三垂線定理教學(xué)初探

文/鐘瑜

一、如何教學(xué)三垂線定理

(一)研究背景

在數(shù)學(xué)教學(xué)的探討這一方面，前人已經(jīng)做了相當(dāng)多的研究。紹興師專學(xué)報刊登的《論數(shù)學(xué)方法的教學(xué)》、南京師范大學(xué)韓龍淑博士提出的《數(shù)學(xué)啟發(fā)式教學(xué)研究》、東北師范大學(xué)劉先茹提出的《高中數(shù)學(xué)問題解決及其教學(xué)研究》、華東師范大學(xué)的吳駿博士提出的《基于數(shù)學(xué)史的統(tǒng)計概念的教學(xué)研究》等等。在教學(xué)的這個方面，學(xué)者們都下了不少的功夫，從各個層面去分析教學(xué)上的問題，以達(dá)到把我們的數(shù)學(xué)知識點在課堂上更加完美的呈現(xiàn)出來的目的。這樣的研究也有力的推動了我國數(shù)學(xué)文化的發(fā)展。

三垂線定理及其逆定理是整個立體幾何的一個典型代表，是立體幾何的一個重要定理。①三垂線定理是立體幾何知識的樞紐——三垂線定理在線面垂直的基礎(chǔ)上來研究直線間垂直關(guān)系的重要定理，它闡明了平面的斜線、射影以及平面內(nèi)的直線三者的垂直關(guān)系，溝通了線線關(guān)系、線面關(guān)系，為今后學(xué)習(xí)面面垂直，空間角、多面體與旋轉(zhuǎn)體的性質(zhì)等奠定基礎(chǔ)。并且，三垂線定理及其逆定理因涉及的概念較多、在立體幾何的證明中應(yīng)用較廣而成為立體幾何的重點。②三垂線定理有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力——三垂線定理及其逆定理是培養(yǎng)高中學(xué)生空間想象力和邏輯思維能力的重要內(nèi)容之一。只要圍繞三垂線定理合理進(jìn)行解題變式的訓(xùn)練，將對學(xué)生的多種能力的培養(yǎng)有更加重要的、獨到的作用。

當(dāng)然，在三垂線定理的教學(xué)探討上，很多學(xué)者也已對其進(jìn)行了分析、解剖。他們分別對這個課題從講解的角度進(jìn)行一一分析，對學(xué)生能力的培養(yǎng)，突破三垂線定理的教學(xué)的難點方法，三垂線定理的利弊等各方面進(jìn)行探討。他們提出問題的同時也發(fā)表自己相應(yīng)的觀點，并且以與學(xué)生共同探討的思想進(jìn)行教學(xué)。目前在對教學(xué)探討上的研究仍是以數(shù)學(xué)方法、部分?jǐn)?shù)學(xué)問題為主要方面，已有的教學(xué)探討對學(xué)生的學(xué)習(xí)情緒缺乏關(guān)注。本次筆者研究主要是基于前人的基礎(chǔ)上，分析出教師、學(xué)生這兩大因素給教學(xué)帶來的影響，根據(jù)這些影響尋求到一個較好的解決方案。

