一道中考試題的解題策略與應(yīng)用

王競(jìng)進(jìn)

試題呈現(xiàn) （2016·鹽城）如圖1，已知a、b、c、d四條直線，a∥b，c∥d，∠1=110°，則∠2等于（ ）

A.50° B.70° C.90° D.110°

【思考】本題給出了條件，四條直線a、b、c、d具有的位置關(guān)系為a∥b、c∥d，由直線具有的位置關(guān)系，我們就可以根據(jù)平行線的性質(zhì)尋找隱藏在圖形中具有數(shù)量關(guān)系的角.因此，圖2中的∠3=∠1、∠2=∠4.也就是將已知條件“∠1=110°”轉(zhuǎn)化成∠3的度數(shù)為110°，將待求的問(wèn)題“∠2的度數(shù)”轉(zhuǎn)化為求∠4的度數(shù).由圖形可以知道∠3與∠4是一對(duì)鄰補(bǔ)角，即可知道∠4的度數(shù)為70°.因此，本題中的∠2等于70°.所以，本題應(yīng)該選B.

還可以根據(jù)四條直線a、b、c、d具有的特殊位置關(guān)系，應(yīng)用平行線的性質(zhì)可以知道（如圖3）∠3=∠2、∠4=∠3，因此，將待求的∠2的度數(shù)直接轉(zhuǎn)化為∠4的度數(shù)，由圖形可知∠1與∠4是一對(duì)鄰補(bǔ)角，即可知∠4的度數(shù)為70°.

【策略】本題是2016年江蘇省鹽城市中考數(shù)學(xué)試卷中的一道試題，著重考查了平行線的性質(zhì)和對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用圖形中直線特殊的位置關(guān)系找到與∠1、∠2有數(shù)量關(guān)系的角，然后再利用鄰補(bǔ)角的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求出∠2的度數(shù).本題較好地揭示了圖形的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，靈活應(yīng)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，將待求的問(wèn)題逐步轉(zhuǎn)化.解決此類問(wèn)題的策略在于，能夠靈活應(yīng)用平行線的性質(zhì)、判定方法以及三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)題意和圖形尋找聯(lián)系已知角與未知角的紐帶，使問(wèn)題逐步加以轉(zhuǎn)化，問(wèn)題的解答過(guò)程也非常簡(jiǎn)捷.

應(yīng)用 （2016·菏澤）如圖4，將一副三角板和一張對(duì)邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個(gè)三角板的一直角邊重合，含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含45°角的三角板的一個(gè)頂點(diǎn)在紙條的另一邊上，則∠1的度數(shù)是 .

問(wèn)題的已知數(shù)學(xué)信息有：平行的兩直線、度數(shù)分別為30°、45°、60°和90°的內(nèi)角，待求的問(wèn)題是∠1.觀察圖形可以看出，盡管圖形中的兩直線是平行的，怎么建立、尋找與∠1有數(shù)量關(guān)系的角是解決本題的關(guān)鍵.

方法一 如圖5，延長(zhǎng)含45°角的三角板的斜邊AP，與紙條的一邊CD相交于點(diǎn)Q，由平行線的性質(zhì)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，可得∠1=∠2.因此，此時(shí)的關(guān)鍵就是求∠2的度數(shù).由平角定義，可得∠3=180°-45°-90°=45°，∠4=180°-60°=120°.在∠2、∠3、∠4所在的三角形中，再由三角形內(nèi)角和定理，可得∠2的度數(shù)為180°-∠4-∠3=180°-120°-45°=15°，因此，∠1=15°，所以本題答案為15°.

方法二 如圖6，過(guò)兩三角板的公共頂點(diǎn)P作紙條邊AB的平行線，這樣，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠2=∠1，也就將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為∠2的度數(shù)問(wèn)題，而觀察圖形可知∠2與∠3的度數(shù)和為45°，因此，只需要求得∠3的度數(shù)即可.根據(jù)平行線的性質(zhì)，還可知PQ與CD也是互相平行的，因此∠3=∠4=30°，顯然∠2=45°-∠3=45°-30°=15°，所以∠1=15°，因此答案為15°.

方法三 如圖7，觀察圖形，可以知道∠AEP=∠DPC=90°，因此，圖形中還隱含著兩直角邊AE、DP是互相平行的.如果延長(zhǎng)AE交邊CD于點(diǎn)Q，那么就可以應(yīng)用平行線的性質(zhì)，∠PDC=∠AQC=60°.又根據(jù)紙條邊AB、CD是一組平行線，這樣根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BAQ=∠AQC=60°，而觀察圖形可知，∠BAQ是由∠EAP與∠1組成的，因此，只需知道∠EAP的度數(shù)即可.所以，∠1=∠BAQ-∠EAP=60°-45°=15°.

同學(xué)們，轉(zhuǎn)化是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中常見(jiàn)的一種解題策略，需要我們熟練地抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，要學(xué)會(huì)使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化、陌生的問(wèn)題熟悉化、抽象的問(wèn)題具體化的本領(lǐng).

（作者單位：江蘇省建湖縣教育局教研室）