jìn)化算法.測(cè)試結(jié)果表明，在大多數(shù)問題中HSADE在以世代距離表征的局部搜索效率和以超體積比表征的全局尋優(yōu)能力兩項(xiàng)指標(biāo)上都優(yōu)于其他算法，證實(shí)了以上混合策略及算法改進(jìn)的有效性.將該算法應(yīng)用于一個(gè)翼型優(yōu)化問題和一個(gè)二維超聲速噴管膨脹面優(yōu)化問題，并橫向?qū)Ρ任唇?jīng)改良的差分進(jìn)化算法DE和另一種混合算法NARSGA，結(jié)果表明在接近1000次的函數(shù)評(píng)估下，HSADE能相對(duì)其他算法進(jìn)一步對(duì)翼型減阻0.5 count，在噴管優(yōu)化中HSADE得到的結(jié)果也好于其他兩種算法，表明該方法具有較強(qiáng)工程應(yīng)用價(jià)值.

差分進(jìn)化,響應(yīng)面方法,計(jì)算流體力學(xué),多目標(biāo)優(yōu)化,優(yōu)化設(shè)計(jì)

引言

隨著高性能計(jì)算技術(shù)的快速發(fā)展，高精度數(shù)值模擬在飛機(jī)氣動(dòng)設(shè)計(jì)中已得到大量應(yīng)用.盡管基于高精度數(shù)值模擬的優(yōu)化設(shè)計(jì)已被廣泛應(yīng)用且取得了較好的效果[1-3]，但其進(jìn)一步應(yīng)用仍受到較大的限制.尤其是面對(duì)“昂貴優(yōu)化問題”[4]，即目標(biāo)函數(shù)評(píng)估的計(jì)算耗費(fèi)很大的時(shí)候.以飛行器氣動(dòng)優(yōu)化為例，三維客機(jī)翼身組合體全模的雷諾平均方程(RANS)計(jì)算，需使用6000萬網(wǎng)格.利用64個(gè)核心的計(jì)算節(jié)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，一個(gè)工況耗時(shí)通?？蛇_(dá)36h.在存在時(shí)限的工程設(shè)計(jì)中，以上復(fù)雜度的問題的總計(jì)算次數(shù)往往是嚴(yán)格受限的，這就要求優(yōu)化方法能夠在限制總函數(shù)評(píng)估次數(shù)下具有更好的優(yōu)化效果.

因此針對(duì)類似于氣動(dòng)優(yōu)化的“昂貴優(yōu)化問題”，優(yōu)化算法應(yīng)有較高的優(yōu)化效率.局部搜索效率和全局尋優(yōu)能力是評(píng)價(jià)優(yōu)化算法效率最重要的兩大指標(biāo).通常而言，啟發(fā)式算法的局部?jī)?yōu)化效率要大大低于梯度類算法，但具有更好的全局尋優(yōu)能力.為提高啟發(fā)類算法的效率，一種做法是與其他優(yōu)化方法組合得到“混合算法”，以提升其綜合性能.

近年來研究人員在混合優(yōu)化算法上開展了大量的改進(jìn)和嘗試.提出了包括以啟發(fā)式算法結(jié)合基于梯度方法構(gòu)建的混合算法[5-6]、以代理模型方法為主[7-8]的混合算法、以及啟發(fā)式算法和代理模型方法組合的混合算法[9-11]等混合方法.在氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域，研究者對(duì)遺傳算法[12-14]、代理模型方法[15-16[17-18]開展了大量測(cè)試和應(yīng)用.在此基礎(chǔ)上，混合算法也因其較好的綜合性能得到了該領(lǐng)域?qū)W者的關(guān)注，文獻(xiàn)[19]提出了一種基于粒子群算法和Kriging響應(yīng)面的應(yīng)用于氣動(dòng)優(yōu)化問題的混合算法，文獻(xiàn)[20]提出了一種將文化基因算法(memetic algorithm)作為局部搜索算子以提升遺傳算法搜索效率的混合算法并應(yīng)用于氣動(dòng)優(yōu)化，文獻(xiàn)[21]提出了一種基于NSGA-II[22]和Kriging響應(yīng)面的混合優(yōu)化算法用于多段翼型等昂貴問題的優(yōu)化.

目前廣為應(yīng)用的啟發(fā)式算法多具有精英保留機(jī)制[23]，即算法會(huì)保留精英個(gè)體而逐代淘汰較劣個(gè)體，典型的例子有SPEA2[24]，NSGA-II[22]等.因此在擁有精英保留機(jī)制的混合算法中，若引入輔助方法加強(qiáng)局部的深度搜索，其得到的個(gè)體往往趨近局部最優(yōu)因而性能指標(biāo)優(yōu)秀，它們?cè)诮酉聛淼臄?shù)代中會(huì)引導(dǎo)種群進(jìn)化直至被后代超越；若引入輔助方法進(jìn)行增強(qiáng)的廣度搜索，其最終得到的個(gè)體雖存在較好的多樣性，但由于性能指標(biāo)通常不佳而難以存活多代，在降低算法效率的同時(shí)并不能很好地維持種群的多樣性.基于優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)的原則，一種理想的混合算法組合是一種具有強(qiáng)全局尋優(yōu)能力的主算法結(jié)合幫助其進(jìn)行快速局部搜索的輔助方法.

