摘要:譜方法的作用是求解偏微分方程。它的特點(diǎn)是具有穩(wěn)定性和收斂性,還可以實(shí)現(xiàn)Fourier計(jì)算。在許多科學(xué)研究領(lǐng)域中,問(wèn)題最終都會(huì)歸結(jié)為求解偏微分方程,譜方法正是一種有效的計(jì)算方法。本文主要介紹譜方法的思想和基本理論。
關(guān)鍵詞:譜方法;收斂性;穩(wěn)定性
中圖分類號(hào):G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A 文章編號(hào):1674-9324(2017)06-0084-02
一、譜方法的研究概況
譜方法的產(chǎn)生有著悠久的歷史,來(lái)源于變分問(wèn)題的近似解法——伽遼金方法。經(jīng)過(guò)譜方法的發(fā)展演變,譜方法分為常用的三種方法,即伽遼金譜方法、多項(xiàng)式近似解法和配點(diǎn)法。一方面,在許多工科研究中,譜方法被應(yīng)用于求解大型偏微分方程,這使得譜方法得到了深入的發(fā)展;另一方面,由于計(jì)算機(jī)的快速發(fā)展,求解偏微分方程更多的是用編程來(lái)計(jì)算,這樣可以減少譜方法的計(jì)算量。隨著計(jì)算機(jī)的普及,譜方法有了更多的實(shí)用價(jià)值。譜方法不僅在計(jì)算物理、計(jì)算力學(xué)等領(lǐng)域取得了顯著的研究成果,且在空氣學(xué)、工學(xué)、海洋科學(xué)等領(lǐng)域也得到了應(yīng)用。
在譜方法的研究中,除了研究數(shù)值解以外,研究非線性微分方程的穩(wěn)定性同樣重要。許多專家在譜方法穩(wěn)定性方面做了詳細(xì)的研究。例如Kreiss、Oliger[1]、Orszag[2]三個(gè)人在穩(wěn)定性方面做了長(zhǎng)期的研究。還有另外的研究人員Quarteroni、Canuto、Pasciak、Funaro、Maday[3-8],中國(guó)學(xué)者郭本瑜[9,10]等人對(duì)譜方法做了更為詳細(xì)深入的研究,并且將譜方法的理論應(yīng)用于一些線性微分方程或者非線性偏微分方程的求數(shù)值解上,賦予了譜方法新的實(shí)用價(jià)值,從而證明了譜方法是一種有效的數(shù)值計(jì)算方法。
譜方法的基函數(shù)是一組定義在同一個(gè)區(qū)間或定義在同一個(gè)n維長(zhǎng)方體上的正交多項(xiàng)式,因?yàn)檫@樣的正交多項(xiàng)式,譜方法只能應(yīng)用于求解區(qū)域是一維區(qū)間或者n維長(zhǎng)方體的問(wèn)題[11],針對(duì)譜方法這一缺點(diǎn),為了克服譜方法只能求解一維空間或n維長(zhǎng)方體問(wèn)題,一些研究人員做了一些研究。例如Orszang[12]提出了映照法,此方法是做一些合適的函數(shù)變換把將要求解的區(qū)域轉(zhuǎn)變成長(zhǎng)方體空間,從而符合譜方法的基函數(shù)定義范圍,從而可以進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。如果遇到復(fù)雜的求解區(qū)域,映照法并不適用,此時(shí)可以采用拼接法,即將一個(gè)復(fù)雜的求解區(qū)域劃分成若干個(gè)子區(qū)域。在簡(jiǎn)單子區(qū)域上使用譜方法計(jì)算,再把若干個(gè)簡(jiǎn)單區(qū)域聯(lián)合求解。但是這個(gè)方法也有它的缺點(diǎn),不適合于簡(jiǎn)單的區(qū)域。
隨著譜方法的日益成熟,譜方法又有了一些新的發(fā)展。在河槽中的流動(dòng),球殼上的非對(duì)稱流等相關(guān)的研究領(lǐng)域得到了顯著的發(fā)展。
通過(guò)很多學(xué)者的研究,譜方法已經(jīng)在理論研究方面取得了一些重要的研究成果,使得譜方法得到了進(jìn)一步的發(fā)展空間,但是差分法和有限元法的研究相比,譜方法還有一定的差距,特別是在非線性情形下,或問(wèn)題不是周期情況下的譜方法,特別是譜方法在求解偏微分方程數(shù)值解方面也需要更多深入的研究。
二、譜方法的穩(wěn)定性和收斂性理論
我們首先來(lái)建立譜方法求解偏微分方程的一般框架。為此我們先來(lái)介紹Lax-Milgram定理和它相應(yīng)的推廣Babuska定理和Lax-Richtmyer等價(jià)性定理[11]。
Lax-Milgram定理:設(shè)雙線性泛函a(u,v)滿足[11]:
(1)a‖u‖ ≤a(u,u),?坌u∈V (強(qiáng)制性)。
(2)a(u,v)≤β‖u‖ ‖v‖ ,?坌u,v∈V (有界性)。
其中α、β是正常數(shù),則線性邊值問(wèn)題:求u∈V,使a(u,v)=〈f,v〉,?坌v∈V存在唯一解而且有‖u‖ ≤
c‖f‖ 。V′是V的對(duì)偶空間。
Lax-Milgram定理可以證明解的唯一性,同時(shí)說(shuō)明了解關(guān)于右端f的穩(wěn)定性、連續(xù)性、依賴性。定理中的條件對(duì)泛函要求嚴(yán)格,我們將條件擴(kuò)展成要求更低的inf-sup條件,就有了Babuska定理。在定理中,U、V分別是兩個(gè)Hilbert空間,定理如下:
Babuska定理:若對(duì)雙線性泛函a(u,v),u∈U,v∈V,存在常數(shù)α、β、M使得[12]:
(1)a(u,v)≤M‖u‖ ‖v‖ ,?坌u∈U,v∈V。
(2)0< a(u,v),?坌v≠0,v∈V。
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