淺談函數(shù)的微分及其應(yīng)用

高新濤

摘要：函數(shù)微分是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)比較重要的概念，它在數(shù)學(xué)、工程計(jì)算、物理等專業(yè)中有許多非常重要的應(yīng)用。利用微分往往可以把一些復(fù)雜的計(jì)算用簡(jiǎn)單的近似來代替，這一過程在一些工程計(jì)算中特別重要。本文主要介紹微分的概念、定理及其應(yīng)用。

Abstract： Function differential is one of the important concepts in higher mathematics. It has many applications in some areas， such as maths， engineering， physics and so on. Differential often translates complex calculation into simple approximate calculations，which is particularly important in engineering. This paper will describe some applications of the differential in approximate calculations.

關(guān)鍵詞：函數(shù)微分；應(yīng)用；近似計(jì)算

Key words： function differential；application；approximate calculation

中圖分類號(hào)：O155 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-4311（2017）05-0191-02

0 引言

在高等數(shù)學(xué)中，微分是對(duì)函數(shù)的局部變化率的一種線性描述。當(dāng)函數(shù)自變量的取值作足夠小的改變時(shí)，微分可以近似地描述函數(shù)的值變化情況。

在文獻(xiàn)[1]中作者給出函數(shù)微分的概念：設(shè)函數(shù)y=f（x）在∪（x0，δ）內(nèi)有定義，給自變量一個(gè)增量Δx，如果相應(yīng)的函數(shù)值增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）能表示為Δy=AΔx+o（Δx），其中A是與Δx無關(guān)的常數(shù)，則稱函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處可微，并稱AΔx為f（x）在點(diǎn)x0處的微分，記為dy│■=AΔx。特別地，當(dāng)y=x時(shí)，有dy=dx=Δx，故函數(shù)f（x）點(diǎn)x0處的微分也可以寫成dy│■=Adx。同時(shí)文獻(xiàn)[1]介紹判斷函數(shù)微分存在的重要定理：函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)的充分必要條件是函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處可微，并且dy│■=f'（x0）Δx。

本文主要通過具體的實(shí)例介紹了函數(shù)微分在計(jì)算函數(shù)增量的近似值、函數(shù)的近似值及誤差分析中的應(yīng)用。將微分法應(yīng)用到近似計(jì)算及誤差分析中，方法簡(jiǎn)單、易懂。

1 微分的應(yīng)用

由微分的幾何意義可知微分是在解決直與曲的矛盾中產(chǎn)生的，在微小局部可以用直線去近似替代曲線，它的直接應(yīng)用就是函數(shù)的線性化。微分具有雙重意義：它表示一種與求導(dǎo)密切相關(guān)的運(yùn)算，同時(shí)又表示一個(gè)微小的量，因此就可以把線性函數(shù)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果作為原函數(shù)數(shù)值的近似值，這就是運(yùn)用微分方法進(jìn)行近似計(jì)算的基本思想。下面我將介紹微分在近似計(jì)算中的幾個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用。