差分進(jìn)化 (di ff erential evolution,DE)是一種于1995年提出的啟發(fā)式算法[25]，聞名于其強(qiáng)魯棒性和對(duì)高維問題良好的適應(yīng)性，擁有很強(qiáng)的全局尋優(yōu)能力.徑向基函數(shù)(radial basis function,RBF)響應(yīng)面(response surface,RS)方法是一種使用徑向基函數(shù)進(jìn)行插值的代理模型方法，也是現(xiàn)在人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最著名的模型之一[26]，在工程優(yōu)化中被廣為使用.這種方法相較于工程中常用的其他代理模型如Kriging響應(yīng)面，薄板樣條曲面等有著光順性好，數(shù)學(xué)描述簡(jiǎn)單的特點(diǎn)，同時(shí)它的精度也比較高[27].

本文根據(jù)以上思路，提出了一種針對(duì)氣動(dòng)優(yōu)化等昂貴優(yōu)化問題的基于差分進(jìn)化和RBF響應(yīng)面的自適應(yīng)混合算法HSADE(hybrid self-adaptive di ff erential evolution)，通過在魯棒性較好的差分進(jìn)化算法的主流程中嵌入高精度的RBF響應(yīng)面方法，利用代理模型擬合已計(jì)算數(shù)據(jù)，給出最佳個(gè)體預(yù)測(cè)，加入差分進(jìn)化算法的種群，以提高算法整體的數(shù)據(jù)利用率；從而通過較小的響應(yīng)面計(jì)算量換來較大的搜索效率提升. HSADE以差分進(jìn)化為主體，因此也是以代為單位進(jìn)行迭代優(yōu)化的.

值得注意的是，在優(yōu)化過程中，響應(yīng)面插值并不取代CFD計(jì)算，它的功能是為主算法在設(shè)計(jì)變量空間內(nèi)搜索新的具有潛在最優(yōu)性能的待分析個(gè)體.因此整個(gè)優(yōu)化過程的仍基于高精度的CFD分析.而RBF響應(yīng)面會(huì)隨優(yōu)化進(jìn)程中新的計(jì)算結(jié)果實(shí)時(shí)更新以提升最優(yōu)點(diǎn)預(yù)測(cè)能力.

此外，本文在提出兩種方法的混合策略同時(shí)也對(duì)它們各自進(jìn)行了一些改進(jìn)，以提高算法整體效能.

1 混合算法HSADE

1.1 算法整體結(jié)構(gòu)

HSADE的核心思想是利用多種優(yōu)化策略給出的蘊(yùn)含不同特性的個(gè)體，確保種群多樣性，強(qiáng)化精英個(gè)體，以同時(shí)提高算法的局部和全局尋優(yōu)能力.

具體而言，HSADE的思路是以差分進(jìn)化為主干，在每一代的進(jìn)化結(jié)束階段向種群中依次嵌入由RBF響應(yīng)面給出的提升算法搜索效率的個(gè)體和由空間增量填充法(increment space filling ISF)給出的提升種群多樣性的個(gè)體，和原有差分進(jìn)化的種群中通過擇優(yōu)機(jī)制保留的高度多樣的個(gè)體共同構(gòu)成子代個(gè)體進(jìn)入下一代，以提升算法的整體效率.同時(shí)考慮到為提高種群目標(biāo)函數(shù)評(píng)估的計(jì)算效率，每代各個(gè)體的函數(shù)評(píng)估將同時(shí)并行執(zhí)行.

HSADE的優(yōu)化流程概括在圖1中，描述如下：

(1)初始化算法參數(shù)，置代數(shù)k=1，使用中心采樣方法和空間增量填充法為主的為實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法(design of experiments,DOE)產(chǎn)生初代種群Pk作為設(shè)計(jì)起點(diǎn)，并為待構(gòu)建響應(yīng)面提供一個(gè)分布均勻的樣本集；其中空間增量填充法旨在按順序找到一系列個(gè)體，其設(shè)計(jì)變量x?滿足如下特性

其中xi代表當(dāng)前種群中各個(gè)體的設(shè)計(jì)變量；

(2)將種群Pk按照差分進(jìn)化的流程依次進(jìn)行變異和交叉，產(chǎn)生試驗(yàn)種群Uk；使用RBF響應(yīng)面擬合所有已計(jì)算點(diǎn)的數(shù)據(jù)，使用差分進(jìn)化算法優(yōu)化響應(yīng)面參數(shù)以最小化擬合誤差，使用差分進(jìn)化算法在響應(yīng)面上尋優(yōu)，得到潛在最優(yōu)個(gè)體集合Ok；利用空間增量填充法給出增加種群多樣性的個(gè)體集合Dk；

(3)并行評(píng)估Uk,Ok和Dk中各個(gè)體目標(biāo)函數(shù)；

(4)對(duì)Pk和Uk按照雙敗淘汰制執(zhí)行選擇操作并淘汰末位個(gè)體，得到獲勝種群Pk′；

(5)令Pk+1=Pk′∪Ok∪Dk，若未滿足結(jié)束條件，令k=k+1，重新回到步驟(2).

優(yōu)化流程中種群大小設(shè)為Np，總優(yōu)化代數(shù)為Ngene，其余各主要參數(shù)都經(jīng)自適應(yīng)改造以提高算法通用性.

