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    組距式分組下關(guān)于眾數(shù)計算問題的若干思考

    2017-03-04 11:38:29曹潔馬玲玲焦榮榮
    教育教學(xué)論壇 2017年8期
    關(guān)鍵詞:連續(xù)式

    曹潔+馬玲玲+焦榮榮

    摘要:在教學(xué)過程中,經(jīng)過對眾數(shù)的分析研究認為,在現(xiàn)行的統(tǒng)計學(xué)教材中就眾數(shù)的計算方法有值得商榷之處。

    關(guān)鍵詞:眾數(shù);組距式分組;連續(xù)式;間斷式

    中圖分類號:G642.41 文獻標志碼:A 文章編號:1674-9324(2017)08-0201-02

    統(tǒng)計中一旦收集了數(shù)據(jù),第一步就是整理數(shù)據(jù),也就是實用簡單的指標去描述數(shù)據(jù)。完成這一步最容易的方法就是計算幾種不同形式的集中趨勢(measures of central tendency),它能夠最好的代表一組數(shù)據(jù)的數(shù)值,一般具有三種形式:均值、中位數(shù)和眾數(shù)。

    一、眾數(shù)的概念

    某制鞋廠要了解消費者最需要哪種型號的男士皮鞋,調(diào)查了某百貨商場某季度男士皮鞋的銷售情況,得到資料如表1。

    從表1的資料可以看出,25.5厘米的鞋號銷售量最多。統(tǒng)計學(xué)中,把在一組數(shù)據(jù)當(dāng)中出現(xiàn)次數(shù)最多的標志值就稱為眾數(shù)(mode),一般用M表示。眾數(shù)是位置平均數(shù),它不受極端變量的影響,這是眾數(shù)區(qū)別于均值的一個重要標志。

    眾數(shù)容易被人們“忽視”,因為人們仿佛總是更喜歡去記憶那些需要“計算”的事情,認為眾數(shù)只要被“數(shù)”出來就可以。眾數(shù),的確是最籠統(tǒng)、最不精確的集中趨勢,但它卻在理解特定的數(shù)據(jù)分布中扮演著重要的角色。

    二、眾數(shù)的重要性

    毫無疑問,對于定性數(shù)據(jù),類似種族群體、眼睛顏色、收入檔次等變量的集中趨勢只可以使用眾數(shù)來進行描述。例如,你不可能用中位數(shù)來描述哪個鞋碼在銷售中占有優(yōu)勢,也不能使用均值——平均鞋碼為25.65厘米顯然是沒有實際意義的。而1231個人中幾乎一半(541)人的鞋碼是25.5厘米似乎是描述這個變量一般水平的最好的方式。再如,為了掌握市面上某種商品的價格水平,完全不必全面登記該商品的全部價格去計算其均值,因為均值很容易受到極端值的影響,只是需要用該商品成交量中最多的那個價格即價格的眾數(shù)作為代表值,就可以反映該商品價格的一般水平。

    三、關(guān)于眾數(shù)的計算

    就眾數(shù)的計算方法來看,現(xiàn)行的統(tǒng)計學(xué)教材中的處理值得商榷。

    一般情況下,在給出所有數(shù)據(jù)或在對數(shù)據(jù)進行了單項式分組的情況下,直接找到頻數(shù)最大的變量值就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù),但是在組距式分組的情況下,對于眾數(shù)的推算有以下的計算公式:

    上限公式:M=U-d

    下限公式:M=L+d

    其中,U表示眾數(shù)所在組上限;L表示眾數(shù)所在組下限;Δ表示眾數(shù)所在組頻數(shù)與其下限的鄰組頻數(shù)的差;Δ表示眾數(shù)所在組頻數(shù)與其上限的鄰組頻數(shù)的差;d表示眾數(shù)所在組的組距。

    由于一般的數(shù)據(jù)分布中眾數(shù)只有一個,所以上限公式和下限公式計算得到的眾數(shù)應(yīng)當(dāng)是一樣的,這一點非常重要。

    例如:計算某班50名同學(xué)某一門課程成績的眾數(shù),資料如表2所示。

    其中,眾數(shù)所在的組為“66—69”這一組,U=69,L=66,Δ=20-10=10,Δ=20-13=7、d=3根據(jù)公式可得:

    上限公式:M=69-×3≈67.76

    下限公式:M=66+×3≈67.76

    四、幾種特殊情況下眾數(shù)計算的探討

    1.偏態(tài)分布。一組數(shù)據(jù)有如下分布(見表3),利用公式計算眾數(shù)。

    由分布情況可知,眾數(shù)所在的組為“9—13”這一組,按照公式進行計算,得到M=12.2。但是如果是這樣一組數(shù)據(jù),具體如圖1所示。

    1、3、4、6、7、9、9、12、12、13、16、16、16、16、20

    顯然,這組數(shù)據(jù)符合表3中的數(shù)據(jù)分布情況,對于組距式分組,我們無法判斷它的眾數(shù)是什么,只能用眾數(shù)的計算公式對它的眾數(shù)進行一個估計和推斷。

    2.間斷式組距式分組。雖然我們很不喜歡間斷式的組距式分組,但不可否認,它依然是存在的。比如剛才說的某班50名同學(xué)的成績,我們假設(shè)每一個學(xué)生的成績都沒有小數(shù),于是,我可以對成績進行間斷式的組距式分組。

    你能猜到出現(xiàn)了什么情況嗎?

    上限公式:M=68-×3≈66.76

    下限公式:M=66+×3≈67.76

    是的,使用上限公式和下限公式所計算的結(jié)果出現(xiàn)了異常。對比后發(fā)現(xiàn),除了眾數(shù)所在組的上限從69變到了68以外,公式里的其他條件都沒有發(fā)生變化。這又是為什么呢?首先能想到的原因就在于我們的間斷式分組上。我們都知道,如果分組是表2中的連續(xù)式分組,有一個原則叫做“上限不在內(nèi)”,也就是說,在“66—69”中,上限69是沒有包含在這一組中的,而是變成了下一組的下限,那么反過來考慮,能不能認為在間斷式分組計算眾數(shù)公式時,M=U-d中的U其實就是下一組的下限呢?當(dāng)然可以,并且我們已經(jīng)得到了驗證。根據(jù)這種情況,我們給出在間斷式組距式分組下眾數(shù)的計算公式:

    上限公式:M=L-d

    下限公式:M=L+d

    其中,L表示與眾數(shù)所在組后一組下限;L表示眾數(shù)所在組下限;Δ表示眾數(shù)所在組頻數(shù)與其下限的鄰組頻數(shù)的差;Δ表示眾數(shù)所在組頻數(shù)與其上限的鄰組頻數(shù)的差;d表示眾數(shù)所在組的組距。

    當(dāng)然,此時的組距應(yīng)當(dāng)是本組上限—前組上限。就是我們所說的間斷式分組的組距的計算方法。

    還有其他的解釋嗎?讓我們把焦點放在公式中所涉及到的對象上面。之前提到,公式中“d”是眾數(shù)所在組的組距,也就是說,不管是連續(xù)式分組還是間斷式分組,眾數(shù)的計算只和眾數(shù)所在的那一組有關(guān)系,所以這時候,d就應(yīng)該是68-66=2,此時,

    上限公式:M=68-×2≈67.18

    下限公式:M=66+×2≈67.18

    不要再去糾結(jié)為什么兩種方式得到的眾數(shù)值不一樣,就像前邊解釋過的,我們通過公式計算出來的眾數(shù)只是實際眾數(shù)的一個近似值。

    注釋:

    (1)集中趨勢:是指一組數(shù)據(jù)向其中心值靠攏的傾向。

    (2)均值:即算術(shù)平均數(shù),是觀察值的總和除以觀察值總個數(shù)的商。

    (3)中位數(shù):將數(shù)據(jù)按照一定的順序排列,處于中間位置的數(shù)就是中位數(shù)。

    (4)標志值:數(shù)量標志在各單位的具體表現(xiàn)數(shù)值。

    (5)位置平均數(shù):總體中處于特殊位置的個別單位的標志值。一般有眾數(shù)和中位數(shù)。

    (6)定性數(shù)據(jù):表示事物的品質(zhì)特征,不能用數(shù)值表示,結(jié)果表現(xiàn)為類別。

    (7)單項式分組:一個變量值為一組。

    (8)組距式分組:將變量值一次劃分為幾個區(qū)間,每個區(qū)間為一組,每個變量值按其大小確定所屬的區(qū)間。

    參考文獻:

    [1]夏鷺平.統(tǒng)計學(xué)基礎(chǔ)[M].哈爾濱工程大學(xué)出版社,2014.

    [2][美]薩爾金德.愛上統(tǒng)計學(xué)第二版[M].史玲玲,譯.重慶大學(xué)出版社,2011.

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