例說解析幾何常見小誤區(qū)

鄢文俊

在解析幾何問題的繁難和靈活多變等方面，同學(xué)們通過努力學(xué)習(xí)都可以取得一些良好地突破，但在考試得分上又總是不太理想. 大多數(shù)人總以為是由一些偶然因素——粗心大意造成的，其實(shí)是因?yàn)橐恍]引起注意的誤區(qū)而“必然”形成了這些失誤.

直線的傾斜角與斜率

對直線傾斜角的定義掌握不準(zhǔn)確，因忽視斜率不存在的情況而導(dǎo)致誤判或漏解.

例1 直線[x+cosθ?y-1=0]的傾斜角[α]的取值范圍為________.

錯解 [θ∈[π4，π2）]

分析 （1）對直線傾斜角的定義、傾斜角的范圍掌握不準(zhǔn)確；（2）遺漏斜率不存在的情況；（3）由斜率范圍推導(dǎo)傾斜角的范圍時出現(xiàn)錯誤.

正解 （1）當(dāng)[cosθ=0]時，[α=π2].

（2）當(dāng)[cosθ≠0]時，[k=-1cosθ].

由[k∈（-∞，-1]?[1，+∞）]得，[α∈[π4，π2）?（π2，3π4]].

綜上所述，傾斜角[α]的取值范圍為[[π4，3π4]].

例2 已知橢圓[C：（x-1）24+y23=1]，點(diǎn)[F]為橢圓的右焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線[l]交橢圓[C]于[A，B]兩點(diǎn). 探究[FA?FB]是否存在最大值或最小值？若存在，求出最值；若不存在，請說明理由.

錯解 設(shè)[A，B]兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為[（xA，yA），（xB，yB）].

由題意得，橢圓的右準(zhǔn)線方程為[x=5].

由橢圓的第二定義得，

[FA=12（5-xA），F(xiàn)B=12（5-xB）].

所以[FA?FB=14[25-5（xA+xB）+xA?xB]].（*）

設(shè)直線[l]的方程為[y=kx]，代入橢圓方程消去[y]整理得，[（3+4k2）x2-6x-9=0].

所以[xA+xB=63+4k2，xA?xB=-93+4k2].

代入（*）式得，[FA?FB=14（25-393+4k2）∈[3，254）].

所以[FA?FB]的最小值為3，無最大值.

分析 設(shè)過原點(diǎn)的直線方程時忽視了斜率不存在（即[y]軸）的情況.

正解 （1）當(dāng)[l]的斜率不存在時，即有[FA?FB=254.]

（2）同上述錯解中的步驟.

所以[FA?FB]的最小值為[3]，最大值為[254].

點(diǎn)撥 解有關(guān)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題時，往往易遺漏直線斜率不存在的情況. 而這種情況因其位置或方程式的特殊性很容易作答與得分，要優(yōu)先考慮且優(yōu)先作答.

圓的方程

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的“標(biāo)準(zhǔn)性”與一般方程中的“必要條件”容易被忽視.

例3 已知圓[x2+y2+mx+2my+2m2+m-1=0]的圓心在直線[y=4mx+1]上，則[m=] .

錯解 圓[x2+y2+mx+2my+2m2+m-1=0]的圓心坐標(biāo)為[（-m2，-m）]，

由[-m=4m×-m2+1]得，[2m2-m-1=0].

所以[m=-12]，或[m=1].

分析 圓的一般方程形式下[D2+E2-4F>0]為其必要條件，否則該方程不能表達(dá)為圓.

正解 由[m2+（2m）2-4（2m2+m-1）>0]得，

[-2

又圓[x2+y2+mx+2my+2m2+m-1=0]的圓心[（-m2，-m）]在直線[y=4mx+1]上，

即[-m=4m×-m2+1]，即[2m2-m-1=0]，于是[m=-12]，或[m=1]（舍）. 故[m=-12].

點(diǎn)撥 若題中給定的圓是一般方程的形式并且含有參數(shù)時，要留意[D2+E2-4F>0]這一必要條件，或在轉(zhuǎn)化不煩瑣的情況下，先化成標(biāo)準(zhǔn)形式.

例4 已知點(diǎn)[A-3，1，B-4，3]，圓[C： x2+y2=m2]，當(dāng)圓與線段[AB]沒有公共點(diǎn)時，求[m]的取值范圍.

錯解 將題中的實(shí)數(shù)[m]當(dāng)成了圓的半徑，誤認(rèn)為[m>0].

分析 在表示圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，雖沒“約定”半徑一定得用字母[r]，但用字母[r]卻成了習(xí)慣，若利用其他字母表示時，就要標(biāo)識其取值范圍了.