1.2 子算法介紹

1.2.1 差分進(jìn)化

圖1 HSADE優(yōu)化流程圖Fig.1 Optimization fl w chart of HSADE

差分進(jìn)化算法是一種將實(shí)數(shù)編碼應(yīng)用于連續(xù)空間優(yōu)化的啟發(fā)式算法，和遺傳算法相似，它主要有三個(gè)過程：變異、交叉和選擇.為避免混淆，將優(yōu)化問題中一個(gè)設(shè)計(jì)變量和其對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)組合起來統(tǒng)稱為一個(gè)個(gè)體個(gè)體上標(biāo)表示代數(shù)，下標(biāo)表示其在種群中的位置.當(dāng)代的種群記作目標(biāo)函數(shù)對(duì)設(shè)計(jì)變量的映射記為按以上定義，差分進(jìn)化的過程可被簡(jiǎn)單歸納為以下步驟：

(1)讀取參數(shù)，置代數(shù)k=1，初始化種群Pk；

(2)令Pk為父代種群，對(duì)Pk中的每一個(gè)個(gè)體執(zhí)行(3)～(5)步；

(3)從當(dāng)前種群中挑選n個(gè)基矢量，n取決于變異方式

(6)令k=k+1，若滿足結(jié)束條件，輸出最終種群相關(guān)信息，否則回到步驟(2).

以上步驟(2)～(5)的具體形式均有多種變體，因此差分進(jìn)化算法并不局限于單一的形式，它可以用統(tǒng)一的記號(hào)描述：DE/X/Y/Z[25].X表示變異過程中對(duì)基矢量的選擇方式，主要有/rand/，/best/和/targetto-best/三種；Y表示參與變異的矢量對(duì)數(shù)；Z表示交叉方式，詳細(xì)介紹見文獻(xiàn)[25].HSADE選用/target-tobest/1作為差分進(jìn)化算的變異方式，選用二項(xiàng)式交叉作為其交叉方式.

1.2.2 徑向基函數(shù)響應(yīng)面

徑向基函數(shù)響應(yīng)面是一種基于徑向基函數(shù)的插值方法，假設(shè)已獲得一系列已知的采樣點(diǎn)，(xi,yi)(i=1,2,···,NS),dim(xi)=Nx,dim(yi)=Ny.對(duì)于一個(gè)待評(píng)估點(diǎn)(x,y)，在已知x的情況下由下式給出y的估計(jì)值

其中，λ為大小為NS×Ny的權(quán)重系數(shù)矩陣，φ(x)為大小為1×NS的行向量，它們分別按下式確定

φ(x)的元素為

Φ的元素為

F的元素為

式中，Φ和F分別為基函數(shù)矩陣和目標(biāo)函數(shù)矩陣，?為徑向基函數(shù)，其較為常用的類型被總結(jié)在表1中. HSADE采用的基函數(shù)為逆多項(xiàng)式函數(shù)(inverse multiquadric).

表1 徑向基函數(shù)類型Table 1 Di ff erent types of radial basis functions

2 子算法的改進(jìn)

在引入基本算法形成混合算法的同時(shí)，本文也對(duì)基本算法分別提出了一些改進(jìn)措施，以提升算法效率.

2.1 對(duì)于差分進(jìn)化的改進(jìn)

2.1.1 基于雙敗淘汰制的選擇算子

為進(jìn)一步提高算法的整體效率，HSADE采用一種稱為雙敗淘汰賽的選擇算子，設(shè)每代的選擇過程在父代種群和以父代種群生成的試驗(yàn)種群間進(jìn)行，且父代種群中各個(gè)體已按非占優(yōu)排序方法[22]和最近鄰域距離進(jìn)行了從最優(yōu)到最劣的排序，令Uk中的個(gè)體與Pk一一對(duì)應(yīng)，則選擇流程如下：

(1)在父代種群中抽取前Nb個(gè)個(gè)體，Nb為預(yù)定義的正整數(shù)滿足Nb＜Np，則子代種群的前Nb個(gè)個(gè)體由經(jīng)基于種群環(huán)境的擇優(yōu)準(zhǔn)則在2.1.2節(jié)詳述)競(jìng)爭(zhēng)得出；若負(fù)于則將加入敗者組B，設(shè)B的最終大小為NB；

(3)將混合組C由非占優(yōu)排序方法和最近鄰域距離進(jìn)行排序，選出最好的Np-Nb個(gè)個(gè)體，并將其保留，作為子代種群的后個(gè)個(gè)體

2.1.2 種群信息輔助的擇優(yōu)邏輯

在傳統(tǒng)差分進(jìn)化中，擇優(yōu)在父代和子代種群的個(gè)體間一一進(jìn)行，這種策略存在可能淘汰潛在的較優(yōu)個(gè)體的弊病.一種典型的情況是，當(dāng)使用差分進(jìn)化算法求解一個(gè)雙目標(biāo)最小化優(yōu)化問題，假設(shè)此時(shí)種群內(nèi)正在進(jìn)行個(gè)體A={xA,yA}和個(gè)體B={xB,yB}的競(jìng)爭(zhēng)以選出勝者進(jìn)入子代，個(gè)體A,B和當(dāng)代種群的Pareto前緣如圖2所示.