(二)如何進(jìn)行三垂線定理的講解

三垂線定理及其逆定理本身來說并不是十分復(fù)雜的，但很多學(xué)生對定理的理解往往浮于表面。這就要求教師在教學(xué)的過程中應(yīng)該注意以下幾個方面：一是，要強化三垂線定理的條件。教師在教學(xué)過程中要仔細(xì)的向?qū)W生剖析出三垂線定理的內(nèi)容中的條件，和學(xué)生一起探討出三垂線定理中的條件與結(jié)論的含義。特別是要強調(diào)“平面內(nèi)的一直線、這個平面的一條斜線、這條斜線在該平面內(nèi)的射影”等一系列極其容易被忽視的條件；二是，教師應(yīng)該在本堂課揭示三垂線定理及其逆定理的實質(zhì)。三垂線定理及其逆定理都是研究線與線的垂直關(guān)系的，他們要揭示的實質(zhì)都是：平面的一條斜線與該斜線在平面內(nèi)的射影必然是同時垂直于該平面的某一條直線的。而這條斜線與其射影所垂直的那條平面的直線與斜線存在兩種關(guān)系，要么相交，要么異面。無論他們是什么樣的關(guān)系，教師只要抓住三垂線定理及其逆定理的實質(zhì)，這樣有助于學(xué)生更好的理解，把握三垂線定理及其逆定理的知識點；三是，應(yīng)該理清三垂線定理的結(jié)構(gòu)關(guān)系。教師在教學(xué)三垂線定理的過程中，學(xué)生學(xué)習(xí)定理的一大難點是一時分不清楚各條直線之間的關(guān)系，教師應(yīng)該幫助學(xué)生理清楚我們本節(jié)課所要涉及的面與線，線與線之間的關(guān)系，在教學(xué)的過程中給定一個支架圖，標(biāo)明本節(jié)課所要涉及的面，線，讓學(xué)生一目了然的觀察出三垂線定理及其逆定理的條件與結(jié)論無非僅涉及了四線、三垂以及一平面，相信在這個環(huán)節(jié)，學(xué)生能清楚的了解到這四線分別是哪些，三垂是哪些線與線的垂直，面與線的垂直。在實際的學(xué)習(xí)中學(xué)生一定要先找到兩個垂直，再推出第三個垂直，這樣在以后的應(yīng)用中就要容易許多。

在講完以上三點之后，教者可以安排以下的幾個問題，幫助學(xué)生明辨是非，消除對定理定義的模糊理解。

例題1下列命題是否正確，為什么？

(1)和平面斜線垂直的直線也和斜線在該平面內(nèi)的射影垂直。

(2)直線a是平面α的斜線，直線b垂直于a在平面內(nèi)的射影，則a⊥b.

(3)直線a是平面α的斜線，平面β內(nèi)的直線b垂直于直線a在平面α上的射影，則a⊥b.

(4)直線a是平面α的斜線，平行于平面α的直線b垂直于直線a在該平面的射影，則a⊥b.

這四個命題中，僅有命題(4)是正確的，由這四個命題，我們進(jìn)一步的強調(diào)了三垂線定理及其逆定理的相關(guān)條件和結(jié)論，而且，我們可以看出，三垂線定理及其逆定理的成立，都要求這四線是相對于同一個平面而言。

(三)正確區(qū)分三垂線定理及其逆定理

三垂線定理及其逆定理在理論上的敘述是極其的相似，因而，很多的學(xué)生在學(xué)習(xí)三垂線定理及其逆定理時很容易將它們的定義混淆，很多學(xué)生往往說不清楚誰是原定理，誰是逆定理，從而導(dǎo)致學(xué)生在知識的把握上感到頭疼。對此，我們教師就應(yīng)該設(shè)法講清二者的區(qū)別，找到一種適合學(xué)生記憶的簡單的鑒別方法。事實上，三垂線定理是判定平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線即平面外的一條直線的垂直關(guān)系，那么我們就可以簡單記為判定平面“內(nèi)、外”直線的垂直關(guān)系。而三垂線定理的逆定理是判定平面內(nèi)的一條直線與平面的斜線在該平面內(nèi)的射影的垂直關(guān)系，那么我們就可以簡單的記為判定平面“內(nèi)、內(nèi)”直線的垂直關(guān)系。在蔣建華《優(yōu)化三垂線定理教學(xué)之管見》中表明教學(xué)中將這兩個簡單的記憶方式引出來，便易將三垂線定理及其逆定理更好的區(qū)分開來，并且這樣的教學(xué)方法使得教學(xué)效果顯著。

