B-S期權(quán)定價(jià)模型在財(cái)險(xiǎn)定價(jià)中的應(yīng)用

李子耀，黃洪瑾

（安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)，安徽蚌埠233030）

一、期權(quán)定價(jià)應(yīng)用于財(cái)險(xiǎn)定價(jià)中的可行性分析

（一）期權(quán)與財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)具有相似性

財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)和期權(quán)實(shí)質(zhì)上都是一種避險(xiǎn)工具，它們?cè)诤芏喾矫娑季哂邢嗨菩浴Ｍ侗Ｈ讼虮ｋU(xiǎn)公司支付一筆保險(xiǎn)費(fèi)，獲得當(dāng)標(biāo)的物發(fā)生損失時(shí)，向保險(xiǎn)公司請(qǐng)求賠償?shù)臋?quán)利，在保險(xiǎn)期間內(nèi)，如果標(biāo)的物沒(méi)有發(fā)生損失，則保險(xiǎn)公司就不必承擔(dān)損失賠償責(zé)任，投保人損失保費(fèi)，這就相當(dāng)于期權(quán)的買方在期初購(gòu)入一份期權(quán)合約，在到期日期權(quán)標(biāo)的物的價(jià)值與約定的執(zhí)行價(jià)格相同，這樣期權(quán)的買方就無(wú)法從賣方處獲得經(jīng)濟(jì)利益，還會(huì)損失一筆期權(quán)費(fèi)。如果在保險(xiǎn)期間內(nèi)，投保人投保的標(biāo)的物發(fā)生損毀，保險(xiǎn)公司就有義務(wù)按照合同的約定對(duì)投保人進(jìn)行補(bǔ)償，這在期權(quán)中就相當(dāng)于在到期日時(shí)標(biāo)的資產(chǎn)發(fā)生減值，期權(quán)的買方有權(quán)按照合約將減值的標(biāo)的資產(chǎn)以約定的價(jià)格賣給期權(quán)的賣方，這樣就規(guī)避了標(biāo)的物減值的風(fēng)險(xiǎn)。簡(jiǎn)單地說(shuō)，投保人繳納保險(xiǎn)費(fèi)購(gòu)買保險(xiǎn)合同，就相當(dāng)于購(gòu)買了一份美式看跌期權(quán)，在標(biāo)的物發(fā)生減值時(shí)，可以按約定的價(jià)格將受損標(biāo)的物“賣給”保險(xiǎn)公司，達(dá)到轉(zhuǎn)移風(fēng)險(xiǎn)的目的。

下面通過(guò)圖像進(jìn)一步說(shuō)明保險(xiǎn)與期權(quán)之間的相似性：

在看跌期權(quán)中，假設(shè)期權(quán)費(fèi)為P，執(zhí)行價(jià)格為X，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格為S。則當(dāng)S〈X-P時(shí)，買方盈利，且盈利隨S的減小而增大，但最大不超過(guò)X-P；當(dāng)S=X-P時(shí)，買方損益為0；當(dāng)X-P〈S〈X時(shí)，買方虧損，且虧隨隨著S的增大而減小，但最大虧損不超過(guò)X；當(dāng)S≥X時(shí)，買方虧損恒定，等于期權(quán)費(fèi)X。這樣就可以做出如圖1所示的看跌期權(quán)價(jià)值示意圖。

在財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)中，也可以做出類似的圖像（如圖2），圖1中看跌期權(quán)的期權(quán)費(fèi)P就相當(dāng)于圖2中的保險(xiǎn)費(fèi)，執(zhí)行價(jià)格X就相當(dāng)于保險(xiǎn)金額。雖然二者也存在著許多差異，但是期權(quán)費(fèi)和保險(xiǎn)費(fèi)的定價(jià)思想是一致的［1］。

圖1

圖2

（二）相同的定價(jià)基礎(chǔ)

B-S期權(quán)定價(jià)模型的基礎(chǔ)是隨機(jī)游走理論，該理論的核心思想是證券價(jià)格的時(shí)間序列呈現(xiàn)隨機(jī)狀態(tài)，隨機(jī)游走模型分為兩種，其數(shù)學(xué)表達(dá)式分別為：