圖2 一種典型的擇優(yōu)情景Fig.2 A typical selection occasion

在這種情況中，因?yàn)閭€(gè)體A和B是Pareto互不占優(yōu)的，且個(gè)體B的擁擠程度優(yōu)于A(A距離上游點(diǎn)更近)，因此傳統(tǒng)的擇優(yōu)邏輯會(huì)傾向于保留B而淘汰A.但實(shí)際上個(gè)體A才是真正利于種群整體進(jìn)化的，因?yàn)樗挥诋?dāng)前Pareto前緣下方，能將其向前推進(jìn).這是傳統(tǒng)差分進(jìn)化中擇優(yōu)邏輯存在的漏洞，它忽略了競(jìng)爭(zhēng)過程中種群環(huán)境的信息.在擇優(yōu)過程中這種邏輯對(duì)個(gè)體的優(yōu)劣判斷僅以其競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手作為唯一參照，這會(huì)導(dǎo)致潛在的判斷失準(zhǔn).對(duì)于這個(gè)問題，本文采用一種如圖3描述的擇優(yōu)邏輯，稱為種群信息輔助的擇優(yōu)邏輯，在擇優(yōu)過程中種群內(nèi)各個(gè)體信息會(huì)被引入擇優(yōu)決策過程以挑選出最利于種群進(jìn)化的個(gè)體進(jìn)入子代.

圖3 種群信息輔助的擇優(yōu)邏輯Fig.3 Population information enhanced selection logic

2.1.3 參數(shù)自適應(yīng)策略

在基本差分進(jìn)化算法中，算法性能嚴(yán)重依賴于參數(shù)的選擇[28-29]. 為增強(qiáng)算法對(duì)問題的適應(yīng)性, HSADE中應(yīng)用了一種簡(jiǎn)潔的參數(shù)自適應(yīng)策略，具體方法為：在算法開始階段，遍歷種群中所有個(gè)體，為其分配一個(gè)獨(dú)立的變異常數(shù)Fi和交叉概率因子CRi，其中i為個(gè)體編號(hào).若在指定代數(shù)Nc內(nèi)位于種群相同位置的個(gè)體在種群中的排名沒有上升，則按下式更新其算法參數(shù)

其中，下標(biāo)best表示在指定代數(shù)Nc內(nèi)Pareto占優(yōu)等級(jí)上升最多的個(gè)體的參數(shù)，R為[0,1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，以上參數(shù)自適應(yīng)邏輯是一個(gè)促使各個(gè)體參數(shù)逐漸向更適宜進(jìn)化的參數(shù)靠近的過程.

2.2 對(duì)于徑向基函數(shù)響應(yīng)面的改進(jìn)

2.2.1 響應(yīng)面參數(shù)優(yōu)化、誤差的度量與快速估計(jì)

在優(yōu)化進(jìn)行的每一代中，HSADE會(huì)對(duì)響應(yīng)面的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化以最小化插值誤差.由于RBF響應(yīng)面為完全插值，且在昂貴氣動(dòng)優(yōu)化問題中測(cè)試點(diǎn)是稀缺的，本文采用文獻(xiàn)[30]的交叉驗(yàn)證方法定義響應(yīng)面誤差以充分利用已計(jì)算數(shù)據(jù)，避免響應(yīng)面過擬合.具體而言，按式(7)定義誤差矩陣E

式中Si(xi)為響應(yīng)面在樣本集合中去掉第i個(gè)個(gè)體時(shí),在設(shè)計(jì)變量為xi時(shí)給出的估計(jì)值.

如此定義的誤差矩陣E可按下式快速計(jì)算

式中λij為權(quán)重矩陣的分量，X=Φ-1，其余定義見式(2)～式(4).令nj為第j個(gè)目標(biāo)函數(shù)的歸一化因子，定義響應(yīng)面擬合誤差eRS為

2.2.2 RBF響應(yīng)面參數(shù)重分配策略

本文提出了一種對(duì)RBF響應(yīng)面參數(shù)進(jìn)行重分配的策略.如上小節(jié)描述，經(jīng)典徑向基函數(shù)響應(yīng)面理論中，多目標(biāo)插值可以表示為

式中，每個(gè)目標(biāo)函數(shù)在插值時(shí)對(duì)應(yīng)每個(gè)采樣點(diǎn)的基函數(shù)?都是相同的，為一個(gè)統(tǒng)一預(yù)定義的徑向基函數(shù).由于采樣點(diǎn)在設(shè)計(jì)變量空間的分布存在疏密不同的區(qū)域，物理直觀上，這些區(qū)域中的采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的基函數(shù)應(yīng)該具有差異化的函數(shù)參數(shù)以體現(xiàn)采樣點(diǎn)在空間的分布.

本文通過重分配響應(yīng)面方法中對(duì)應(yīng)于各樣本點(diǎn)的徑向基函數(shù)參數(shù)，以適應(yīng)不同區(qū)域樣本點(diǎn)的疏密度，達(dá)到提升插值精度的目的.以逆多項(xiàng)式函數(shù)為例，具體操作如下：

(1)對(duì)編號(hào)為i的采樣點(diǎn)，取ri為設(shè)計(jì)變量空間中其他采樣點(diǎn)與該采樣點(diǎn)的最小歐氏距離，用于描述其稀疏程度；

(2)定義一列差異化的徑向基函數(shù)

其中ci=kSri，kS為全局縮放因子，原徑向基函數(shù)響應(yīng)面的待優(yōu)化參數(shù)c被kS取代；

(3)重新定義插值公式和徑向基函數(shù)矩陣

(4)根據(jù)重新定義的徑向基函數(shù)矩陣由式(3)求新的權(quán)重矩陣.

響應(yīng)面參數(shù)經(jīng)重分配后，對(duì)應(yīng)每個(gè)采樣點(diǎn)的基函數(shù)參數(shù)都不相同，具體效果見于下節(jié)的測(cè)試部分.

3 算法測(cè)試

本節(jié)將使用一些典型測(cè)試函數(shù)驗(yàn)證和評(píng)估RBF響應(yīng)面的擬合精度和HSADE的綜合優(yōu)化效能.

