提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的幾條途徑

黃耀平

[摘 要] 教師在教學(xué)中，能否提高學(xué)生的解題能力，直接關(guān)系到學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成功與否. 本文結(jié)合教學(xué)實踐與思考，闡述提高數(shù)學(xué)解題能力的4種有效途徑：理解概念定理，總結(jié)規(guī)律方法，探究知識的延伸，關(guān)注非智力因素的應(yīng)用等. 這些方法在教學(xué)實踐中對于提高學(xué)生的解題能力起到了一定的幫助.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)；解題能力；途徑

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實際上是一種能力的學(xué)習(xí)，只有學(xué)生的解題能力提高了，成績才會出來，才算把數(shù)學(xué)學(xué)到了手. 那如何才能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力呢？

從基礎(chǔ)入手，深入理解概念定理

數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)是一個不斷扎實累積的過程，對于基礎(chǔ)內(nèi)容必須尤為關(guān)注. 也只有將知識基礎(chǔ)夯實了，才有可能以之為工具去解答具體的數(shù)學(xué)問題. 也只有從根本上將知識內(nèi)容把握住了，學(xué)生在面對復(fù)雜問題時才能有所依據(jù)，游刃有余. 具體來講，高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)部分主要指的就是概念與定理，它們就像是構(gòu)成知識大廈的一磚一瓦，對于之后的問題解答起著至關(guān)重要的作用.

例如，在對函數(shù)知識進行教學(xué)時，對其概念的理解是第一步. 然而，很多學(xué)生卻沒有產(chǎn)生足夠重視. 于是，筆者在課堂上提出了這樣一個問題：若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”. 那么，函數(shù)解析式為f（x）=x2，值域為{1，4}的“同族函數(shù)”共有多少個？這個問題的提出，將學(xué)生的注意力馬上轉(zhuǎn)移到了對解析式、定義域、值域等基本概念的關(guān)注上. 這不僅引起了大家對于基本知識內(nèi)容的重視，還讓學(xué)生很自然地回到了知識初始，重新對相關(guān)概念進行鞏固理解，效果很好.

很多學(xué)生在剛剛接觸一個新的知識內(nèi)容時，往往對于概念定理等基本知識內(nèi)容的重視程度不夠，認(rèn)為這些都是程式化的東西，總是蜻蜓點水一帶而過. 如此薄弱的知識基礎(chǔ)將會為具體問題的解答帶來極為嚴(yán)重的阻礙. 當(dāng)已經(jīng)進入到問題解答階段再發(fā)現(xiàn)這些基礎(chǔ)問題時，就有些為時已晚了，彌補修復(fù)的精力也會大大增加. 因此，在第一時間夯實知識基礎(chǔ)，是培養(yǎng)解題能力的第一步.

從過程入手，細(xì)致總結(jié)規(guī)律方法

當(dāng)然，解題的主體過程是解題能力得以表現(xiàn)的核心環(huán)節(jié)，自然也是培養(yǎng)學(xué)生解題能力的主要入手點. 在這之中，教師要做的是將解題的過程放慢，并不斷細(xì)化，加強學(xué)生的過程性體驗，從中總結(jié)出對應(yīng)不同特點數(shù)學(xué)問題的規(guī)律方法，由此提高效率，強化能力. 相比于具體知識內(nèi)容的學(xué)習(xí)來講，這個總結(jié)方法的工作顯然難度加大了. 教師應(yīng)當(dāng)對此加入適當(dāng)?shù)母深A(yù)和引導(dǎo)，輔助規(guī)律方法的發(fā)現(xiàn)順利進行.

例如，在對直線與平面垂直的性質(zhì)的內(nèi)容進行教學(xué)時，學(xué)生遇到了這樣一個問題：如圖1所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面四邊形ABCD是矩形，且AD=3AB，點E是底面的邊BC上的動點，設(shè)BE ∶ BC=λ（0<λ<1），則滿足PE⊥DE的λ值有多少個？這個問題的提法有些開放性的特點，讓不少學(xué)生有些犯難. 在對之進行講解時，筆者不僅將解題過程予以體現(xiàn)，更抓住了其中的思維關(guān)鍵，即判定點E在以AD為直徑的圓上，作為本類題目解答的核心加以闡釋. 這不僅讓學(xué)生明白了三垂線定理以及直線與圓的位置關(guān)系內(nèi)容的運用方向是什么，更明確了類似問題的思維目標(biāo). 先明確了分析目標(biāo)，再由已知條件推導(dǎo)思路，顯然會高效許多，這就是學(xué)生在練習(xí)當(dāng)中所要感悟的規(guī)律與方法.

掌握規(guī)律與方法對于高中數(shù)學(xué)解題過程來講，是一條頗具價值的捷徑，更是解題能力提升的關(guān)鍵. 尋找規(guī)律方法的同時，實際上就是一個在對數(shù)學(xué)問題總結(jié)特點、進行分類的過程. 找到方法之后，學(xué)生自然已經(jīng)對相關(guān)問題完成了具體且深入的分析，對于當(dāng)前方法的印象也必然更加明確深入. 在這樣的思路引導(dǎo)下，學(xué)生的解題能力也隨之實現(xiàn)了明顯強化.

