極限思想方法在無窮級數(shù)與廣義積分中的應(yīng)用

姜珊珊+楊柳+南華

摘要：本文主要探討分析極限過程，通過論述階的估計方法及其在無窮級數(shù)和廣義積分的斂散性判別中的應(yīng)用，展示分析學(xué)不同問題中的極限思想與方法。

關(guān)鍵詞：極限；無窮級數(shù)；廣義積分

中圖分類號：G642.0 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）10-0215-02

一、引言

經(jīng)數(shù)學(xué)發(fā)展史上第二次數(shù)學(xué)危機，最終由Weierstrass和Cauchy等人嚴(yán)格闡述的“極限”這一概念是微積分學(xué)中最基礎(chǔ)的概念。極限過程是變量的穩(wěn)定的變化過程，也是由“量變”到“質(zhì)變”的一個過程?，F(xiàn)代分析學(xué)，如數(shù)學(xué)分析等就其內(nèi)容的性質(zhì)而言，實質(zhì)上就是一門研究極限過程的理論和變量計算方法的學(xué)科，其中變量計算方法的理論依據(jù)就是極限過程的內(nèi)部規(guī)律性，而變量計算的形式法則又是極限過程內(nèi)部規(guī)律性的外在體現(xiàn)。

觀察數(shù)列f■=■（n=1，2，3，…），當(dāng)n沿自然數(shù)列逐漸增大時，f■隨之逐漸變小，但不論n如何增大，f■始終是一個正數(shù)。顯然這是一個量變的過程，因為盡管f■隨著n增大一直在變小，卻仍舊保持著“是一個正數(shù)”的性質(zhì)。然而■f■=0，這一結(jié)果改變了“是一個正數(shù)”的性質(zhì)，或者說“f■是一個正數(shù)”的性質(zhì)隨著n無限增大而消失了。這雖是一個簡單的例子，但是已充分說明了極限過程是由“量變”到“質(zhì)變”的過程。又如，無理數(shù)也是從有理數(shù)出發(fā)，再加上極限過程的理論而定義的。事實上，我們知道對任意的自然數(shù)n來說，1+■+■+…+■總是一個有理數(shù)，而其極限■a■=e卻導(dǎo)出了一個無理數(shù)。

無窮小與無窮大的概念也是由極限過程來定義的，也可以說它們本身實際上就是一個極限過程，若能體會極限的這種“質(zhì)變”過程的意義，對分析學(xué)中常以極限過程來定義新概念也就可以理解了。

二、函數(shù)階的估計及其應(yīng)用

關(guān)于無窮小與無窮大階的概念，利用極限過程可以將其推廣到任意的函數(shù)f（x）和g（x）（g（x）>0）上。當(dāng)x→x■（x→x■也可以是x→0，或者x→∞）時，類似的有階的表示：若f（x）/g（x）→0，則記作f（x）=o（g（x））；若f（x）/g（x）→1，則記作f（x）~g（x）；若f（x）/g（x）→d（有限常數(shù)）≠0，則記作f（x）=■（g（x））；若|f（x）|/g（x）＜d（有限常數(shù)），則記作，f（x）=O（g（x））；若f（x）/g（x）→∞，則記作，

f（x）?酆g（x）或，g（x）?芻f（x）。

對于無窮級數(shù)我們已知如下的極限比較判別法：定理1：∑u■和∑v■是兩個正項級數(shù)，若■■=l，則：（1）當(dāng)0＜l＜+∞時，∑u■和∑v■有相同斂散性；（2）當(dāng)l=0且∑v■收斂時，級數(shù)∑u■收斂；（3）當(dāng)l=+∞且∑v■發(fā)散時，級數(shù)∑u■發(fā)散。

顯然可以由此無窮級數(shù)的極限斂散判別法得到下面的關(guān)于廣義積分的斂散判別法：定理2：f（x）是定義在［0，∞）內(nèi)的一個連續(xù)函數(shù)，則：（1）f（x）=O■（s>1）時，■|f（x）|dx＜∞，即收斂；（2）f（x）=■■（s≤1）時，■|f（x）|dx=∞，即發(fā)散，且絕對收斂隱含收斂性。

這兩個定理可以用來處理一些判別無窮級數(shù)和無窮積分的斂散性問題。

例1：無窮級數(shù)■■sin（■）是發(fā)散的。事實上由于x→0時，sinx~x，故當(dāng)n→∞時有■sin（■）~■（■），而級數(shù)■■=∞發(fā)散，于是由定理1（1）可知級數(shù)■■sin（■）是發(fā)散的。

例2：無窮積分∫■■■dx，當(dāng)α-2β>1時絕對收斂；而當(dāng)α-2β≤1時發(fā)散。事實上當(dāng)x→∞時，有■■~1，■■~1，于是可知在x→∞時被積函數(shù)f（x）=■■■■x■~

x■。再由定理2可得到原題結(jié)果。

三、結(jié)論

階的概念和極限的概念是分不開的。可以說，極限過程是變量的變化過程，而階的概念則是反映此過程中變量變化的快慢狀態(tài)。通過估計函數(shù)的階來判別廣義積分和無窮級數(shù)的斂散性的方法是特別方便的。值得注意的是：要運用此方法必須具備粗略估計函數(shù)階的能力，也就是要學(xué)會對于收斂性問題的觀察能力，具有了這種能力，才可能選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)進行階的比較，進而判別無窮級數(shù)或廣義積分的斂散性。極限思想是高等數(shù)學(xué)尤其是分析學(xué)理論研究中最為重要的數(shù)學(xué)思想。它不僅是解決在微積分學(xué)中一些運算問題，較復(fù)雜的解析式的估計，變量之間相對的比較法則，不同形態(tài)的極限之間的聯(lián)系法則，等等無不蘊含著極限思想與方法。另一方面，解決有一定難度的數(shù)學(xué)問題有時是需要猜測或估計的，上面提到的用函數(shù)的階的估計方法判定斂散性問題就特別強調(diào)了這種能力。

參考文獻：

[1]徐利治.數(shù)學(xué)分析的方法及例題選講[M].大連理工大學(xué)出版社,2008.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,2013.

The Application of the Thought and Method of Limit in Infinite Series and Improper Integral

JIANG Shan-shan,YANG Liu,NAN Hua

(Department of Mathematics,College of Science,Yanbian University,Yanji,Jilin 133002,China)

Abstract:The process of limitation is studied in this paper. Through discourse the method of estimation of the order,and its application in infinite series and improper integral,we show the limit thought and method in different problems in analysis.

Key words:limit;infinite series;improper integral