3.1 響應(yīng)面擬合精度驗(yàn)證

本節(jié)將基本RBF響應(yīng)面，經(jīng)過2.2.2節(jié)參數(shù)重分配后的RBF響應(yīng)面(簡(jiǎn)寫為SRBF)和Kriging響應(yīng)面在一些典型測(cè)試函數(shù)[31]上的擬合精度進(jìn)行對(duì)比，對(duì)于每個(gè)測(cè)試函數(shù)，分別取NS=20,40,80,120個(gè)隨機(jī)采樣點(diǎn)，NT=1600個(gè)固定測(cè)試點(diǎn).每種情況獨(dú)立運(yùn)行80次.使用平均歸一化均方根誤差作為3種方法擬合誤差的評(píng)價(jià)指標(biāo)，定義為

每次測(cè)試中,每種待測(cè)試響應(yīng)面的參數(shù)均使用差分進(jìn)化算法來最小化擬合誤差,以避免參數(shù)選取不當(dāng)導(dǎo)致的對(duì)比失真，對(duì)于SRBF和RBF兩種方法優(yōu)化過程的誤差度量采取2.2節(jié)的定義.

測(cè)試結(jié)果總結(jié)在表2中，可以看出：

(1)SRBF在所有測(cè)試問題中的擬合精度較RBF明顯提高；

(2)SRBF在部分測(cè)試問題中的擬合精度超過了以精度見長(zhǎng)的Kriging響應(yīng)面，并且這種擬合精度的優(yōu)勢(shì)隨著采樣點(diǎn)數(shù)目的增加越發(fā)明顯.在采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)為20個(gè)時(shí)，SRBF在9個(gè)測(cè)試問題中僅有4個(gè)優(yōu)于Kriging響應(yīng)面，而當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)目逐步增加至80時(shí)，SRBF在8個(gè)問題的測(cè)試結(jié)果都優(yōu)于Kriging響應(yīng)面.

可以看出本文提出的對(duì)RBF響應(yīng)面改進(jìn)措施是可靠有效的.

表2 幾種響應(yīng)面插值精度驗(yàn)證Table 2 Examination of interpolation error of di ff erent response surfaces

3.2 HSADE優(yōu)化效能驗(yàn)證

3.2.1 評(píng)價(jià)指標(biāo)

(1)世代距離GD

世代距離表征了當(dāng)前最優(yōu)解集距理論最優(yōu)解集的距離，是算法局部搜索效率的有效度量，按下式定義[22]

式中，Npf為當(dāng)前優(yōu)化結(jié)果最優(yōu)解集中的解的數(shù)目，di為該最優(yōu)解集中第i個(gè)解在目標(biāo)函數(shù)空間距理論最優(yōu)解集的最小歐氏距離，世代距離越小越好.

(2)超體積比HVR

超體積比表征了當(dāng)前算法搜索到的結(jié)果占整個(gè)搜索空間的比例，是算法全局尋優(yōu)能力的一種度量，定義如下[32]

其中HV表示當(dāng)前算法搜索結(jié)果在目標(biāo)函數(shù)空間所能覆蓋的超體積，定義為

HVi為以其中第i個(gè)個(gè)體和該優(yōu)化問題各目標(biāo)函數(shù)的最劣值構(gòu)成的個(gè)體為對(duì)角的在目標(biāo)函數(shù)空間的超立方體的體積，HV?為理論最優(yōu)解的超體積，超體積比越大越好.

3.2.2 HSADE優(yōu)化效能驗(yàn)證

本文選擇ZDT1-4，ZDT6，DTLZ1-4和DTLZ6問題[22-23]來驗(yàn)證HSADE的優(yōu)化效能，作為對(duì)比參考的算法有MOPSO[34]，NSGA-II(二進(jìn)制編碼)和基本DE.

考慮到對(duì)測(cè)試集不同特性的要求，ZDT1-3問題的設(shè)計(jì)變量分別取30維和80維的版本，考察算法對(duì)高維問題的優(yōu)化能力；ZDT4、ZDT6和DTLZ1-4、DTLZ6問題測(cè)試其10變量、2目標(biāo)的情況，考察算法對(duì)復(fù)雜問題的優(yōu)化能力，對(duì)于ZDT4問題，取其簡(jiǎn)化版本，令xi∈[0,1],i=2,3,···,10，其余參數(shù)范圍不變.

參數(shù)設(shè)置方面，由于算法在不同問題中的表現(xiàn)依賴于參數(shù)選擇，因此對(duì)于每種算法，本文應(yīng)用多種參數(shù)組合以盡可能消除參數(shù)選擇不當(dāng)導(dǎo)致的性能衡量失準(zhǔn).對(duì)于DE，變異交叉模式采用/rand/1/Bi，其參數(shù)選擇兩組：①F=0.5,CR=0.2；②F=0.5,CR=0.7；對(duì)于NSGA-II，取其基因數(shù)恒定為8，變異率取4個(gè)不同值：0.01,0.02,0.05,0.10；交叉率恒定為50%，交叉方式為二進(jìn)制交叉.對(duì)于MOPSO，令優(yōu)化起始點(diǎn)隨機(jī)生成，學(xué)習(xí)因子范圍定為[1.0,2.0]，慣性權(quán)重取3個(gè)不同值，分別為0.4，0.6和0.8.

對(duì)于 HSADE，變異交叉模式采用/rand/1/targetto-best，自適應(yīng)參數(shù)范圍為F∈ [0.1,0.9]，CR∈[0.1,0.5]，Nb取為16.每代中響應(yīng)面給出2個(gè)個(gè)體，空間增量填充給出1個(gè)個(gè)體.