(四)三垂線定理及其逆定理是爪子定理的特例

在高中數(shù)學(xué)中，三垂線定理及其逆定理是爪子定理的一個特列所在，那么什么是爪子定理呢，我們一起來看一下。

爪子定理：如下圖所示，過平面α外一點O引一條斜線，交該平面于點A，過O點做平面α的垂線，交平面α于點B，連接直線AB，過點A做射線AC，AC在平面α上，所以有cos∠OAC=cos∠ BACcos∠ OAB， 當(dāng) ∠ BAC =90度，必有∠OAC =90度，此時為三垂線定理；當(dāng)∠OAC =90度，必有∠BAC=90度，此時為三垂線定理的逆定理。中，自然而然的學(xué)會知識點的連線，總的來說，這一步的教學(xué)，有著重大意義。

(五)如何靈活應(yīng)用三垂線定理及其逆定理

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，教師對三垂線定理及其逆定理的教學(xué)，主要是為了能讓學(xué)生靈活的應(yīng)用三垂線定理及其逆定理，使得學(xué)生在遇到實際的問題時能運用三垂線定理及其逆定理進(jìn)行解決。很多同學(xué)在學(xué)習(xí)了三垂線定理之后，遇到問題總是繞道而行，不知如何應(yīng)用，那么教師在教學(xué)的過程中，應(yīng)該著重的引導(dǎo)學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)用定理的能力，強化利用定理解題的意識。在教學(xué)的過程中我們要適度的利用例題的講解，充分借助平面位置變化打破學(xué)生的定勢思維習(xí)慣。因為三垂線定理及其逆定理都是四線相對于一個平面而言的，我們在解題的過程中，圖示可能存在幾個平面，那么我們應(yīng)該選擇一個適當(dāng)?shù)膮⒖枷颠M(jìn)行思考。在確定二面角的平面角的過程中應(yīng)用三垂線定理法，從而進(jìn)一步深化三垂線定理的功能。

例題 如圖1-110，MA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，且MA= AB=A.試求：

(1)點M到BD的距離；

所以我們應(yīng)該在講解這些知識點時，做一個適當(dāng)?shù)逆溄樱屗鼈兟?lián)系起來，這樣，學(xué)生更容易理解知識點，并且能拓展自己的知識面，看到爪子定理，自然而然腦海中就浮現(xiàn)三垂線定理及其逆定理的相關(guān)概念以及相關(guān)的知識點，能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

分析：(1)首先在讀題目時應(yīng)該分析好已知條件是哪些，并在圖紙上進(jìn)行一個標(biāo)注，為后面解題做好準(zhǔn)備，拿到一道題，不要急著下手，應(yīng)該先思考這道題的實質(zhì)是什么，要用到什么知識點。從第一小問，我們可以分析出，要求解點M到直線BD的距離，即要求解點M到BD直線垂線長。那么我們就要試著去尋找這條垂線。從題設(shè)，我們可以看出，要求解出線線垂直，而且相對于一個平面，那么我們就可以試著構(gòu)造出四線，使得可以使用三垂線定理。我們記BD線段的中點為點O，連接AO，MO，由于四邊形ABCD為正四邊形，就可以得到AO垂直于BD，又因為AM垂直于正四邊形所在面，那么MO的射影為AO，從未得到MO垂直于BD，固線段MO為M到直線BD的距離，根據(jù)題目給出的數(shù)據(jù)就可以計量出其大小。在解題的過程中，我們需要充分的利用條件，依據(jù)題目和對圖形的分析，進(jìn)而理清了本題的解題思路，而本題也正是利用三垂線定理進(jìn)行了解題。本題目涉及了空間想象力，學(xué)生的觀察力，教師的有效引導(dǎo)。此題簡單易上手，學(xué)生在初步感受三垂線定理的應(yīng)用的同時，也減輕其學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。最后安排一兩道類似例題，從而提升學(xué)生應(yīng)用三垂線定理及其逆定理的能力，增加學(xué)生學(xué)習(xí)空間幾何的信心。

