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    圓錐曲線焦點(diǎn)問題“面面觀”

    2017-03-07 15:50:26沈輝
    高中生學(xué)習(xí)·高二版 2017年2期
    關(guān)鍵詞:面面觀所求雙曲線

    沈輝

    圓錐曲線的焦點(diǎn)既給圓錐曲線定“位”,又直接影響著圓錐曲線中某些“量”的變化;另外,圓錐曲線的眾多性質(zhì)都依賴于焦點(diǎn),所以由焦點(diǎn)引發(fā)出圓錐曲線的許多問題倍受命題人青睞,在近幾年的高考中頻頻亮相. 本文主要從五個方面介紹與圓錐曲線焦點(diǎn)有關(guān)的問題.

    圓錐曲線的焦點(diǎn)“定位”問題

    例1 求過點(diǎn)(2,-2),且與[x22-y2=1]有相同漸近線的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

    解法一 分類討論法.

    由題意得,雙曲線[x22-y2=1]的漸近線方程為[y=±22x].

    (1)若所求雙曲線焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)所求雙曲線的方程為[x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)].

    則[ba=22],

    [∴b=22a]. ①

    又點(diǎn)(2,-2)在雙曲線上,

    [∴4a2-4b2=1]. ②

    聯(lián)立①②得,方程組無解.

    (2)若所求雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,設(shè)所求雙曲線的方程為[y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)].

    則[ab]=[22],[∴a=22b]. ①

    又點(diǎn)(2,-2)在雙曲線上,

    [∴4a2-4b2=1]. ②

    聯(lián)立①②得,

    [a2=2],[b2=4].

    故所求雙曲線方程為[y22-x24=1].

    點(diǎn)評 確定圓錐曲線的方程包括“定位”和“定量”兩個方面. 因此,在求解此類問題時,其通性通法是必須根據(jù)已知條件確定焦點(diǎn)的位置,不能確定焦點(diǎn)位置的,需對焦點(diǎn)是在[x]軸上還是在[y]軸上進(jìn)行分類討論,不能遺漏任何一種情況.

    解法二 待定系數(shù)法.

    因?yàn)樗箅p曲線與已知雙曲線[x22]-y2=1有相同的漸近線,

    故可設(shè)雙曲線方程為[x22-y2=λ(λ≠0)].

    又點(diǎn)(2,-2)在雙曲線上,

    [∴λ=42]-4=-2.

    故所求雙曲線的方程為[x22-y2=]-2,即所求雙曲線方程為[y22-x24=1].

    點(diǎn)評 涉及求圓錐曲線方程的問題,根據(jù)已知條件并不能判定焦點(diǎn)的位置時,先不要急著分類討論解題,可以先理解題意,充分挖掘題目的個性特征,尋找思路更優(yōu)的解法. 如解法二,在已知漸近線反常的條件下,利用雙曲線系[x22-y2=λ(λ≠0)]求解,避免了分類討論,顯然優(yōu)于解法一.

    圓錐曲線的焦半徑問題

    例2 如圖,橢圓:[x29-y24=1]的左、右焦點(diǎn)為[F1],[F2],點(diǎn)P為橢圓上的動點(diǎn),當(dāng)[∠F1PF2]為鈍角時,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍.

    解析 設(shè)P的坐標(biāo)為[(x0,y0)],由橢圓方程[x29-y24=1]可得,a=3,[c=5],[e=53].

    由焦半徑公式得,

    [PF1=3+53x0],[PF2=3-53x0].

    又因?yàn)閇∠F1PF2]為鈍角,

    所以[PF12]+[PF22]-[F1F22]<0.

    所以[(3+53x0)2]+[(3-53x0)2]-20<0.

    解得,[-355

    所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是[(-355,][355)].

    點(diǎn)評 連接圓錐曲線的焦點(diǎn)與曲線上任意一點(diǎn)的線段稱為它們的焦半徑. 有關(guān)圓錐曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離問題, 可考慮使用焦半徑公式來處理. 本例充分利用[∠F1PF2]為鈍角這一條件,由焦半徑公式求得兩條焦半徑[PF1],[PF2]的長,進(jìn)而用余弦定理求解.

    圓錐曲線中焦點(diǎn)三角形問題

    例3 已知橢圓C與橢圓:[x2+37y2=37]的焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2相同,且橢圓C過點(diǎn)[(572,-6)].

    (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

    (2)若點(diǎn)P為橢圓C上一點(diǎn),且∠F1PF2=[π3],求△F1PF2的面積.

    解析 (1)因?yàn)闄E圓:[x237+y2=1]的焦點(diǎn)坐標(biāo)為[(-6,0), (6,0)],

    所以設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

    [x2a2-y2a2-36=1(a2>36)].

    將點(diǎn)[(572,-6)]代入上式整理得,

    [4a4-463a2+6300=0].

    解得,[a2]=100,或[a2]=[634](舍去).

    所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為[x2100+y264=1].

    (2)因?yàn)辄c(diǎn)P為橢圓C上任意一點(diǎn),

    所以[PF1+][PF2=2a=20].

    由(1)知,c=6.

    在△PF1F2中,[F1F2]=[2c]=12.