為保證公平性以及減少隨機(jī)因素的影響，對(duì)于包括 HSADE在內(nèi)的每種算法采取隨機(jī)初始化種群，對(duì)每個(gè)問題獨(dú)立運(yùn)行10次.每次優(yōu)化過程每種算法共迭代32代，種群大小皆為32，總共約1024次函數(shù)評(píng)價(jià).對(duì)于每次運(yùn)行結(jié)果計(jì)算其世代距離和超體積比，取10次運(yùn)行結(jié)果的中位數(shù)進(jìn)行比較.

表3和表4給出了各優(yōu)化問題的比較結(jié)果.

由表3可以看出，在世代距離表征的收斂性指標(biāo)中，除問題DTLZ4中HSADE劣于NSGA-II，其余問題中HSADE都顯著好于其他算法.

表3 幾種算法在測(cè)試問題上的收斂性指標(biāo)結(jié)果Table 3 Convergence criteria of competing algorithms upon tested problems

表4 幾種算法在測(cè)試問題上的分布性指標(biāo)結(jié)果Table 4 Distribution criteria of competing algorithms upon tested problems

由表4可以看出，在超體積比表征的分布性指標(biāo)中，HSADE除了在 80維 ZDT3問題中劣于MOPSO，其余都優(yōu)于其他算法.

從結(jié)果的比較可以看出,引入的 RBF響應(yīng)面方法可以有效地提高算法的局部尋優(yōu)能力，同時(shí)HSADE的混合結(jié)構(gòu)也讓其保留了較強(qiáng)的多樣性保持能力，其綜合優(yōu)化能力較未經(jīng)改良的DE有明顯提高.

4 應(yīng)用驗(yàn)證

為進(jìn)一步驗(yàn)證HSADE在實(shí)際氣動(dòng)優(yōu)化問題中的表現(xiàn)，本節(jié)展示應(yīng)用HSADE，NARSGA[21](一種基于NSGA-II和Kriging響應(yīng)面的混合算法)和傳統(tǒng)差分進(jìn)化算法解決兩個(gè)典型氣動(dòng)優(yōu)化問題的實(shí)際效果.

4.1 翼型優(yōu)化

翼型優(yōu)化是氣動(dòng)優(yōu)化領(lǐng)域中較為基本和具有代表性的問題.本節(jié)展示應(yīng)用以上3種算法對(duì)一個(gè)10%厚度的二維翼型在Ma=0.72和Ma=0.75兩種工作狀態(tài)進(jìn)行減阻的具體效果.

優(yōu)化問題中，翼型上下表面各設(shè)7個(gè)控制點(diǎn)，由CST(class shape function transformation)[35]曲線擬合生成.優(yōu)化問題的詳細(xì)描述總結(jié)于表5，其中Cd1和Cm1表示Ma=0.72工況下的翼型阻力系數(shù)和力矩系數(shù)，Cd2表示Ma=0.75工況下的翼型阻力系數(shù)，R為翼型前緣半徑.優(yōu)化起點(diǎn)選定10%厚度的RAE2822等一系列翼型，如圖4(a)所示，其中Ref1-2為從課題組翼型庫中選取的層流翼型.初始種群中，除手動(dòng)輸入的優(yōu)化起點(diǎn)外，其余個(gè)體由1.1節(jié)所述的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法進(jìn)行采樣得到.

表5 翼型優(yōu)化問題的優(yōu)化變量、目標(biāo)和約束Table 5 Variables,targets and constraints of the airfoil optimization problem

圖4 優(yōu)化進(jìn)程Fig.4 Optimization progress

CFD計(jì)算采取定升力系數(shù)0.30，起始攻角1.5°，雷諾數(shù)取為1.50×107，馬赫數(shù)取為0.72和0.75.湍流模式為兩方程SST，離散格式為Roe格式，網(wǎng)格數(shù)約為3萬，CFD計(jì)算使用NSAWET程序[36-37].

算法參數(shù)設(shè)置為：

(1)對(duì)于HSADE，CR定為0.2，F(xiàn)范圍為[0.1,0.9]，每代由DE給出個(gè)體29個(gè)，ISF給出1個(gè)，RBF響應(yīng)面給出2個(gè)，Nb為16；

(2)對(duì)于DE，CR定為0.2，F(xiàn)為0.5，其余設(shè)置等同于HSADE；

(3)對(duì)于NARSGA，取文獻(xiàn)中默認(rèn)參數(shù).

每種算法優(yōu)化總代數(shù)設(shè)為32代，種群大小皆為32，排除重復(fù)個(gè)體后各方法皆各進(jìn)行了約1000次目標(biāo)函數(shù)評(píng)估.3種算法優(yōu)化過程中的世代距離收斂曲線，超體積比和響應(yīng)面誤差變化見圖4，計(jì)算世代距離的參考最優(yōu)解集取3種算法解集集合的非占優(yōu)解.

