小題目 新探究 好方法

蔣瑜琦

一小題目的新探究

題目：（2013年廣東省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽改編）設(shè)A，B，N，是橢圓

上三點(diǎn)，滿足 ，M為線段AB中點(diǎn)，求M的軌跡方程.

圖1

證明：證法1：據(jù)文[1]可知，A，B為一對(duì)共軛直徑的兩端點(diǎn)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2） ，M（x0，y0） .據(jù)共軛直徑的性質(zhì)知有， ，即 。

圖2

證法2：從證法1可以看出橢圓C2與橢圓C1是相似橢圓，這就使我們聯(lián)想到可以用伸縮變換，將橢圓C1變成圓來處理此題.

作伸縮變換（x，y）→ 。得圓C1：x2+y2=a2。此時(shí)A，B依然是圓C1的一對(duì)共軛直徑的兩端點(diǎn)，可知此時(shí) . B，A在圓C1上OA=OB=a.在等腰直角三角形ABO中有 .∴M的軌跡方程為圓C2： .

再將圓C2通過伸縮變換（x，y）→ ，得到橢圓C2，從而得到的軌跡方程 .

點(diǎn)評(píng)：圖2中，若我們將OM延長(zhǎng)，交圓C1于點(diǎn)N，不難發(fā)現(xiàn) ，根據(jù)伸縮變換關(guān)于線的性質(zhì)（經(jīng)過仿射變換的直線，平行性不變，對(duì)曲線的切性不變，平行或共線線段的比例不變）可知，若圖1也做相關(guān)變動(dòng)，也有 .

在這里給出一個(gè)定義：若橢圓C1： 和橢圓C2： 滿足

，則稱這兩個(gè)橢圓相似，m為其相似比，并且若過原點(diǎn)O做一條射線，交C1，C2于N，M.則 （證明略）

從此題，我們可以得出這樣一個(gè)結(jié)論：命題1：設(shè)橢圓中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，若橢圓C1，橢圓C2，的相似比為 （即橢圓C1更大），若A，B分別是橢圓C1一對(duì)共軛直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，則直線AB為橢圓C2的切線，且切點(diǎn)M平分線段AB.

證明：首先我們?cè)谙嗨票葹?的兩個(gè)圓中證明該結(jié)論。在圖2的基礎(chǔ)上再畫一個(gè)圓C3： ，延長(zhǎng)ON交于C3，可知 ，且C3，C1的相似比為

，延長(zhǎng)OA，OB分別交C3于C，D，連接C，D?？芍狢，D為圓C3的一對(duì)共軛直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，過O作 ，顯然H為C，D中點(diǎn)，OH為O到直線CD距離（如圖3）

圖3

∵等腰直角三角形OCD∴OH= a=圓C半徑∴CD與圓C相切，點(diǎn)N與點(diǎn)H 重合，N為切點(diǎn)，得證

將圓伸縮變換（x，y）→ 變換成橢圓，根據(jù)伸縮變換關(guān)于線的性質(zhì)可知結(jié)論依然成立，如圖4

圖4

二對(duì)命題1的推廣

命題2：設(shè)橢圓中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，若橢圓C2，C1的相似比為 （橢圓C2 更大），做橢圓C1的外切平行四邊形ABCD，且A，B，C，D四點(diǎn)在橢圓C2上，則該平行四邊形的對(duì)角線為橢圓C2的一對(duì)共軛直徑，且該平行四邊形的面積為定值.

證明命題2之前，先來證明一個(gè)小引理.

對(duì)圖3進(jìn)行一些漂亮的改動(dòng)，如圖5。

圖5

圖6

設(shè)OC，OD分別交圓C2于E，F(xiàn)，連N，F(xiàn)交圓C1于K，連NE并延長(zhǎng)交圓C1于I，連OI，OK，IC，DK

∵ON= a， ，OF=a，∴據(jù)余弦定理可知MF=a，∴ ，F(xiàn)為圓C2的切點(diǎn)，∴根據(jù)上述結(jié)論可知N，K為圓C1的一對(duì)共軛直徑的兩端點(diǎn)，NF=FK，同理可得N，I也為圓C1一對(duì)共軛直徑的兩端點(diǎn)，且NE=IEC∴I，O，K在同一直線上.又圓C2與圓C3的相似比為2，可知 ，即F為OD中點(diǎn)，又F平分NK，OD∴四邊形KOND為平行四邊形，同理CDIK也為平行四邊形

如果我們將圖4也做相同改動(dòng)，就會(huì)得到類似的美麗圖案，如圖6.根據(jù)伸縮變換可知CDIK也為平行四邊形（證明略）

不難看出若將平行四邊形CDIK的另一半補(bǔ)上，則新形成的平行四邊形就是橢圓C1的外切平行四邊形，且其內(nèi)接于橢圓C2，并且新形成的平行四邊形的對(duì)角線即為橢圓C3的一對(duì)共軛直徑.

由仿射變換關(guān)于面積的性質(zhì)（經(jīng)過仿射變換的封閉圖形，其面積與原面積比皆為一定值）可知，因?yàn)樵趫A中平行四邊形CDIK的面積為定值，所以在橢圓內(nèi)也為定值，命題2得證.

點(diǎn)評(píng)：通過上述探究過程，我們可以看出伸縮變換的好處，他將圓與橢圓緊密聯(lián)系，上面的結(jié)論在圓內(nèi)可以迅速得出，若放在橢圓內(nèi)結(jié)論看起來就不是那么明顯，反而會(huì)帶來大量運(yùn)算量。

[自編新題]1.O為橢圓中心，平面直角坐標(biāo)系上有橢圓E1： 和橢

圓E2： ，C（x1，y1），D（x2，y2）為橢圓E2一對(duì)共軛直徑的兩端點(diǎn) ，連CD，平移CD至原點(diǎn)O，交橢圓E1于A，B兩點(diǎn)，連AC，BD.求證：四邊形ABCD為平行四邊形.

[自編新題]2.已知平面直角坐標(biāo)系中有n個(gè)橢圓，原點(diǎn)O為這一系列橢圓的圓心，且這些橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a，短半軸長(zhǎng)滿足

作第一個(gè)橢圓C1： 的外切平行四邊形A1B1C1D1，且該平行四邊

形的4個(gè)頂點(diǎn)在橢圓C2： 上，以此類推作出平行四邊形A2B2C2D2，A3B3C3D3，...，AnBnCnDn，求證：這一系列平行四邊形的面積為等比數(shù)列，并求其公比.

參考文獻(xiàn)

[1]中等數(shù)學(xué)研究.江嘉秋.