(六)三垂線定理教學(xué)方法分析

本節(jié)課的教學(xué)，主要體現(xiàn)了建立模型、啟發(fā)引導(dǎo)、猜想論證、學(xué)習(xí)應(yīng)用、發(fā)展能力的教學(xué)思想。讓學(xué)生動手做模型，教師演示指導(dǎo)，讓學(xué)生直觀地感受到空間線面、線線關(guān)系的變化。再在教師的引導(dǎo)下思考線面、線線垂直存在的因果關(guān)系，逐步推理，猜想命題，論證命題，從而發(fā)現(xiàn)定理，揭示定理的實質(zhì)。對定理的應(yīng)用，只要求學(xué)生在理解定理的基礎(chǔ)上理清應(yīng)用定理證題的一般步驟，學(xué)會證明一些簡單問題。大部分學(xué)生認(rèn)為空間幾何是整個高中數(shù)學(xué)的難點，所以在教學(xué)的過程中，學(xué)生學(xué)習(xí)起來總有畏懼心理。本節(jié)課的設(shè)計，能充分的讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)模型的魅力。安排的例題簡單易懂，讓學(xué)生輕松的接受，自然而然將心態(tài)放平。我們在教學(xué)的過程中，教師應(yīng)該時時刻刻鼓勵學(xué)生動手、動腦，時時關(guān)心學(xué)生，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中與教師能建立起一種平等的關(guān)系。教學(xué)矛盾的主要方面是學(xué)生的學(xué)，學(xué)是中心，會學(xué)是目的，因此要在教學(xué)中不斷指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)。根據(jù)立體幾何的教學(xué)特點，本節(jié)課主要是教給學(xué)生“動手做、動腦想、大膽猜、嚴(yán)格證、多訓(xùn)練、勤鉆研”的研討式學(xué)習(xí)方法，這樣做教給了學(xué)生獲取知識的途徑，思考問題的方法，增加了學(xué)生的參與機會，增強了參與意識，，使學(xué)生真正能成為學(xué)習(xí)的主體。也只有這樣做，才能使學(xué)生“學(xué)”有

新“思”，“思”有所“得”，“練”有新“獲”，學(xué)生才會逐步感受到數(shù)學(xué)的美，會產(chǎn)生一種成功感，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；也只有這樣做，才能適應(yīng)素質(zhì)教育下培養(yǎng)“創(chuàng)新型”人才的需要。同時本節(jié)課還應(yīng)用了比較法，對三垂線定理及其逆定理進(jìn)行比較，分析其相同點及其不同點，從而強化對三垂線定理與其逆定理的理解與記憶。

二、結(jié)束語

本文對高中數(shù)學(xué)的教學(xué)進(jìn)行了分析和研究，通過本文的探討，我們了解到，數(shù)學(xué)這門科學(xué)不是我們所想的那么簡單的就能詮釋，一堂課的好壞不是這位老師講得有多么棒，而是在于學(xué)生學(xué)得有多么好，學(xué)得有多么自在，多么輕松，其中包含了許許多多的教學(xué)技巧。我們要深入教學(xué)的“四基”思想——基礎(chǔ)知識，基本技能，基本思想，基本活動經(jīng)驗。注重學(xué)生心理的發(fā)展，在教學(xué)的過程中，要注重教學(xué)的有效性，真實性，教學(xué)要符合學(xué)生的認(rèn)知水平，在整個課堂的教學(xué)中要注重學(xué)生的參與性，我們要盡量將課堂交給學(xué)生。教師掌握了學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，便能更有效的完成教學(xué)任務(wù)，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中自然而然就會表現(xiàn)的更輕松，學(xué)的更好。另外，在教學(xué)中我們應(yīng)該充分的讓學(xué)生了解本節(jié)課的教學(xué)課程實質(zhì)所在，真正的把握教學(xué)內(nèi)容，從而解決實際問題，進(jìn)而不斷的促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)上的進(jìn)步。

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