3種算法優(yōu)化得到的最優(yōu)翼型與優(yōu)化起點(diǎn)各翼型的幾何外形對(duì)比見圖5(b)～圖5(d)中，每種算法在2種工況下的最小阻力個(gè)體表面壓力分布對(duì)比見圖6，圖中c代表弦長(zhǎng).3種算法得到的Pareto前緣和優(yōu)化起點(diǎn)中的最優(yōu)性能翼型的對(duì)比見圖7，3種方法得出的兩種工況阻力最小值(圖表中標(biāo)注為minCd1和minCd2)和Pareto前緣中點(diǎn)個(gè)體(圖表中標(biāo)注為middle)的性能和對(duì)比優(yōu)化起點(diǎn)的優(yōu)化量見表6，從優(yōu)化結(jié)果可以看出：

(1)從圖4的優(yōu)化過程看，HSADE的世代距離收斂速度明顯強(qiáng)于未經(jīng)改良的DE，在末端雖然存在振蕩，但在優(yōu)化末期仍保持對(duì)于NARSGA的輕微優(yōu)勢(shì)；在超體積比發(fā)展上，HSADE在整個(gè)優(yōu)化過程中都明顯領(lǐng)先于NARSGA和DE，顯示出HSADE具有對(duì)目標(biāo)函數(shù)空間更強(qiáng)的探索能力.另外在優(yōu)化過程中HSADE的響應(yīng)面的精度經(jīng)校核處于較小的范圍內(nèi)，滿足使用標(biāo)準(zhǔn).

圖5 初始外形和3種算法得到的外形Fig.5 Shapes of initial airfoil and optimal airfoils obtained by optimizers

圖6 最優(yōu)翼型表面壓力分布形態(tài)Fig.6 Surface pressure distribution of optimal airfoils

(2)從圖5看，在約束了升力的情況下，優(yōu)化得出的最優(yōu)翼型中，HSADE的結(jié)果在翼型下表面存在更大的差異性，表明了HSADE能夠在優(yōu)化過程中很好地保持種群的多樣性，使優(yōu)化進(jìn)程不易發(fā)生停滯或早熟收斂.

(3)從表6和圖7中看，HSADE得到的翼型在兩個(gè)工況的阻力指標(biāo)下都明顯優(yōu)于DE和NARSGA，在接近的CFD模擬次數(shù)下阻力優(yōu)化量比另兩種算法領(lǐng)先達(dá)0.5 count，HSADE得到的Pareto前緣明顯優(yōu)于另外兩種方法.

(4)從壓力分布上看，在兩個(gè)工況下，在翼型前緣，和初始翼型壓力分布相比3種算法得到的阻力最小個(gè)體的逆壓梯度區(qū)有所縮小或完全消除；DE的結(jié)果在Ma=0.72工況下在下表面出現(xiàn)了二次加速的現(xiàn)象；Ma=0.75工況下，在翼型前緣HSADE和NARSGA的結(jié)果出現(xiàn)了一道微弱的激波，但它們?cè)谧畲蠛穸惹暗膲毫Ψ植驾^初始翼型更顯合理，較大地減小了形阻和總阻力；兩種工況下HSADE的結(jié)果壓力恢復(fù)最為平穩(wěn)，顯示出較小的分離可能；綜合來講，該問題中HSADE和NARSGA的結(jié)果在壓力分布上表現(xiàn)更好,相較于初始?jí)毫Ψ植家灿忻黠@的改善.

圖7 3種算法的Pareto前緣對(duì)比Fig.7 Comparisons of Pareto fronts obtained by HSADE,NARSGA and DE

表6 3種算法得到的最優(yōu)翼型的性能參數(shù)和優(yōu)化量Table 6 Performance and optimization measurement of the optimal airfoils obtained by optimizers

4.2 二維超聲速噴管膨脹面優(yōu)化

本小節(jié)展示使用以上3種算法對(duì)一個(gè)用于超聲速推進(jìn)系統(tǒng)的單斜面膨脹噴管(single expansion ramp nozzle,SERN)進(jìn)行優(yōu)化并對(duì)比其效果.在這個(gè)問題中，初始種群的產(chǎn)生依靠算法自身的采樣方法進(jìn)行.

圖8展示了3種算法在優(yōu)化過程中的世代距離收斂曲線，超體積比變化和HSADE的響應(yīng)面誤差變化，計(jì)算世代距離使用的參考解集仍取合并3種算法最優(yōu)解集中的非占優(yōu)部分.噴管構(gòu)型參考文獻(xiàn)[38].通過5個(gè)控制點(diǎn)使用NURBS(non-uniform rational B-spline)曲線擬合得到噴管上膨脹面的構(gòu)型，下?lián)醢?長(zhǎng)度固定)的傾斜角可控，該構(gòu)型見圖9(a).噴管進(jìn)口高度H0=0.5657m，出口高度H6=2.4m，長(zhǎng)度Lt=3.294m，下?lián)醢彘L(zhǎng)度Lp=0.7m.

圖8 優(yōu)化進(jìn)程Fig.8 Optimization progress

設(shè)計(jì)變量為 5個(gè)控制點(diǎn)的歸一化高度Ci(i=1,2,3,4,5),下?lián)醢鍍A斜角α.Hi由Ci表示為Hi=H0+Ci(H6-H0)，各設(shè)計(jì)變量的范圍和起始個(gè)體A的參數(shù)由表7給出.

表7 噴管設(shè)計(jì)變量范圍Table 7 Variable ranges of the nozzle design

噴管來流馬赫數(shù)為 4.0，來流靜溫 2221.6K，來流靜壓 2516.6Pa，噴管入口馬赫數(shù) 1.011，噴管入口總溫和總壓分別為T0=1673.6K和p0=144645Pa，湍流模式為兩方程SST，離散格式為Roe格式，網(wǎng)格總量約為9萬.

