例析均值與方差

程玲

離散型隨機變量的均值

例1 端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗，設(shè)一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個. 這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個.

（1）求三種粽子各取1個概率；

（2）設(shè)[X]表示取到的豆沙粽個數(shù)，求[X]的分布列與數(shù)學(xué)期望.

解析 （1）令[A]表示事件“求三種粽子各取1個”，

則由古典概率計算公式有[P（A）=C12C13C15C310=14].

（2）[X]的所有可能的取值為0，1，2，

[PX=0=C38C310=715]； [PX=1=C12C28C310=715]；

[PX=2=C22C18C310=115].

綜上所述，[X]的分布列為

[[X] 0 1 2 [P] [715] [715] [115] ]

故[EX=0×715+1×715+2×115=35].

變式 （1）若離散型隨機變量[X]的分布列為

[[X] 0 1 [P] [a2] [a22] ]

則[X]的數(shù)學(xué)期望[E（X）=]（ ）

A. 2 B. 2或[12] C. [12] D. 1

（2）某項游戲活動的獎勵分成一、二、三等獎，且相應(yīng)獲獎概率是以[a1]為首項，2為公比的等比數(shù)列，相應(yīng)資金（單位：元）是以700為首項，-140為公差的等差數(shù)列，則參與該游戲獲得獎金的數(shù)學(xué)期望為 元.

解析 （1）由離散性隨機變量[X]的分布列知，[a2+a22=1]，解得，[a=1]（舍去負值）. 所以[E（X）=12].

（2）由題意知，[a1+2a1+4a1=1]，[∴][a1=17].

因此獲得分布列為

[[X] 700 560 420 [P] [17] [27] [47] ]

所以[E（X）=700×17+560×27+420×47=500].

答案 （1）C （2）500

點評 求離散性隨機變量均值的步驟：（1）理解隨機變量[X]的意義，寫出[X]可能取得的全部值；（2）求[X]的每個值的概率；（3）寫出[X]的分布列；（4）由均值定義求出[E（X）].

離散型隨機變量的方差

例2 為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵. 規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲得的獎勵額.

（1）若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其余3個均為10元，求顧客所獲的獎勵額[X]的分布列及數(shù)學(xué)期望.

（2）商場對獎勵總額的預(yù)算是6萬元，并規(guī)定袋中的4個球只能由面值10元和50元的兩種球組成，或標有面值20元和40元的兩種球組成. 為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計，并說明理由.

解析 （1）依題意得，[X]的所有可能取值為20，60.

[PX=20=C23C24=12]，[PX=60=C11C13C24=12].

故[X]的分布列為

[[X] 20 60 [P] [12] [12] ]

所以顧客所獲的獎勵額的數(shù)學(xué)期望為

[E（X）=20×12+60×12=40].

（2）根據(jù)商場的預(yù)算，每個顧客的平均獎勵為60元，所以先尋找期望為60元的可能方案.

對于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇（10，10，10，50）的方案，因為60元是面值之和的最大值，所以期望不可能為60元. 如果選擇（50，50，50，10）的方案，因為60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能是60元. 因此可能的方案是（10，10，50，50），記為方案1.

對于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除（20，20，20，40）和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，40），記為方案2.

以下是對上述兩個方案的分析：

對于方案1，即方案（10，10，50，50），設(shè)顧客所獲得的獎勵額為[X1]，則[X1]的分布列為

[[X1] 20 60 100 [P] [16] [23] [16] ]

因此[X1]的期望為

[E（X1）=20×16+60×23+100×16=60]，

[X1]的方差為

[D（X1）=（20-60）2×16+（60-60）2×23+（100-60）2×16=16003.]

對于方案2，即方案（20，20，40，40），設(shè)顧客所獲的獎勵額為[X2]，則[X2]的分布列為

[[X2] 40 60 80 [P] [16] [23] [16] ]

因此[X2]的期望為

[E（X2）=40×16+60×23+80×16=60].

[X2]的方差為

[D（X2）=（40-60）2×16+（60-60）2×23+（80-60）2×16]

[=4003].

由于兩種方案的獎勵額的期望都符合要求，但方案2獎勵額的方差比方案1的小，所以選擇方案2.

變式 袋中有20個大小相同的球，其中標號為0的有10個，標號為[n]的有[n]個（[n=1，2，3，4]）. 現(xiàn)從袋中任取一球，[X]表示所取球的標號.

（1）求[X]的分布列，數(shù)學(xué)期望和方差；

（2）若[Y=aX+b，][E（Y）=1，][D（Y）=11，]試求[a，b]的值.

解析 （1）[X]的分布列為

[[X] 0 1 2 3 4 [P] [12] [120] [110] [320] [15] ]

[E（X）=0×12+1×120+2×110+3×320+4×15=1.5.]

[D（X）=（0-1.5）2×12+（1-1.5）2×120+（2-1.5）2×110]

[+（3-1.5）2×320+（4-1.5）2×15=2.75.]

（2）由[D（Y）=a2D（X）]得，[a2×2.75=11]，即[a=±2].

又[E（Y）=aE（X）+b]，

所以[a=2，b=-2，]或[a=-2，b=4.]

點評 （1）[D（X）]表示隨機變量[X]對[E（X）]的平均偏離程度，[D（X）]越大表明平均偏離程度越大，說明[X]的取值越分散；反之，[D（X）]越小說明[X]的取值越集中在[E（X）]附近. 統(tǒng)計中，常用[D（X）]來描述[X]的分散程度.

（2）隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量偏離均值的程度. 它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產(chǎn)時用于方案取舍的重要理論依據(jù). 一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定.