正解 設(shè)[f（x，y）=x2+y2-m2]，由題意得，

[f（-3，1）?f（-4，3）<0]，即[4-m225-m2<0].

所以[m∈-5，-2?2，5].

點(diǎn)撥 堅守“約定俗成”的表達(dá)方式，在表達(dá)方式中出現(xiàn)另類模式時，應(yīng)注意可能產(chǎn)生的陷阱：如圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中原本是[r2]，而改變成了[m2]；又如拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程[y2=2px]中的“[p]”改寫成“[a]”等.

圓錐曲線問題

注重對橢圓、雙曲線及拋物線定義的理解. 在使用曲線與直線方程聯(lián)立解題時，運(yùn)算一定要“細(xì)致”，同時要巧妙使用韋達(dá)定理，并適時利用判別式加以檢驗(yàn).

例5 拋物線[y=4x2]的準(zhǔn)線方程為（ ）

A. [x=-1] B. [y=-1]

C. [x=-116] D. [y=-116]

錯解 B

分析 把方程錯當(dāng)成標(biāo)準(zhǔn)方程.

正解 D

點(diǎn)撥 二次函數(shù)的圖象為拋物線，在學(xué)習(xí)二次函數(shù)時的側(cè)重點(diǎn)是函數(shù)知識，其解析式為[y=ax2+bx+c][（a≠0）]（僅因變量在等式左邊）. 而圓錐曲線中的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為[y2=2px]，或[x2=2py（p>0）]（僅二次項(xiàng)在等式左邊）. 對拋物線[y2=ax]來說，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為[（a4，0）]，準(zhǔn)線方程為[x=-a4]；對拋物線[x2=ay]來說，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為[（0，a4）]，準(zhǔn)線方程為[y=-a4].

例6 求經(jīng)過點(diǎn)[（12，2）]，且與雙曲線[4x2-y2=1]僅有一個公共點(diǎn)的直線方程.

錯解 （1）當(dāng)[k]不存在時，直線[x=12]滿足題意.

（2）當(dāng)[k]存在時，設(shè)所求的直線方程為[y-2=k（x-12）]，代入雙曲線方程[4x2-y2=1]得，[（4-k2）x2-2k（2-12k）x-（14k2-2k+5）=0].

由[Δ=0]得，[k=52]. 故直線方程為[y=52x+34].

綜上所述，所求的直線方程為[x=12]，或[y=52x+34].

分析 在錯解的（2）中，利用判別式的前提是要明確方程是一元二次方程，否則會產(chǎn)生漏解.

正解 （1）當(dāng)[k]不存在時，直線[x=12]滿足題意.

（2）當(dāng)[k]存在時，設(shè)所求直線方程為[y-2=k（x-12）]，代入雙曲線方程[4x2-y2=1]得，[（4-k2）x2-2k（2-12k）x-（14k2-2k+5）=0].

①當(dāng)[k=2]時，直線方程為[y=-2x+1]，與雙曲線只有一個公共點(diǎn).

②當(dāng)[k=-2]時，直線方程為[y=-2x+3]，與雙曲線只有一個公共點(diǎn).

③當(dāng)直線和雙曲線相切時，由[4-k2≠0，Δ=0]得，[k=52]，直線方程為[y=52x+34.]

綜上所述，經(jīng)過點(diǎn)[（12，2）]且與雙曲線[4x2-y2=1]僅有一個公共點(diǎn)的直線方程有四條，它們分別為：[y=-2x+1]，[y=-2x+3]，[y=52x+34]，[x=12].

點(diǎn)撥 錯解中遺漏了的兩條直線[y=-2x+1]，[y=-2x+3]，實(shí)際上是過點(diǎn)[（12，2）]且與該雙曲線的兩條漸近線分別平行的直線. 很顯然，這樣的直線與雙曲線一定只存在一個交點(diǎn).

例7 已知雙曲線[x2-y22=1]，過點(diǎn)[P（1，1）]且被其平分的弦所在直線方程是（ ）

A. [2x-y-1=0] B. [2x+y-1=0]

C. [2x+y+1=0] D. 不存在

錯解 設(shè)所求弦所在的直線為[l]，它與雙曲線交于[A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）]兩點(diǎn).

因?yàn)辄c(diǎn)[P]為線段[AB]的中點(diǎn)，

于是有[x1+x2=2，y1+y2=2].

則[x12-y122=1， ①x22-y222=1. ②]

①-②，并整理得，[kAB=y2-y1x2-x1=2（x2+x1）（y2+y1）=2. ③]

由點(diǎn)斜式方程得，所求的直線方程為：[y-1=2（x-1）]，即[2x-y-1=0]，故選A.