從思維入手，靈活探究延伸知識

如果說從方法入手，是具化角度的能力關(guān)注，那么，如果想要繼續(xù)實現(xiàn)更高層次的解題能力的提升，就要站在思維的高度設(shè)計教學(xué)活動了. 在對教學(xué)活動與數(shù)學(xué)問題進行設(shè)計時，教師要抬高視野，提前想到這會引發(fā)學(xué)生的何種思維方式與活動，且這樣的思維效果是不是本次課堂教學(xué)所預(yù)期的. 從這個角度出發(fā)開展教學(xué)，顯然能夠更加準(zhǔn)確地指向?qū)W生的解題能力，教學(xué)效果自然也就更為理想.

例如，在對空間角和距離的內(nèi)容進行教學(xué)時，筆者為學(xué)生提出了這樣一個問題：如圖2所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱AA1與AB，AC均成45°角，且A1E⊥B1B于點E，A1F⊥CC1于點F. （1）求點A到平面B1BCC1的距離；（2）當(dāng)AA1多長時，點A1到平面ABC與平面B1BCC1的距離相等. 在這個問題中，第一問是比較基本的問題，而到了第二問就顯現(xiàn)出靈活探究的特征了. 對此，筆者將學(xué)生進行分組，由大家相互討論，自由尋找問題解答的突破點. 在這樣的訓(xùn)練之下，學(xué)生漸漸開始敢于打開思維、表達(dá)思想了，解題能力也在這個過程中明顯進步了.

不難發(fā)現(xiàn)，從思維角度進行的教學(xué)設(shè)計更易于瞄準(zhǔn)知識延伸的部分做文章. 特別是在高中階段的知識教學(xué)當(dāng)中，教師不能再僅僅滿足于基本的知識內(nèi)容，而是要將之拓展至靈活思維的領(lǐng)域，對既有知識進行深入探究，不斷拓展學(xué)習(xí)外延，將學(xué)生的學(xué)習(xí)收獲實現(xiàn)由知識到能力的增強. 通過教學(xué)實踐中的相關(guān)活動設(shè)計，學(xué)生很順利地走到了自主探究的路徑之中，思維能力也較從前提升了許多.

從環(huán)境入手，關(guān)注智商之外的因素

前文所述的因素都是從數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)本身的角度提出的，我們可以將之統(tǒng)稱為智力因素，即與學(xué)生對于知識內(nèi)容的主觀反映有關(guān)的影響因素. 除此之外，還有一個重要的影響來源是不容忽視的，那就是以教學(xué)環(huán)境為代表的智力外因素. 通過與很多高中數(shù)學(xué)教師進行交流探討，筆者發(fā)現(xiàn)，智力之外的影響因素總是沒有被教師納入教學(xué)設(shè)計的考慮，其對于數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)所具有的作用自然也就鮮少得到彰顯了. 這是高中數(shù)學(xué)教學(xué)之中的一個重大誤區(qū)，需要廣大教師及時意識到并加以必要的重視.

例如，在對解析幾何中的雙曲線內(nèi)容進行教學(xué)時，筆者將基本內(nèi)容呈現(xiàn)完畢后，并沒有繼續(xù)以理論性的語言進行知識運用方面的教授，而是為學(xué)生設(shè)置了一個以實際應(yīng)用為背景的問題：某工程要將直線公路l一側(cè)的土石，通過公路上的兩個道口A和B，沿著道路AP，BP運往公路另一側(cè)的P處，PA長為100米，PB長為150米，∠APB的度數(shù)為60°. 試說明：怎樣運輸土石能夠最省工時？這種實際操作氛圍下的問題解決，很容易引起學(xué)生的關(guān)注熱情. 在積極主動的問題分析當(dāng)中，大家意識到了雙曲線知識的適用. 這樣的實踐環(huán)境，不僅提升了大家的學(xué)習(xí)熱情，更為學(xué)生打開了學(xué)以致用的思維通道. 養(yǎng)成了勤于聯(lián)系實際的思維習(xí)慣后，對于解題能力的促進將是十分顯著的.

在高中階段知識教學(xué)的嚴(yán)峻壓力之下，課堂學(xué)習(xí)環(huán)境的構(gòu)建已經(jīng)很少能引起教師們的重視了，然而它對于學(xué)生思維能力的影響卻是很大的，整體學(xué)習(xí)氛圍對于學(xué)生思維的干預(yù)是潛移默化的. 如果教師能夠?qū)⒄n堂教學(xué)環(huán)境創(chuàng)設(shè)好，把控好，很多思維訓(xùn)練的要求無須直截了當(dāng)?shù)靥岢?，而是可以將相關(guān)措施融入環(huán)境氛圍當(dāng)中. 以非智力因素來激發(fā)學(xué)生的求知熱情，并逐步探尋應(yīng)有的思維模式，其教學(xué)效果往往更加事半功倍.

通過對解題過程進行分析不難發(fā)現(xiàn)，不同的解題環(huán)節(jié)與不同的問題內(nèi)容形式對于解題能力的要求都是不盡相同的. 因此，教師在以解題能力為前提進行教學(xué)設(shè)計時，需要不斷開闊視野，盡可能地將能力培養(yǎng)的覆蓋面擴展，借助多樣化的問題體驗來感受不同的解題方式，并從影響解題能力形成的多種因素綜合入手，力爭在最少的精力消耗下實現(xiàn)最優(yōu)的解題能力提升. 本文當(dāng)中所討論的是筆者在教學(xué)實踐中認(rèn)為比較關(guān)鍵的幾個切入角度，希望能夠為廣大教師提供啟發(fā)，發(fā)掘出更多更好的解題能力培養(yǎng)路徑，為富有實效的高中數(shù)學(xué)教學(xué)增光添彩.