    所以由余弦定理得,

    [F1F22]=[PF12]+[PF22]-[2F1F22cosπ3],

    即[122=][PF12]+[PF22]-[PF1?PF2].

    因?yàn)閇PF12]+[PF22]=([PF1+PF2)2]-[2PF1?PF2,]

    所以[122=]([PF1+PF2)2]-3[PF1?PF2].

    所以[122=][202]-3[PF1?PF2].

    所以[PF1?PF2]=[202-1223=32×83=2563].

    故[SΔPF1F2][=12][PF1?PF2sinπ3]

    [=12×2563×32=6433.]

    所以△F1PF2的面積為[6433].

    點(diǎn)評 橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)[F1],[F2]所成的三角形,常稱之為焦點(diǎn)三角形. 在解與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問題時,經(jīng)??煽紤]運(yùn)用正、余弦定理和勾股定理等,通過變形,使之出現(xiàn)[PF1]與[PF2]的關(guān)系式,這樣便于運(yùn)用橢圓或雙曲線的定義,求得[|PF1|·|PF2|]的值. 另外,在運(yùn)算中要特別注意一些變形技巧和整體代換思想的應(yīng)用.

    圓錐曲線的焦點(diǎn)弦問題

    例4 已知直線[l]經(jīng)過拋物線[y2=4x]的焦點(diǎn)F,且與拋物線相交于A,B兩點(diǎn).

    (1)若[AF]=4,求點(diǎn)A的坐標(biāo);

    (2)求線段AB的長的最小值.

    解析 由[y2=4x]得,p=2,其準(zhǔn)線方程為x=-1,焦點(diǎn)F(1,0).

    設(shè)A([x1,y1]),B([x2,y2]).

    (1)由拋物線的定義可知,|AF|=[x1]+[p2],

    從而[x1]=4-1=3.

    代入[y2=4x],解得,[y1=±23].

    ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2),或(3,-2).

    (2)①當(dāng)直線[l]的斜率不存在時,直線[l]的方程為x=1,與拋物線相交于A(1,2),B(1,-2),此時[AB]=4.

    ②當(dāng)直線[l]的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y=[k(x-1)].

    與拋物線方程聯(lián)立得,[y=k(x-1),y2=4x.]

    消去y整理得,[k2x2-(2k2+4)x+k2=0].

    ∵直線與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),

    則k≠0,并設(shè)其兩根為[x1],[x2].

    ∴[x1+x2=2+4k2].

    由拋物線的定義可知,

    |AB|=[x1+x2+p=4+4k2>4].

    綜上所述,[AB]≥4,即線段AB的長的最小值為4.

    點(diǎn)評 圓錐曲線過焦點(diǎn)的直線與圓錐曲線相交, 兩個交點(diǎn)連接而成的線段叫焦點(diǎn)弦. 由于焦點(diǎn)弦是圓錐曲線中一種特殊的弦,因此在解決此類問題時要充分挖掘焦點(diǎn)弦的特征,常用圓錐曲線的定義(特別是第二定義)將問題轉(zhuǎn)化,利用焦點(diǎn)弦長公式并結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求解. 本例第(2)問中,根據(jù)拋物線的定義,并結(jié)合焦點(diǎn)弦長公式[|AB|=x1+x2+p]把[|AB|]用含[k]的代數(shù)式表示出來,比直接用弦長公式[AB=(1+k2)x1-x2]整體代換、設(shè)而不求更簡潔.

    圓錐曲線中與焦點(diǎn)有關(guān)最值問題

    例5 設(shè)P是拋物線[y2=4x]上的一個動點(diǎn),F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn).

    (1)若點(diǎn)P到直線[x]=-1的距離為d,又A(-1,1),求[PA]+d的最小值;

    (2)若B(3,2),求[PB]+[PF]的最小值.

    解析 (1)依題意得,拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1.

    由拋物線的定義知,[PF]=d.

    于是問題轉(zhuǎn)化為求[PA]+[PF]的最小值.

    如圖1,連接AF,交拋物線于點(diǎn)P,則最小值為[22+12=5].

    (2)把點(diǎn)B的橫坐標(biāo)代入[y2=4x]中得, [y=±12].

    因?yàn)閇12]>2,所以點(diǎn)B在拋物線內(nèi)部. 自點(diǎn)B作BQ垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)Q,交拋物線于點(diǎn)P1(如圖2).

    由拋物線的定義知,[P1Q]=[P1F].

    則[PB]+[PF]≥[P1B]+[P1Q]=[BQ]=4.

    即[PB]+[PF]的最小值為4.

    點(diǎn)評 在圓錐曲線中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的最值問題時,往往利用其幾何特征,回歸定義,化折線為直線解決最值問題. 如本例的第(1)問中的兩定點(diǎn)位于拋物線兩側(cè),直接利用“兩點(diǎn)之間線段最短”求解;而第(2)問中的兩定點(diǎn)位于拋物線同側(cè),則利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義,將同側(cè)(內(nèi)部)問題轉(zhuǎn)化為異側(cè)問題,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為第(1)問求解. 需指出的是,本例中亦可把拋物線改為橢圓或雙曲線,同樣有類似的問題.

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