其中，①式稱為“零漂移的隨機(jī)游走模型”，即資產(chǎn)或證券的價(jià)格是在前一天的基礎(chǔ)上進(jìn)行隨機(jī)變動(dòng)的，價(jià)差全部包含在隨機(jī)項(xiàng)中。②式稱為“α漂移的隨機(jī)游走模型”，這一模型中，資產(chǎn)或證券的價(jià)差包括兩部分，一部分包含在固定變動(dòng)α中，另一部分也包含在隨機(jī)項(xiàng)中。

通過(guò)上面的分析我們可以看出，期權(quán)和財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)在定價(jià)思想和定價(jià)基礎(chǔ)上都很相似，所以將B-S期權(quán)定價(jià)模型應(yīng)用在財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)定價(jià)中是可行的。

二、B-S期權(quán)定價(jià)模型簡(jiǎn)述

B-S期權(quán)定價(jià)模型是由羅伯特·默頓 （RoBert Merton）和邁倫·斯克爾斯（Myron Scholes）于20世紀(jì)70年代提出的，這一定價(jià)模型的提出不僅解決了期權(quán)定價(jià)的問(wèn)題，而且為金融市場(chǎng)上的其它衍生金融工具的定價(jià)提供了新的思路。此外，直到今天，該模型以及它的一些變形也被投資銀行、金融管理者、保險(xiǎn)人等廣泛應(yīng)用。

B-S期權(quán)定價(jià)模型有以下幾個(gè)重要假設(shè)：（1）標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格行為服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布模式；（2）市場(chǎng)無(wú)摩擦，即不存在稅收和交易成本，標(biāo)的資產(chǎn)可以自由買賣；（3）金融資產(chǎn)在有效期內(nèi)無(wú)紅利及其他所得；（4）該期權(quán)在到期前不可實(shí)施，即該期權(quán)是歐式期權(quán)；（5）不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利的機(jī)會(huì)；（6）證券市場(chǎng)是連續(xù)的；（7）無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r為一已知常數(shù)。

基于上述假設(shè)，他們推導(dǎo)出了計(jì)算歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)價(jià)值的公式：

式中，C為歐式看漲期權(quán)的合理價(jià)格；P為歐式看跌期權(quán)的合理價(jià)格；N（d1）、N（d2）分別為 d1、d2的累計(jì)概率分布函數(shù)；S0為所交易金融資產(chǎn)的當(dāng)前價(jià)格；L為期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格；T為以年為單位的期權(quán)的有效期；r為連續(xù)復(fù)利計(jì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；σ2為年度化方差。

三、B-S期權(quán)定價(jià)模型在財(cái)險(xiǎn)定價(jià)中的實(shí)證分析

下面以某保險(xiǎn)公司的家庭財(cái)產(chǎn)綜合險(xiǎn)為例，說(shuō)明B-S期權(quán)定價(jià)模型在財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)定價(jià)中的應(yīng)用。

這里選用5萬(wàn)、10萬(wàn)、15萬(wàn)、20萬(wàn)為可能的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格，絕對(duì)免賠率選用5‰、10‰、20‰、30‰，到期時(shí)間為一年，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率采用2016年第11期1年期固定利率債券的票面利率2.55%，資產(chǎn)波動(dòng)率分別為3%、5%、7%。

整理得：=5，10，15，20

L=4.975，9.95，14.925，19.9（當(dāng)絕對(duì)免賠率為 5‰時(shí)）

σ=3%，5%，7%

r=2.55%

當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格為10萬(wàn)元，絕對(duì)免賠率為5‰，資產(chǎn)波動(dòng)率為3%時(shí)，

