用相對論分析數(shù)學(xué)空間

廣西壯族自治縣凌云縣中學(xué) 黃星銘

猶太裔物理學(xué)家阿爾伯特·愛因斯坦于1915年發(fā)表《廣義相對論》；于1921年發(fā)表《狹義相對論》。起初，很多人不理解他的意思，甚至視他為瘋子。直到他的理論被世界逐一證實，他的思想才逐漸被人們所接受。

今天，我們用相對論深入分析數(shù)學(xué)空間，一可加深認識，二可創(chuàng)新思維，不斷變式思維，拓展數(shù)學(xué)研究。

一、點是最基本的數(shù)學(xué)空間

“點”只有位置。數(shù)軸上的一點A與一個實數(shù)a一一對應(yīng)。相對于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一點A′，則要用橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y，即有序數(shù)對(x,y)才能表示出點A￠的位置。而相對于空間直角坐標(biāo)系內(nèi)的任一點A″，則要用橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y、豎坐標(biāo)z，即有序數(shù)組(x,y,z)才能表示出點A″的位置。相對來說，要考察的“點”空間不同，所用的“維度”就不同。

“點”沒有大小之分。相距無窮遠的兩顆宇宙星體A、B，客觀上它們均有各自的形態(tài)、面積、體積等等概念空間。然而，由于它們相距無窮遠，相對來說，兩顆宇宙星體已經(jīng)失去了輪廓形態(tài)概念，高度濃縮成兩個點就可以用兩點間的距離近似看作這兩顆星體之間的距離。顯然，如果兩顆星體的距離不夠遠，它們的距離是不能這樣計算的。

二、線是點運動的數(shù)學(xué)空間

點動成“線”。相對來說，點A沿直線移動至點B處，可記作若從點B沿直線移動至點A處，則記作。顯然，是相反矢量，長度相等，但是方向相反；一個來回，路程是2|AB|，位移卻為0?？梢姡c的移動是一種矢量運動。

“線”有曲直。直線是一種很簡單的軌跡，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)它的軌跡方程是一次函數(shù)y＝k·x＋b，k為直線的斜率。相對來說，像圓，橢圓，雙曲線，拋物線，螺旋線，…，這些軌跡不是直線。如果曲線整體共面，可以用平面直角坐標(biāo)系來研究它們的軌跡方程。像圓心在（0,0）、半徑為1的單位圓方程就為x2＋y2＝1；長軸為4、短軸為1、焦點在橫軸上的橢圓方程就為x2＋4y2＝4；實軸為4、虛軸為1、焦點在橫軸的雙曲線方程就為x2－4y2＝4；頂點在原點、焦準(zhǔn)距為4、開口向右的拋物線方程就為y2＝4x。像螺旋線，這種曲線整體經(jīng)常不共面，我們要在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)考察它，它的軌跡方程就不容易測算了。

曲線的性質(zhì)是相對而言的。函數(shù)的變化率有快有慢，像指數(shù)函數(shù)y＝2x的圖象呈現(xiàn)出“爆炸式”的快速增長勢態(tài)，而對數(shù)函數(shù)y＝log2x的圖象則呈現(xiàn)出“蝸牛式”緩慢增長勢態(tài)，這個變化率的極限就是函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)y￠。曲線的單調(diào)性有增有減，從左至右看指數(shù)函數(shù)y＝2x、對數(shù)函數(shù)y＝log2x的圖象均呈現(xiàn)出“上升”勢態(tài)，但是從右至左來看，卻呈現(xiàn)出“下降”勢態(tài)，可用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)y￠來討論單調(diào)性。曲線有凹有凸，從一側(cè)看是“凹”的，像指數(shù)函數(shù)y＝2x圖象呈現(xiàn)出“兩頭高中間低”的向下凹勢態(tài)，曲線y＝log2x呈現(xiàn)出“兩頭低中間高”的向上凹勢態(tài)，但是從曲線的另一側(cè)來看，則是“凸”的，可用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)y″來討論凹凸性。