優(yōu)化目標(biāo)分別為推力T和俯仰力矩M，均要求最大化.每種算法進(jìn)化總代數(shù)皆為32代，種群大小皆為32，對(duì)于每種算法，均計(jì)算了約1000個(gè)有效個(gè)體，算法參數(shù)設(shè)置和4.1節(jié)完全相同.

圖9(b)～圖9(d)展示了3種算法優(yōu)化結(jié)果中3個(gè)比較有的代表性個(gè)體——推力最大個(gè)體(標(biāo)記為maxT)、力矩最大個(gè)體(標(biāo)記為maxM)和位于Pareto前緣的中點(diǎn)位置個(gè)體(標(biāo)記為middle)的膨脹面形狀.圖10為3種算法得到的Pareto前緣，表7總結(jié)了3種算法得出的代表性個(gè)體的相關(guān)性能參數(shù).

從優(yōu)化結(jié)果可以得到如下結(jié)論：

(1)從圖8看，在優(yōu)化過程中HSADE的世代距離和超體積比皆明顯領(lǐng)先于HSADE和DE，且HSADE的響應(yīng)面誤差盡管在優(yōu)化后期存在波動(dòng)，仍然保持在可以接受的范圍內(nèi).

圖9 噴管構(gòu)型與3種算法獲得的代表性個(gè)體外形Fig.9 Nozzle concepts and representative optimal shapes obtained by HSADE,NARSGA and DE

圖10 3種算法的Pareto前緣Fig.10 Pareto fronts obtained by HSADE,NARSGA and DE

(2)從圖9看，從推力最大過渡到力矩最大，3種方法得出的噴管型面變化趨勢(shì)是一致的，同時(shí)HSADE和DE的結(jié)果中3種型面差異更大，可能表征了這兩種方法具有更強(qiáng)的多樣性保持能力.

(3)從圖10和表8看，HSADE得到的最優(yōu)解集最大推力和最大力矩均優(yōu)于其余兩種算法，且HSADE得到的Pareto前緣相較于另外兩種方法也更加靠前；NARSGA得到的Pareto前緣和DE互有交叉，但其前緣個(gè)體更充足，整體上略優(yōu)于DE.

表8 3種算法得到的代表個(gè)體的性能參數(shù)Table 8 Performance of representative optimal shapes obtained by HSADE,NARSGA and DE

5 結(jié)論

提出了一種混合優(yōu)化策略，基于差分進(jìn)化和RBF響應(yīng)面形成了一種混合優(yōu)化算法.并引入雙敗淘汰選擇算子，參數(shù)自適應(yīng)等加以進(jìn)一步改進(jìn).大量測(cè)試表明：差分進(jìn)化與徑向基函數(shù)響應(yīng)面的組合給出了一種可靠且實(shí)用的優(yōu)化方法.能夠在保持全局尋優(yōu)能力的前提下在相近的總函數(shù)評(píng)估次數(shù)下達(dá)到更好的優(yōu)化結(jié)果，對(duì)昂貴優(yōu)化問題十分適用；與以往的混合優(yōu)化算法相比，本文的算法在全局尋優(yōu)能力和局部搜索能力均有明顯提高.

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HYBRID OPTIMIZATION ALGORITHM BASED ON DIFFERENTIAL EVOLUTION AND RBF RESPONSE SURFACE1)

Deng Kaiwen Chen Haixin2)
(School of Aerospace Engineering，Tsinghua University，Beijing100084，China)

A new hybrid optimization algorithm HSADE(hybrid self-adaptive di ff erential evolution)based on di ff erential evolutionandradialbasisfunctionresponsesurfacewasproposedaimingataerodynamicoptimizationproblems.Through combing the merits of response surface method’s fast local searching ability and di ff erential evolution’s powerful global searching ability,the overall local and global search efficiency of HSADE were simultaneously enhanced.Several improvements were made on certain logics and strategies embedded in the processes of each sub-algorithm by proposing and utilizing strategies such as selection strategy based on double elimination and self-adaptive parameters.Having applied HSADE and several other typical optimization algorithms—NSGA-II,MOPSO and multi-objective di ff erential evolution to several benchmark functions,the results indicated HSADE was superior to other algorithms in most of the cases regarding local search ability represented by generation distance and global search ability symbolled by hyper volume ratio,which validated the e ff ectiveness of above improvements.Applying HSADE along with basic DE and NARSGA to an airfoil optimization problem and a hypersonic nozzle expansion surface optimization problem,the results showed HSADE was able to obtain airfoils with extra 0.5 count drag reduction and nozzles with better performance than othertwo algorithms under approximately 1000 function evaluations,which indicated high engineering application potential of HSADE.

di ff erential evolution,response surfaces,computational flui dynamics,multiobjective optimization,optimization design

V211.3

A

10.6052/0459-1879-16-285

2016–10–17收稿，2017–01–16錄用,2017–01–20網(wǎng)絡(luò)版發(fā)表.

1)中航工業(yè)產(chǎn)學(xué)研專項(xiàng)(cxy2014QH14)和清華大學(xué)自主科研計(jì)劃(2015THZ0)資助項(xiàng)目.

2)陳海昕，教授，主要研究方向：空氣動(dòng)力學(xué)，計(jì)算流體力學(xué).E-mail：chenhaixin@tsinghua.edu.cn

鄧凱文,陳海昕.基于差分進(jìn)化和RBF響應(yīng)面的混合優(yōu)化算法.力學(xué)學(xué)報(bào),2017,49(2):441-455

Deng Kaiwen,Chen Haixin.Hybrid optimization algorithm based on di ff erential evolution and RBF response surface.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(2):441-455