分析 錯解中，由①②兩式可推出③式，但由③式不能反推出①②兩式，因此在運(yùn)算中可能會出現(xiàn)不等價. 事實(shí)上，命題涉及的范圍有被放大的可能，故應(yīng)對所求直線進(jìn)行相關(guān)檢驗(yàn)，采取必要的補(bǔ)救措施.

正解 同錯解中的步驟. 再由[2x-y-1=0，x2-y22=1]得，[2x2-4x+3=0]，而此方程無解. 說明此直線與雙曲線無交點(diǎn)，屬增解，應(yīng)舍去. 故應(yīng)選D.

點(diǎn)撥 在解析幾何的代數(shù)運(yùn)算中，常常要利用常規(guī)的變形或運(yùn)算，因此時刻要留意前后變形的等價性——充要關(guān)系. 若需要利用不等價變形，在不等價運(yùn)算后，應(yīng)及時采取補(bǔ)救措施，把遺漏的補(bǔ)全，把增加的舍掉.

例8 已知圓[O1：x2+y2=1]，圓[O2：x2+y2-10x+9]=0都內(nèi)切于動圓，試求動圓[M]的圓心的軌跡方程.

錯解 設(shè)動圓的圓心坐標(biāo)為[Mx，y]，半徑為[r]，由題意得，兩圓的圓心坐標(biāo)、半徑分別為[O1（0，0），O2（5，0）]，[r1=1，r2=4]，且有[r=O1M+1，r=O2M+4].

不難得到，[O1M-O2M=3].

即[x2+y2-（x-5）2+y2=3]，

化簡得，[16x2-80x-9y2+64=0].

即[（x-52）294-y24=1]為所求動圓圓心的軌跡方程.

分析 錯解中將[O1M-O2M=3]看成[O1M-O2M=3]，把動圓圓心的軌跡錯誤地認(rèn)為是整條雙曲線，這是對雙曲線定義的理解不清導(dǎo)致的.

正解 事實(shí)上，[O1M-O2M=3]只能表示其雙曲線右支，即所求的方程中應(yīng)增加[x≥4].

點(diǎn)撥 在解析幾何中，與直線或與圓相切（內(nèi)切，外切）而引起的軌跡問題，經(jīng)常可以用圓錐曲線的定義直接解題，但需注意正確運(yùn)用，防止出現(xiàn)遺漏或增加.

例9 在[Rt△ABC]中，[∠CAB=90°]，[AB=2，AC=][22]，點(diǎn)[D]是線段[AB]的垂直平分線上的一點(diǎn)，且點(diǎn)[D]到線段[AB]的距離為2，過點(diǎn)[C]的曲線[E]上任意一點(diǎn)[P]滿足[|PA|+|PB|]為常數(shù).

（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求出曲線[E]的方程.

（2）過點(diǎn)[D]的直線[l]與曲線[E]相交于不同的兩點(diǎn)[M，N]，且點(diǎn)[M]在[D，N]之間，若[DM=λDN]，求[λ]的取值范圍.

正解 （1）[x22+y2=1]（過程略）.

（2）①當(dāng)[l]與[y]軸重合時，

[DM=1，DN=3，λ=DMDN=13].

②當(dāng)[l]與[y]軸不重合時，設(shè)過[D（0，2）]的直線[MN]的方程為：[y=kx+2.]

由[y=kx+2，x22+y2=1]得，[（1+2k2）x2+8kx+6=0.]（易錯點(diǎn)）

[∴x1+x2=-8k1+2k2]，[x1x2=61+2k2>0]，

[Δ=64k2-24（1+2k2）>0.]（易漏點(diǎn)）

∴[k2>32]，即[k<-62]，或[k>62.]（暫不必細(xì)求，視后面情況而定——盲目點(diǎn)）

又由[DM=λDN]得，[λ=x1x2.]（如何變?yōu)榍骩λ]的范圍——難點(diǎn)）

[λ+1λ=x1x2+x2x1=（x1+x2）2x1x2-2]

[=20k2-63（1+2k2）=103-163（1+2k2）.]（易錯點(diǎn)）

∴[2<λ+1λ<103]，∴[13<λ<3].

∵[0<λ<1，]（易漏點(diǎn)）∴[13<λ<1].

綜上所述，[13≤λ<1.]（易忘點(diǎn)）

點(diǎn)撥 在解答這一類解析幾何題時，發(fā)現(xiàn)其思路大致成了一些固定的模式，如“點(diǎn)差法”“相關(guān)點(diǎn)法”“韋達(dá)定理法”等，但看似會處理的問題往往得分不盡人意，需要在類似上題解答中的一些易錯、易漏點(diǎn)上引起警惕，并應(yīng)避免因盲目計算而浪費(fèi)寶貴的時間，避免在會做的題上失分.