“線”占據(jù)一定的長度空間。因為點的一次矢量運動是不可能形成“面”的概念，最多留下“框架結(jié)構(gòu)”。

“線”沒有粗細之分。一根很長很粗的鋼管，如果把它放置在我們眼前適當(dāng)遠的位置，相對來說，鋼管的“粗細”概念好像失去了，只留下“一根線”的視覺印象。

三、面是線運動的數(shù)學(xué)空間

線動成“面”。在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，若把橫軸x沿縱向無限平移，就形成“水平面xoy”；若把橫軸x沿豎直方向無限平移，就形成“豎直面xoz”；若把曲線y=x2若豎直方向無限平移，就留下一個“凹槽的拋物面”；“球面”也是一個曲面。顯然，“面”分“平面”或“曲面”。“平面”是無限平直延展的，沒有大??；然而，存在封閉的“曲面”，像籃球、排球等球面。

“面”沒有厚薄之分。長100米、高3米、厚2米的長方體墻面矗立在我們的跟前，相對來說，它的正視圖是一個“長100米、寬3米的長方形”，側(cè)視圖是一個“長2米、寬3米的長方形”，俯視圖是一個“長100米、寬2米的長方形”，不管視角如何，失去了“厚度”概念。

“面”是實心的。“線”的直線運動是無數(shù)個“點”的矢量運動，它們占據(jù)了一定的面積空間，顯然“面”不是空心的。像三角形，平行四邊形，梯形，圓，扇形，…，這些平面區(qū)域的面積可直接套用公式，計算難度不大。

四、體是面運動的數(shù)學(xué)空間

面旋動成“體”，造就了柱體，錐體，臺體，球體，…，這些簡單多面體有旋轉(zhuǎn)軸。由若干個柱體、錐體、臺體、球體等等簡單多面體組合得空間組合體。一個“體”必須要用三維空間來刻畫。

“體”有凹凸之分。凸多面體的任意一個側(cè)面無限延展，“體”均在這個平面的同一側(cè)，像簡單多面體、由簡單多面體組合得空間組合體均是凸多面體。若把“體”的一個側(cè)面無限延展，“體”不在這個平面的同一側(cè)，它是凹多面體。若在柱體、錐體、臺體、球體等等簡單多面體內(nèi)挖出部分簡單幾何體，則余下部分是凹多面體。

“體”它們是實心的?！懊妗钡囊苿邮菬o數(shù)個“點”的矢量運動，占據(jù)了一定的宇宙立體空間。像柱體、錐體、臺體、球體…等規(guī)則空間幾何體的體積容易計算，可以套用公式。像V柱體＝底面積X高；V錐體＝底面積X高÷3；V球體＝ 而V臺體＝[上底面積＋上底面積與下底面積的幾何平均數(shù)＋下底面積]X高÷3。

組合體的體積可先分割成若干個柱體、錐體、臺體、球體等規(guī)則空間幾何體，再進行計算它們的體積總和。

定義在有界閉區(qū)域R上的正值連續(xù)函數(shù)f(x,y) 為曲頂?shù)那斨w的體積V，通常要“無窮分割”?“近似替代求面積”?“精確求面積和”?“求極限”，由二重積分測算出曲頂柱體的體積V。

在立體空間或空間的一部分V上分布著某一種物理量，V就構(gòu)成一個“場”。像物體的溫度場，大氣壓力場，空間的引力場，液體的速度場，能量場，…。一般來說，“場”可分為兩類，第一類是數(shù)量場，像密度場，溫度場，…；第二類是向量場，像引力場，速度場，…。盡管每種場都有各自的物理特性，但是在數(shù)量關(guān)系上各類場都有相同的數(shù)學(xué)形式。數(shù)量場f(x,y,z)在點P（x,y,z）的梯度表為grad(P)，即數(shù)量場的梯度是一個向量場。在溫度場中，熱是由溫度高處流向溫度低處，沿著梯度相反方向流動最快。在電勢場中，電場強度E等于電勢的梯度grad(U)，但是二者方向相反。然而，我們對“場”認識是初步的，尚需不斷研究它們的共性。

總之，用相對論審視數(shù)學(xué)空間，可以推動數(shù)學(xué)的拓展，深刻認識宇宙空間。