先計(jì)算出 d1、d2的值：

查正態(tài)分布表得：N（1-d1）=0.151016，N（1-d2）=0.158151

最后，計(jì)算看跌期權(quán)的值：

同理，可以利用B-S期權(quán)定價(jià)模型計(jì)算出其他不同情況下看跌期權(quán)的價(jià)格：

表1 免賠率為5‰時(shí)的看跌期權(quán)價(jià)格表 單位：（元）

表2 免賠率為10‰時(shí)的看跌期權(quán)價(jià)格表 單位：（元）

表3 免賠率為20‰時(shí)的看跌期權(quán)價(jià)格表 單位：（元）

表4 免賠率為30‰時(shí)的看跌期權(quán)價(jià)格表 單位：（元）

通過(guò)以上的數(shù)據(jù)對(duì)比，可以得出，當(dāng)免賠率為5‰和10‰時(shí)，此險(xiǎn)種的真實(shí)值與標(biāo)的資產(chǎn)的資產(chǎn)波動(dòng)率為5%的看跌期權(quán)價(jià)格較為接近；當(dāng)免賠率為20‰時(shí)，此險(xiǎn)種的真實(shí)值與標(biāo)的資產(chǎn)的資產(chǎn)波動(dòng)率為5%和7%的看跌期權(quán)價(jià)格都比較接近；當(dāng)免賠率為30‰時(shí)，此險(xiǎn)種的真實(shí)值則較為接近于標(biāo)的資產(chǎn)的資產(chǎn)波動(dòng)率為7%的看跌期權(quán)價(jià)格。據(jù)此，我們可以得出，隨著免賠率的增加，保險(xiǎn)的真實(shí)價(jià)格越接近于資產(chǎn)波動(dòng)率越高的看跌期權(quán)的價(jià)格。

四、擬合度的測(cè)量

為了進(jìn)一步說(shuō)明利用B-S期權(quán)定價(jià)模型計(jì)算出的期權(quán)價(jià)格和實(shí)際保費(fèi)之間的關(guān)系，下面運(yùn)用最小二乘法對(duì)實(shí)際值和計(jì)算值進(jìn)行回歸分析。

設(shè)實(shí)際保費(fèi)值為Y，利用模型計(jì)算出的期權(quán)價(jià)格為X，當(dāng)絕對(duì)免賠率為5‰，資產(chǎn)波動(dòng)率為5%時(shí)，運(yùn)用EViews軟件可以得出X與Y之間的關(guān)系如下：

同理，可以計(jì)算出其他情況下X與Y之間的關(guān)系：

當(dāng)免賠率為10‰，σ=7%時(shí)，Y=0.500071514+0.7274706319*X（0.399941） （0.000177）

R2=1.000000 DW=2.531467

當(dāng)免賠率為20‰，σ=7%時(shí)，Y=0.5002077015+0.7609767391*X（0.628045） （0.000290）

R2=1.000000 DW=3.014532

當(dāng)免賠率為30‰，σ=7%時(shí)，Y=0.9095859218+0.8186766961*X（0.704211） （0.000350）

R2=1.000000 DW=3.399891

通過(guò)以上數(shù)據(jù)可以看出，利用B-S期權(quán)定價(jià)模型計(jì)算出的期權(quán)價(jià)格與實(shí)際保費(fèi)之間有著較為明顯的線性關(guān)系，且這種線性關(guān)系與Y=X十分接近，這說(shuō)明兩者之間具有比較好的擬合性，所以，我們可以得出：將B-S期權(quán)定價(jià)模型運(yùn)用在財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)的定價(jià)中具有一定的科學(xué)性。

五、結(jié) 論

由于數(shù)據(jù)較少，本文只比較分析了一家保險(xiǎn)公司的其中的一個(gè)險(xiǎn)種與計(jì)算出的期權(quán)價(jià)格的關(guān)系，但通過(guò)以上的分析，可以表明，財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)的期權(quán)定價(jià)具有一定的科學(xué)性。利用B-S期權(quán)定價(jià)模型可以衡量財(cái)險(xiǎn)產(chǎn)品價(jià)格的合理性，反推市場(chǎng)變量，為再保險(xiǎn)提供思路等［3］。雖然這一方法不可避免地存在一些缺陷，但是保險(xiǎn)人仍可以將這一模型靈活地運(yùn)用在財(cái)險(xiǎn)定價(jià)中，充實(shí)和豐富傳統(tǒng)的保費(fèi)定價(jià)，為財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)的定價(jià)提供一些新思路。

［1］ 黃昆，呂凡.期權(quán)定價(jià)模型在財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)方面的運(yùn)用［J］.科技信息，2011（25）：5-6.

［2］ 張騁.期權(quán)定價(jià)在保險(xiǎn)中的適用性探討［J］.中國(guó)證券期貨，2011（8）：29-30.

［3］ 劉婕.淺談財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)的期權(quán)定價(jià)［J］.時(shí)代金融，2008（1）：33-34.